第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 3．（5分）（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（    ） A．4 B．8 C． D． 4．（5分）（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 5．（5分）（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 6．（5分）（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 8．（5分）（2025高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·山东泰安·期末）已知曲线，则下列说法正确的为（   ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若，则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率 10．（6分）（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 11．（6分）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 ． 13．（5分）（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （a>）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 . 14．（5分）（24-25高二上·辽宁·期中）如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 16．（15分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 17．（15分）（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． (1)求的值； (2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 18．（17分）（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 19．（17分）（24-25高三上·山西阳泉·期末）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可知焦点在y轴上，可设，再代入求解即可． 【解答过程】由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得， 所以椭圆的方程是． 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解答过程】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 3．（5分）（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据椭圆的方程得出的值，再根据椭圆的定义结合已知条件求出的周长． 【解答过程】    椭圆方程为， ， 为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点， ， 又 ，，三点共线， 的周长为：， 故选：D． 4．（5分）（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时， ，所以水面宽度为． 故选：B. 5．（5分）（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【解答过程】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 6．（5分）（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答过程】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 7．（5分）（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，将代入, 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 8．（5分）（2025高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【解答过程】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得 ， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·山东泰安·期末）已知曲线，则下列说法正确的为（   ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若，则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率 【答案】AD 【解题思路】由椭圆、双曲线的标准方程及离心率即可得到答案. 【解答过程】对于A选项，，所以，或，A正确. 对于B选项，该曲线为椭圆时,满足，所以，B错误. 对于C选项，若该曲线离心率为，该曲线表示椭圆； 若，则离心率，解得； 若，则离心率，解得，C错误. 对于D选项，由题意知，所以， 离心率，D正确. 故选：AD. 10．（6分）（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解题思路】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断. 【解答过程】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A错误； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于选项D：因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故D正确； 故选：BD. 11．（6分）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【解答过程】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·课后作业）抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 ． 【答案】 【解题思路】设点，则，先计算得点的坐标，最后利用抛物线的定义即可求解. 【解答过程】设点，则，所以，所以， 所以， 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆 （a>）的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【解题思路】根据椭圆的定义，结合余弦定理和离心率公式计算即可. 【解答过程】如图， 由题意可得，因为， 所以，， 因为为椭圆的上顶点，所以，则， 在中，， 在中，， 即，所以. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·辽宁·期中）如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 【答案】 【解题思路】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【解答过程】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 16．（15分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆C：，，P是椭圆C上任意一点，F是椭圆C的右焦点，且的最小值是1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【解答过程】（1）因，，所以，，即． 当P是椭圆右顶点时，取得最小值，最小值为，故， 则，，椭圆C的方程为． （2）当过点F的直线l的斜率为0时，，不符合要求． 当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为， 代入，得，恒成立． 设，，则，， 故 ， 故，解得， 故直线l的方程为． 17．（15分）（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． (1)求的值； (2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据抛物线方程求点的横坐标，再代入焦半径公式，即可求解； （2）首先直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，再代入面积公式，根据的取值范围，求面积的最大值. 【解答过程】（1）分析可得，点在抛物线上且纵坐标为， 代入抛物线方程，得点的横坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； （2）由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长 ， 直线的方程的一般式为， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值．    18．（17分）（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线的焦点在轴上，离心率，且点在该双曲线上． (1)求的标准方程． (2)若直线与双曲线的右支相切于点，与直线相交于点，线段MN的中点为，则在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在定点，使得，且点坐标为 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率，以及点在双曲线上联立即可. （2）根据题意，设直线的方程，直线与双曲线联立方程组可得，直线与直线相交可求得，假设存在定点，使得，由题中条件可得，利用进行计算即可. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为（，）， 由已知得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率必存在，设其方程为， 由，可得，因为直线与双曲线的右支相切于点， 设，则有， 整理得 ，由根与系数的关系可得，则， 于是，即，又直线与直线相交于点，所以， 假设存在定点，使得，如图，连接，，因为线段的中点为， 所以，即， 不妨设，则，， 得到， 所以有，解得，即， 故在轴上存在定点，使得．    19．（17分）（24-25高三上·山西阳泉·期末）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交椭圆C于点Q，直线AP，AQ的斜率分别为，． （i）求证：为定值； （ii）设直线PQ：，证明：直线PQ过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据椭圆上的点和离心率即可求解； （2）（i）根据两点斜率公式即可代入化简求解，（ii）联立直线与椭圆的方程，可得韦达定理，即可结合化简求解定点. 【解答过程】（1）由椭圆C过点得， 又离心率为，即，则，∴． ∴椭圆C的标准方程为． （2）（i）设，，，由（1）知，， 显然，， 而，则． ， 又，即， ∴为定值． （ii）由消去x，得，① ， 由①得，，又， 则 ， 解得（舍）或，满足， 因此直线PQ的方程为， ∴直线PQ过定点． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $