第13讲 直线与圆的位置关系（十大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第13讲 直线与圆的位置关系 【人教A版】 模块一 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【变式1.1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式1.2】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1.3】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2.2】（24-25高二上·福建·期中）“”是“直线与圆：相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【变式2.3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 模块二 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【变式3.1】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式3.2】（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【变式3.3】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【变式4.3】（24-25高二上·广西北海·期中）已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 模块三 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 【变式5.1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式5.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【变式5.3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【变式6.1】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式6.2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【变式6.3】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·北京大兴·期末）已知直线和曲线，则“直线与曲线有且仅有一个公共点”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7.3】（24-25高二上·江西吉安·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【题型8 直线与圆中的面积问题】 【例8】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 【变式8.3】（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【变式9.3】（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【题型10 直线与圆的实际应用】 【例10】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【变式10.1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式10.2】（24-25高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【变式10.3】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线 与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为2，弦平行于轴，将劣弧沿弦折叠，恰好经过原点，折叠后的图形如图所示．若直线与这两段弧有4个交点，则的可能取值为（    ）    A． B． C． D．1 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 10．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 11．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 14．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    四、解答题 15．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 16．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 17．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 18．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 19．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 直线与圆的位置关系 【人教A版】 模块一 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【解答过程】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【解答过程】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案. 【解答过程】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又 ，所以圆心为，半径为1. 由 . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·福建·期中）“”是“直线与圆：相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据相切关系可得或，结合充分、必要条件分析判断. 【解答过程】圆：的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得或， 且是的真子集， 所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件． 故选：A. 【变式2.3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解答过程】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 模块二 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【解答过程】圆心，半径， ， 由勾股定理得. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由垂直关系设出直线的方程，再由其过圆的圆心求得答案. （2）设点，利用切线长定理列出函数关系求出最小值. 【解答过程】（1）由直线与m：垂直，设直线：， 圆C的方程可化为，圆心为， 由直线经过圆心，得，解得， 所以的方程为. （2）设，由（1）知圆C的半径， 则， ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 【变式3.3】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)6 【解题思路】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【解答过程】（1）圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 （2）圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·湖北·期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出圆心坐标，利用圆的切线性质求出切线的斜率即可得切线方程. 【解答过程】圆的圆心，直线的斜率， 因此圆在点P处的切线方程为，即. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）（1）求经过圆上点的圆的切线方程； （2）求经过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解题思路】（1）分直线的斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. （2）当所求直线的斜率不存在，易得直线方程为；当所求直线的斜率存在，设直线方程为，根据题意可得圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案. 【解答过程】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为：，与圆相交； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ， 即 ，解得 ， 所以直线方程为 ，即 . （2）由题意知，圆的圆心为，半径为2， 若所求直线的斜率不存在， 由直线过点，得所求直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意； 若所求直线的斜率存在，设直线方程为：即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时所求直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 【变式4.3】（24-25高二上·广西北海·期中）已知在中，，，． (1)求的外接圆的标准方程； (2)过点作的外接圆的切线，求该切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将三顶点代入圆的标准方程，解出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再由点斜式得到直线方程即可； 【解答过程】（1）设的外接圆的标准方程为， 则 解得 故的外接圆的标准方程为． （2）由（1）得外接圆的圆心为，半径为5． 因为，所以切线的斜率为， 故所求切线方程为，即． 模块三 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）直线与圆相交于两点，则弦的长等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解题思路】先得出圆的圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【解答过程】因为圆即圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 因此，弦长. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解题思路】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【解答过程】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【解答过程】（1）的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； （2）l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 【变式5.3】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【解答过程】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【解题思路】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解答过程】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时不满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.对进行求解. 两边平方得，展开得. 解得或.   当时，直线的方程为，即. 当时，直线的方程为，即.   故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程； 先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可. 【解答过程】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 【变式6.3】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）先设圆的标准方程，再代入点列式计算求解； （2）设直线方程分斜率存在及斜率不存在，分别再应用点到直线距离求解即可. 【解答过程】（1）设圆的标准方程为. 圆经过点和，且圆心在直线：上， ，解得，，， 圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为， 根据点到直线的距离公式得， 解得：，即直线的方程为； 当直线斜率不存在时，，满足条件. 故直线的方程为或. 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·北京大兴·期末）已知直线和曲线，则“直线与曲线有且仅有一个公共点”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】分析曲线表示的图形，根据直线与曲线有且仅有一个公共点求出的范围，利用集合间的包含关系可得结果. 【解答过程】由得， ∴曲线表示以为圆心，以为半径的圆的右半部分，包括轴上的点. 当直线过点时，由得，此时直线与曲线有一个公共点， 当直线过点时，由得，此时直线与曲线有两个公共点， 当直线与曲线相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径得， ，解得或（舍）， ∴当直线与曲线有且仅有一个公共点时，或. 记集合或，， 由⫋得“直线与曲线有且仅有一个公共点”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高二上·江西吉安·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解答过程】曲线，即 ， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 【题型8 直线与圆中的面积问题】 【例8】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得，， 所以的面积为. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【解答过程】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知直线与圆交于两点，且． (1)求实数的值； (2)设为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先把圆转化为标准方程，再应用点到直线距离列式计算求参； （2）应用点到直线的距离及弦长计算面积即可. 【解答过程】（1）圆的方程可化为   ∴圆心,半径 ∵  ∴ ∴圆心到直线的距离， 即，解得. （2）由（1）， 到的距离，     ∴，     ∴的面积为. 【变式8.3】（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆心坐标为，由题意得，求解即可求得圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【解答过程】（1）由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即， 解得， 即圆心坐标为， 所以半径， 所以圆C的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式9.1】（24-25高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 【变式9.2】（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【解答过程】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 【变式9.3】（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 【题型10 直线与圆的实际应用】 【例10】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 【变式10.1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式10.2】（24-25高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【答案】(1) (2)4辆 【解题思路】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【解答过程】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 【变式10.3】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【解题思路】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【解答过程】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线 与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【解题思路】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【解答过程】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【解答过程】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【解答过程】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B. 5．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【解答过程】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【解答过程】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 7．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【解答过程】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 8．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为2，弦平行于轴，将劣弧沿弦折叠，恰好经过原点，折叠后的图形如图所示．若直线与这两段弧有4个交点，则的可能取值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】利用对称性求出两点的坐标，再利用直线和圆的位置关系求出临界位置处的取值即可得出对应的取值范围，结合选项求出结果. 【解答过程】    又因为圆的半径为2，所以可得，， 当直线过时，将代入中，得． 由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上， 不妨将此圆心设为，连接，则， 所以，解得， 故弧对应的圆的方程为， 当直线与弧相切时，有，所以（已舍去）， 结合上图可知当时，直线与两段弧有4个交点． 又因为，观察选项知，只有B选项符合， 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【解题思路】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【解答过程】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 10．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．圆关于直线对称 C．若直线被圆截得的弦长为，则 D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】BD 【解题思路】对于A，将圆的方程整理为标准方程，由题意可得的范围，即可判断出A的真假；对于B，可得圆心的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得圆关于直线对称，即可判断出B的真假；对于C，求出圆心到直线的距离，由弦长公式可得的值，即可判断C的真假；对于D，当，可得圆心的坐标及半径的大小再求出的值，由勾股定理可得切线长的值，即可判断D的真假. 【解答过程】圆的方程为，所以，得，故A错误 因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确 圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误 当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，， 所以切线长为，故D正确． 故选：BD. 11．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【解题思路】根据圆的标准方程得出圆心为，半径为2，由圆切线的性质及勾股定理得，再根据点到直线的距离公式得出，即可判断A；结合A的结论得出即可判断B；结合A的结论，根据两直线交点，中点公式及点斜式方程求得弦所在的直线方程，即可判断C；设，得出以为直径的圆的方程，与圆方程相减即可得出弦所在直线方程，进而求得定点，即可判断D． 【解答过程】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 【答案】 【解题思路】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出. 【解答过程】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以 ， 故切线长 ． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解题思路】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 14．（24-25高二上·江苏扬州·期末）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【解答过程】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65. 四、解答题 15．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； （2）圆心到直线的距离， 又， 所以，解得    16．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【解题思路】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【解答过程】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 17．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1)，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2). 【解题思路】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】（1）解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 18．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【解答过程】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 19．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【解题思路】（1）根据条件得到和，再结合，即可求解； （2）（i）当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，通过消得到，从而得到，结合条件得到，再利用直线与圆的位置关系，即可求解；（ii）利用弦长公式，结合（i）中结果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $