4.4.1对数函数的概念课时练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.1对数函数的概念 基础过关练习 一、选择题 1．下列函数中为对数函数的是(　　) A．y＝lo(－x) B．y＝2log4(1－x) C．y＝ln x D．y＝lox 2．函数y＝的定义域为(　　) A．(0，1] 　 B．(0，1) C．(1，＋∞) 　 D．(0，1)∪(1，＋∞) 3．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是以a为底数的对数函数，则f 等于(　　) A．3 　 B．－3 C．－log36 　 D．－log38 4．设函数f (x)＝则f ( f (10))的值为(　　) A．lg 101 　 B．1 C．2 　 D．0 5．(多选)在函数y＝log(a－2)[(5－a)(x2＋1)]中，实数a的取值可能是(　　) A． 　 B．3 C．4 　 D．5 二、填空题 6．已知f (x)为对数函数，f ＝－2，则f ()＝________． 7．已知f (x)＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的值是________． 8．某投资公司准备在2025年年底将1 000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，若市场预期不变，大约在________年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 三、解答题 9．已知f (x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f 的值． 能力达标练习 10．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f (y)”的函数f (x)可以是(　　) A．f (x)＝x2 　 B．f (x)＝2x C．f (x)＝log2x 　 D．f (x)＝eln x 11．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 12．设函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f (x1x2…x2 025)＝8，则＋＋…＋的值等于________． 13．函数f (x)＝的定义域为________． 14．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 15．设函数f (x)＝ln (ax2＋2x＋a)的定义域为M． (1)若1∉M，2∈M，求实数a的取值范围； (2)若M＝R，求实数a的取值范围． 参考答案解析 1．C　[函数y＝lo(－x)，y＝2log4(1－x)的真数不是自变量x，它们不是对数函数，A，B错误；函数y＝ln x是对数函数，C正确；函数y＝lox的底数含有参数a，而a的值不能保证a2＋a是不等于1的正数，D错误．故选C．] 2．B　[由得0<x<1，所以函数的定义域为(0，1)．故选B．] 3．B　[因为函数f(x)为对数函数， 所以其系数为1， 即a2＋a－5＝1，即a＝2或a＝－3， 因为对数函数的底数大于0， 所以a＝2，f(x)＝log2x，所以f(＝－3．故选B．] 4．C　[f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2．] 5．AC　[因为x2＋1>0， 所以所以2<a<3或3<a<5．故选AC．] 6．1　[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 则loga＝－2，∴，即a＝， ∴f(x)＝lox， ∴f()＝lo＝1．] 7．－1　[因为f(x)的定义域为(－∞，1)， 所以ax＋1>0的解集为(－∞，1)． 所以x＝1是方程ax＋1＝0的根， 所以a＋1＝0，即a＝－1．] 8．2029　[假设n年后总资产可以翻一番，依题意得 1 000×(1＋20%)n＝2 000，即1.2n＝2， 两边同时取对数得，n＝≈3.8． 所以大约经过4年，即在2029年的年底总资产可以翻一番．] 9．解：由已知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f(＋f(4)＝1， 可得loga＋loga4＝1，即－loga2＋2loga2＝1， 则loga2＝1，所以a＝2，得f(x)＝log2x， 则f(1)＋f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(210) ＝log21＋log22＋log24＋log28＋…＋log2210＝log22(1+2+3+…+10) ＝1＋2＋3＋…＋10＝55． 10．C　[∵对数运算性质中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f(x)＝log2x满足题目要求．故选C．] 11．C　[y＝ax的定义域为R，y＝logax的定义域为(0，＋∞)，故A错误； y＝2ln x的定义域为(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域为{x|x≠0}，故B错误； y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，y＝lg 的定义域为(0，＋∞)，故C正确； y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选C．] 12．16　[f()＋f()＋f()＋…＋f() ＝loga＋…＋loga ＝loga(x1x2x3…x2 025)2 ＝2loga(x1x2x3…x2 025)＝2×8＝16．] 13．(0，1)∪(1，＋∞)　[∵f(x)＝， ∴解得x>0且x≠1， ∴函数f(x)＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．] 14．解：(1)由题意知y＝ (2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34． ∴老江的销售利润是34万元． 15．解：(1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}． 由1∉M，2∈M可得 化简得 所以a的取值范围为⌀． (2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立． 当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意； 当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即 解得a>1． 所以实数a的取值范围为(1，＋∞)． [点评]　M＝R，即真数ax2＋2x＋a>0恒成立，注意讨论a是否为0． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $