第19讲 直线与双曲线的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第19讲 直线与双曲线的位置关系 【人教A版】 模块一 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【变式1.1】（2025高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1.2】（24-25高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式1.3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块二 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【变式3.3】（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【变式4.3】（24-25高二上·吉林·期末）已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求. 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·广东·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若的面积是面积的3倍，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5.2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【变式5.3】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【题型6 双曲线中的最值问题】 【例6】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（    ） A．12 B．24 C．16 D．8 【变式6.2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 【变式6.3】（2025·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【题型7 双曲线中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N.  证明：直线过定点； 【变式7.1】（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【变式7.2】（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【题型8 双曲线中的定直线问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【变式8.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【变式8.2】（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【变式8.3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．14 D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线，O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点，若的面积为，则直线l的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 10．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（    ） A．仅存在一条直线l，使 B．存在直线l，使弦AB的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 11．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（    ） A．双曲线的标准方程为 B．若直线的斜率为2，则 C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点 D．直线过定点 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 14．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 四、解答题 15．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 16．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 18．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 直线与双曲线的位置关系 【人教A版】 模块一 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解题思路】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C. 【变式1.1】（2025高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解题思路】利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可. 【解答过程】直线，即恒过点， 又双曲线的渐近线方程为， 则点在其中一条渐近线上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线有条. 故选：C. 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·浙江温州·期中）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【解答过程】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二上·黑龙江黑河·期中）若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把直线与双曲线方程联立消去，利用和 联立，即可求得的范围. 【解答过程】联立方程组，整理得， 设方程的两根为， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点， 则满足，解得， 又由，解得, 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【解答过程】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 模块二 弦长与“中点弦”问题 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【解答过程】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【变式3.1】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【解答过程】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【答案】(1) (2)3 【解题思路】（1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标； （2）利用弦长公式可求得. 【解答过程】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 【变式3.3】（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求解即可； （2）先求出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即， 又，所以，解得， 则双曲线的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 设，，此时， 由韦达定理得，， 所以. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解答过程】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 【变式4.3】（24-25高二上·吉林·期末）已知双曲线：的实轴长为，且焦点坐标为. (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的右焦点为，过的直线交于、两点，若中点的横坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由双曲线的性质求解即可； （2）设为，，，直曲联立表示出韦达定理，由中点坐标公式得到斜率，再由弦长公式计算出结果即可； 【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，所以； 双曲线的焦点坐标为，所以；所以； 所以双曲线方程为： （2）由（1）得，根据题意得过的直线斜率存在， 设为，，， 联立，化简得， 所以，， 因为中点的横坐标为，所以， 解得，所以， 所以. 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·广东·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若的面积是面积的3倍，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意转化为焦点到直线的距离比值问题，再验证直线与双曲线有2个交点，即可求解. 【解答过程】依题意，双曲线的左、右焦点分别为，， 设到直线的距离为，到直线的距离为，则，， 因为的面积是面积的3倍，所以，即， 解得或， 联立方程组，整理得，则， 解得，所以． 故选：D． 【变式5.2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可. 【解答过程】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 【变式5.3】（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由双曲线的性质得到焦点和渐近线方程，再由点到直线的距离公式解得，再由离心率和求出双曲线方程即可； （2）设直线的方程为：，直曲联立，表示出韦达定理，再由三角形的面积公式结合韦达定理化简即可； 【解答过程】（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离，解得， 由离心率，又，解得， 双曲线的方程为. （2）设直线的方程为：， 联立， 恒成立，， 直线与双曲线的右支交于两点，，解得. ， . 【题型6 双曲线中的最值问题】 【例6】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 【变式6.1】（2025·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的一条渐近线与直线平行．分别是在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形是平行四边形．若三点共线，则面积的最小值为（    ） A．12 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得双曲线C的标准方程为，联立，可得，进行求解即可. 【解答过程】由题意知，解得，故双曲线C的标准方程为． 由题意及双曲线的对称性，平行四边形与双曲线如图． 四边形为平行四边形，所以． 由题知，直线的斜率不为零，且，故设直线的方程为． 由，消去并整理得，，， 设，由根与系数的关系可得． 因为点均在双曲线的右支上，且双曲线渐近线的斜率为：，所以，解得， 所以． ， 令，则，所以． 因为在上单调递减， 当时，，所以面积的最小值为12 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，. (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面几何知识可证明，进而求出，再根据离心率列方程组求解； （2）直线与双曲线联立，计算出，再用换元法求函数值域. 【解答过程】（1）由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，把 代入方程，可得， 又， 即，又， 解得，， 双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为：，联立方程， 化简得， 设，则，，结合直线的方程得， 即中点坐标为. 于是，（倾斜角，） 当时，，直线方程为： ，令得，此时， 于是，令，则， 由知，当时，， 故的最小值为. 【变式6.3】（2025·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【解答过程】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.    （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【题型7 双曲线中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二上·全国·期中）已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过P作直线的垂线，垂足为N.  证明：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据双曲线的概念和离心率的定义，求出双曲线参数，求出结果. （2）根据直线和双曲线的位置关系，以及韦达定理，证明直线过定点即可. 【解答过程】（1）由题设且，则， 由轴时，， 不妨令，代入双曲线得，所以， 则所求方程为； （2） 设，则，由斜率不为0，设， 联立双曲线，消去得， 则， 所以，由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，因为，所以， 而，则，所以过定点. 【变式7.1】（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【解题思路】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得. 【解答过程】（1）依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 （2）设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 【变式7.2】（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过定点，坐标为 【解题思路】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可； （2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解. 【解答过程】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则 ， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 【变式7.3】（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【解答过程】（1）由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. （2）如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 【题型8 双曲线中的定直线问题】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【解题思路】（1）由双曲线定义将条件转化为最小值，从而利用求最小值解即可； （2）由直线过设方程联立椭圆方程利用韦达定理得坐标关系式，再设直线与方程并联立求得点坐标的表达式，利用点横、纵坐标关系可证明点在定直线上. 【解答过程】（1）由题知，即， 又为的右支上一点，则， 所以 ， 故当最小时，最小， 而，故， 即，故，故的方程为． （2）    当直线的斜率为0时，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为， 联立消去得， 设，， 则，，故（）， 由（1）知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得， 将，代入上式得， 得，将（）代入化简得 ， 即，所以点在定直线上． 【变式8.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 【变式8.2】（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【解答过程】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【变式8.3】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到，得到答案. 【解答过程】（1）由题意可知，，因为，所以. 因为，，得， 又因为在双曲线上，则， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为，，. 联立， 化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或. （ii），，则， 直线的方程为，直线的方程为. 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解答过程】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北·期末）已知过点的直线与双曲线的左，右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，与双曲线方程联立，转化为方程有一正一负根求解. 【解答过程】设该直线为， 联立，化简整理得， 由直线与双曲线的左，右两支均相交， 所以，解得， 所以该直线斜率的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    5．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设、，由，利用点差法求解. 【解答过程】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 6．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）设双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于两点，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．14 D． 【答案】A 【解题思路】根据渐近线方程求得，利用双曲线的定义，通过求的最小值来求得的最小值. 【解答过程】双曲线，对应， 渐近线方程为，所以， 所以双曲线的标准方程为，， 根据双曲线的定义有， 两式相加得， ， 依题意可知直线与轴不重合，双曲线的左焦点为， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 由，解得， 由于直线与双曲线左支相交于两点，所以， 设，则， 所以 ， ，所以当时，取得最小值为， 所以的最小值为. 故选：A. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线，O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点，若的面积为，则直线l的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，根据题意求出的范围，写出韦达定理，求出弦长和点到直线的距离，利用的面积公式建立方程，解之即得. 【解答过程】    如图，设直线l的方程为，代入双曲线C的方程,整理得:. 因直线l与双曲线C交于不同的两点E，F， 则，解得且, 设，则 故, 又原点O到直线的距离， 则， 又，即， 化简得：，解得，均满足条件． 故满足条件的直线有两条，其方程分别为或. 故选：C. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【解答过程】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得 ， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B.   二、多选题 9．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（   ） A．当时，直线与双曲线只有一个公共点 B．直线与双曲线只有一个公共点时，或 C．当或时，直线与双曲线没有公共点 D．当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【解题思路】联立直线与双曲线得到关于x的一元二次方程，应用判别式并结合双曲线性质判断不同参数范围对应直线与双曲线的交点个数，即可得答案. 【解答过程】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC. 10．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）过双曲线的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（    ） A．仅存在一条直线l，使 B．存在直线l，使弦AB的中点为 C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 D．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是 【答案】CD 【解题思路】对于A，根据弦长大于通径长和实轴长可得符合题意的切线有四条；对于B，利用点差法求得直线方程，再根据右焦点不在所求直线上，即可判断；对于C，根据题意，设双曲线方程为，，将点代入即可求解；对于D，设直线方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理列不等式，求解即可. 【解答过程】对于A，通径，实轴，则有四条直线l，使，故A错误； 对于B，假设存在直线l，使得弦AB的中点为， 设，，则， 两式相减得， 又，则，故直线的斜率， 此时直线方程为，即，由于右焦点不在直线上， 故不存在这样的直线l，故B错误； 对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，， 代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确； 对于D，设直线l方程为：. 联立，得， 则，恒成立. 所以，，则，. 若A、B都在该双曲线的右支上，则， 即，解得，又斜率， 所以，故D正确. 故选：CD. 11．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（    ） A．双曲线的标准方程为 B．若直线的斜率为2，则 C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点 D．直线过定点 【答案】ABD 【解题思路】选项A根据等轴双曲线的实轴长为即可求出方程；选项B根据弦长公式求解；C选项首先确定分别在双曲线的左、右支，根据横坐标的范围及中点坐标公式即可做出判断；D选项通过验证三点共线恒成立得出判断. 【解答过程】设等轴双曲线的标准方程为，由双曲线的实轴长为，可得， 所以双曲线的标准方程为，故A选项正确； 由上知，设直线的方程为两点的坐标分别为， 联立方程，消去后整理为， 所以，， 所以，故B选项正确； 由点依次从左到右排列知，所以， 故不存在直线使得为线段的中点，故C选项错误； 设直线的方程为，联立方程，消去后整理为，所以，， 点坐标为，直线斜率为，直线斜率为，若直线过定点，则，即. 而 恒成立，所以直线过定点，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【解答过程】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 14．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解答过程】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【解答过程】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 16．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的离心率为，且过点，过双曲线的右焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)36 【解题思路】（1）由离心率的定义，点在双曲线上，双曲线的性质列方程组解得双曲线方程，再求出渐近线方程即可； （2）由点斜式得到直线方程，再联立曲线方程得到韦达定理，然后结合三角形的面积公式和弦长公式求出即可； 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为. （2） 由（1）可得，所以直线的方程为，设， 联立，消去可得， 则，， ， 所以， 所以的面积为36. 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 【答案】(1) (2)与 【解题思路】（1）根据题意得到关于双曲线参数的方程组，解之即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式将的面积化为关于的方程组，解之即可得解. 【解答过程】（1）因为双曲线，点在双曲线上，且其离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去,得， 则且，即且， 设，则， 又 ， 即，则， 整理得，即， 又，所以，解得， 所以直线的方程为与. 18．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知双曲线（，）过点，且渐近线方程为． (1)求C的标准方程． (2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 【解题思路】（1）根据渐近线可得，即可代入点的坐标即可求出双曲线方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【解答过程】（1）根据渐近线方程为，故， 将代入可得，则， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得，显然， 且，得且， 则， 设存在符合条件的定点，则， 因此 要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56， 所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56． 19．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据左右顶点的距离得到，然后根据点在曲线上列方程得到，即可得到双曲线方程； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式计算； （3）联立直线和双曲线方程，利用斜率公式和韦达定理计算即可证明. 【解答过程】（1）    解：由，可得，解得， 点是上一点，所以，解得， 所以的方程为． （2）解：的方程为， 联立即， 设，，则，， 所以弦长． （3）证明：设，，，易知，， 直线与双曲线联立得， 所以 所以 ， 故是定值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $