3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，涵盖定义、图象特征及判断应用，通过具体函数实例导入，衔接函数基本性质，以定义辨析和图象观察搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合直观想象（分析奇偶函数图象对称）、逻辑推理（定义法判断奇偶性）和数学运算（利用奇偶性求参数值），通过题型示例与分层训练，助力学生逐步掌握，教师可高效教学，提升学生数学思维与解题能力。

第三章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 课程标准：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义，并会用符号语言描述.2.了解奇偶函数的图象特征，会判断简单函数的奇偶性． 教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.奇函数、偶函数的几何特征.3.判断函数的奇偶性． 教学难点：函数奇偶性的判定． 核心素养：1.借助奇偶函数的图象特征，培养直观想象素养.2.通过利用函数奇偶性求参数值或函数值，提升逻辑推理素养和数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点　偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_______________________________，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果_________________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数． [点拨]　奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)． ∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) ∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x) 核心概念掌握 5 [想一想]　(1)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？ (2)偶函数、奇函数的图象有什么特征？ 提示：存在．既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于坐标原点对称的集合． 提示：偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形． 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 3．(利用函数的奇偶性求值)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．7 4．(奇偶函数图象的应用)设f(x)是定义在[－3，3]上的偶函数，当x∈[0，3]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为___________________． (－2，0)∪(0，2) 核心概念掌握 8 核心素养形成 核心素养形成 10 核心素养形成 11 (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)． 综上所述，∀x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． 核心素养形成 12 【感悟提升】判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 核心素养形成 13 (2)图象法 (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 核心素养形成 14 核心素养形成 15 核心素养形成 16 (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0. 故f(x)为奇函数． 核心素养形成 17 题型二　奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 核心素养形成 18 解　(1)由题意补全函数图象如图所示． (2)根据图象可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)根据图象可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． 核心素养形成 19 [条件探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答？ 解：(1)由题意补全函数图象如图所示． (2)根据图象可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－1，1)． (3)根据图象可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)． 核心素养形成 20 【感悟提升】 1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)((－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0]([0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 核心素养形成 21 【跟踪训练】 2．已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为___________________． 解析：因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，从而得到y＝f(x)在[－5，5]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)． (－2，0)∪(2，5) 核心素养形成 22 题型三　利用函数的奇偶性求值 例3　　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝______． 0 核心素养形成 23 (2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________． －26 核心素养形成 24 【感悟提升】 1．利用函数的奇偶性求参数值的思路 (1)定义域含参数：若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程求解． (2)解析式含参数：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． 核心素养形成 25 2．利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 核心素养形成 26 －1 核心素养形成 27 (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，则f(1)＋g(1)的值为________． 解析：由题意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1，所以f(1)＋g(1)＝－1－1＋1＝－1. －1 核心素养形成 28 随堂水平达标 1．函数f(x)＝x3的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称 解析： f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称． 随堂水平达标 30 2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋2x－3，则f(－2)＝(　　) A．5 B．－5 C．0 D．2 解析：因为当x>0时，f(x)＝x2＋2x－3，所以f(2)＝22＋2×2－3＝5，又f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－5.故选B. 随堂水平达标 31 3．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，即4－2m＝0，所以m＝2. 随堂水平达标 32 随堂水平达标 33 5．已知函数f(x)＝(a＋1)x3－(a＋2)x－bx2是定义在[a－3，a＋1]上的奇函数，则f(a＋b)＝________． 解析：由函数f(x)＝(a＋1)x3－(a＋2)x－bx2是定义在[a－3，a＋1]上的奇函数，得(a－3)＋(a＋1)＝0，解得a＝1，则f(x)＝2x3－3x－bx2，若其为奇函数，必有b＝0，则f(x)＝2x3－3x，又a＝1，b＝0，则f(a＋b)＝f(1)＝－1. －1 随堂水平达标 34 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 奇偶函 数的图 象特征 奇偶函数定义域的 特点　　 奇函数 的图象 特征　 函数奇偶性的判断—— 图象法 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求参数值 利用函数的奇偶性求参数值 函数奇偶性的判断—— 定义法 奇函数的定义 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 函数奇偶性的判断—— 定义法 奇函数的图象特征的应用 利用函数的奇偶性求函数值 奇偶函数图象的 应用　　　 函数奇偶性的判断—— 性质法 利用函数的奇偶性求函数值 奇偶函数图象 的应用 利用函数的奇偶性求参数值 抽象函数奇偶性的证明—— 定义法 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 一、单项选择题 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 解析：A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 2．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 解析：因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1.故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 39 解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故f(x)是奇函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 40 5．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)＝(　　) A．2 B．6 C．－6 D．0 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)＝－f(2)＝－2×(1＋2)＝－6.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 41 6．已知函数g(x)＝x7－Ax5＋Bx3－Cx，若g(2)＝－1，则g(－2)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：∵g(x)＝x7－Ax5＋Bx3－Cx，∴g(－x)＝(－x)7－A(－x)5＋B(－x)3－C(－x)＝－x7＋Ax5－Bx3＋Cx，则g(x)＋g(－x)＝0，∴g(x)为奇函数，∴g(－2)＝－g(2)＝1.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 43 8．若函数f(x)＝ax2＋(2b－a)x＋b－a是定义在[2－2a，a]上的偶函数，则a－b＝(　　) A．1 B.2 C.3 D.4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 46 11．对于函数y＝f(x)，定义域为D＝[－2，2]，下列命题正确的是(　　) A．若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数 B．若对任意x∈[－2，2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数 C．若f(2)≠f(－2)，则y＝f(x)不是偶函数 D．若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数 解析：对于A，不满足偶函数定义中的任意性，故A错误；对于B，由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此y＝f(x)是D上的奇函数，故B正确；对于C，当f(2)≠f(－2)时，y＝f(x)一定不是偶函数，故C正确；对于D，若满足f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，故D正确．故选BCD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 48 13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________． 解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，所以f(0)＋f(1)＝－2. －2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 49 14．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式xf(x)>0的解集为____________________． 解析：描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，则可得f(x)的图象如图所示．结合函数f(x)的图象可知，不等式xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)． (－2，0)∪(0，2) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 50 15．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．再根据两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|＝|f(x)||g(x)|是偶函数．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 51 16．已知偶函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(x＋1)－2，若函数g(x)为奇函数，且f(2)＝2，则f(4)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：因为偶函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(x＋1)－2，若函数g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝f(1－x)＋f(x＋1)－4＝0，即f(x＋1)＋f(1－x)＝4，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝4，故f(4)＋f(2)＝f(4)＋2＝4，故f(4)＝2.故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 52 {x|－2<x<－1，或0<x<1，或2<x<3} 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 56 19．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)是偶函数； (2)设函数f(x)的定义域为(－l，l)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 证明：(1)令x1＝0，x2＝x， 得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)， ① 令x2＝0，x1＝x， 得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)， ② 由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 57 (2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)． ∴f(－x)的定义域也是(－l，l)． 令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)， 则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的． ∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)， ∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 58 　　　　　　　　　　　　　 R 1．(函数奇偶性的判断)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝eq \f(1,\r(x)) D．y＝x2，x∈[0，1] 2．(奇偶函数定义域的特点)已知函数f(x)为定义在区间[3－a，5]上的奇函数，则a＝(　　) A．－2 B．3 C．8 D．无法确定 题型一　函数奇偶性的判断　　 例1　　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)； (4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.)) 解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1， 所以函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． 【跟踪训练】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|； (2)f(x)＝eq \f(\r(2－x2),|x＋2|－2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x>0，,0，x＝0，,－x2－2，x<0.)) 解：(1)f(x)的定义域是R，关于原点对称， 又f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)， 故f(x)是偶函数． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))解得－eq \r(2)≤x<0或0<x≤eq \r(2)，定义域关于原点对称． 于是|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝eq \f(\r(2－x2),x)，显然它是奇函数． 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3)，所以f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b.根据偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，即eq \f(1,3)(－x)2＋b(－x)＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b，所以2bx＝0.由x的任意性知b＝0. eq \f(1,3) 解析　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 解法二：由已知条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＝（－2）5＋（－2）3a＋（－2）b－8①，,f（2）＝25＋23a＋2b－8 ②，)) ①＋②，得f(2)＋f(－2)＝－16. 又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26. 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)＝eq \f(（x＋1）（x＋a）,x)为奇函数，则a＝________． 解析：解法一：因为f(x)＝eq \f(（x＋1）（x＋a）,x)，f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即eq \f(（－x＋1）（－x＋a）,－x)＋eq \f(（x＋1）（x＋a）,x)＝0，所以eq \f(x2＋（a＋1）x＋a－[x2－（a＋1）x＋a],x)＝0，所以2(a＋1)x＝0，所以a＋1＝0，即a＝－1. 解法二：由题意知f(－1)＝0.又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(1)＝0，即eq \f(（1＋1）（1＋a）,1)＝0，所以a＝－1.经检验，符合题意． 4．(多选)下列函数中是偶函数的是(　　) A．f(x)＝|x| B.f(x)＝x2－2x－3 C．f(x)＝2x2－|x|－1 D．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,x＋1，x>0)) 解析：对于A，f(x)＝|x|，定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于B，f(x)＝x2－2x－3，不满足f(x)＝f(－x)，不是偶函数；对于C，f(x)＝2x2－|x|－1，定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于D，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,x＋1，x>0，))作出其图象如下，可知不是偶函数．故选AC. 3．函数f(x)＝eq \f(x2－1,x)的图象一定关于(　　) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线x＝1对称 解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝eq \f(（－x）2－1,－x)＝－eq \f(x2－1,x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称． 4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,－1，x<0，))则f(x)(　　) A．是偶函数 B．是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 7．已知函数f(x)＝eq \f(x＋a,\r(1－x2))为奇函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：函数f(x)＝eq \f(x＋a,\r(1－x2))的定义域为(－1，1)，而f(x)为奇函数，则f(0)＝a＝0，此时f(x)＝eq \f(x,\r(1－x2))，f(－x)＝eq \f(－x,\r(1－（－x）2))＝－eq \f(x,\r(1－x2))＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以a＝0.故选B. 解析：因为函数f(x)是定义在[2－2a，a]上的偶函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2a＋a＝0，,2b－a＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以a－b＝2－1＝1.故选A. 二、多项选择题 9．下列函数中是奇函数的是(　　) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝eq \f(1,x－1) D．y＝x|x| 解析：y＝x是奇函数，A符合题意；y＝x2是偶函数，B不符合题意；y＝eq \f(1,x－1)既不是奇函数也不是偶函数，C不符合题意；令f(x)＝x|x|，其定义域为R，∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)＝x|x|是奇函数，即y＝x|x|是奇函数，D符合题意．故选AD. 10．若f(x)为R上的奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＋f(－x)＝0 B．f(x)－f(－x)＝2f(x) C．f(x)f(－x)<0 D.eq \f(f（x）,f（－x）)＝－1 解析：∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，eq \f(f（x）,f（－x）)的分母为0，无意义，故D不正确．故选AB. 三、填空题 12．能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________________． 解析：举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，如f(x)＝eq \f(1,x). eq \f(1,x)(答案不唯一) 17．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式eq \f(f（x）,g（x）)<0的解集是_________________________________． 解析：由题意知，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．根据奇、偶函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知，f(x)>0⇔0<x<2或－2<x<0，f(x)<0⇔－3≤x<－2或2<x≤3，g(x)>0⇔1<x<3或－1<x<0，g(x)<0⇔－3<x<－1或0<x<1.eq \f(f（x）,g（x）)<0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）>0，,g（x）<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）<0，,g（x）>0，))可求得其解集是{x|－2<x<－1，或0<x<1，或2<x<3}． 18．已知函数f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5.分别求a，b，c的值． 解：因为函数f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx＋c)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 故eq \f(a（－x）2＋1,b（－x）＋c)＝－eq \f(ax2＋1,bx＋c)， 即eq \f(ax2＋1,－bx＋c)＝eq \f(ax2＋1,－bx－c)， 所以－bx＋c＝－bx－c，即c＝－c，解得c＝0. 所以f(x)＝eq \f(ax2＋1,bx). 而f(1)＝eq \f(a×12＋1,b×1)＝eq \f(a＋1,b)＝3， 所以a＋1＝3b. ① 又f(2)＝eq \f(a×22＋1,b×2)＝eq \f(4a＋1,2b)＝5， 所以4a＋1＝10b. ② 解①②组成的方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2).)) 综上，a＝eq \f(7,2)，b＝eq \f(3,2)，c＝0. $