2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，涵盖概念、二次函数零点及三个“二次”关系，从实际情境抽象问题导入，衔接二次函数图像与方程根的联系，构建从概念到解法的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，通过三个“二次”关系表格梳理和含参数不等式分类讨论例题，培养数学思维与推理能力，结合函数图像强化直观想象，设置评价自测和分层练习提升运算素养。教师可借助系统框架高效教学，学生能在实践中深化理解。

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重点：1.三个“二次”之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：三个“二次”之间的关系． 核心素养：1.通过了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象素养.2.通过解一元二次不等式，培养数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有__________未知数，并且未知数的______________的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的__________ ． [提醒]　零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． 一个 最高次数是2 零点 核心概念掌握 5 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 核心概念掌握 6 [点拨]　(1)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集． (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集是空集． 核心概念掌握 7 1．(二次函数的零点)二次函数y＝x2＋2x＋1的零点为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 3．(不含参数的一元二次不等式的求解)不等式3＋5x－2x2≤0的解集为_______________________． 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　一元二次不等式的解法 例1　　解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0； (3)－2x2＋x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. 核心素养形成 12 核心素养形成 13 【感悟提升】解不含参数的一元二次不等式的步骤 核心素养形成 14 【跟踪训练】 1．求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6. 解: (1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0， ∵x2－5x－6＝0的两根是x1＝－1，x2＝6， ∴不等式x2－5x>6的解集为{x|x<－1，或x>6}． 核心素养形成 15 核心素养形成 16 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 例2　　解下列关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 核心素养形成 17 核心素养形成 18 核心素养形成 19 【感悟提升】解含参数的一元二次不等式的步骤 核心素养形成 20 【跟踪训练】 2．(1)解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解:原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知， ①当a<0或a>1时，a2>a， 解原不等式得x>a2或x<a； ②当0<a<1时，a2<a， 解原不等式得x>a或x<a2； 核心素养形成 21 ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0； ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 核心素养形成 22 (2)解关于x的不等式ax2－(4a＋1)x＋4>0. 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 核心素养形成 26 [结论探究]　若本例中的已知条件不变，如何求不等式cx2－bx＋a<0的解集？ 核心素养形成 27 【感悟提升】　 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 核心素养形成 30 随堂水平达标 1．设x∈R，则“x>0”是“x2＋x>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2＋x>0，得x>0或x<－1，所以“x>0”是“x2＋x>0”的充分不必要条件．故选A. 随堂水平达标 32 2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4≤x≤7} B．{x|－4≤x<－2，或3<x≤7} C．{x|－2<x≤7} D．{x|－4≤x<－3，或2<x≤7} 解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2，或x>3}，∴M∩N＝{x|－4≤x<－2，或3<x≤7}． 随堂水平达标 33 随堂水平达标 34 随堂水平达标 35 5．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2－bx＋a>0的解 集为_________________． 随堂水平达标 36 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 不含参数的一元二次不等式的求解 已知一元二次不等式的解集求参数值 含参数的一元二次不等式的求解 一元二次不等式与充分、必要条件的结合 含绝对值的一元二次不等式的求解 已知一元二次不等式的解集求参 数值 一元二次不等式与二次函数的关系及应用 一元二次方程根的分布问题 一元二次不等式的 求解 含参数的一元二次不等式的求解 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 三个“二次”之间的关系 不含参数的一元二次不等式的求解 一元二次不等式与一元二次方程的 关系 利用三个“二次”之间的关系求参数范围 新定义背景下不含参数的一元二次不等式的 求解 一元二次不等式与一元二次方程的关系；一元二次方程根的分布问题 已知一元二次不等式的解集求参数 范围 不含参数的一元二次不等式的求解；三个“二次”之间的关系 分类讨论思想求解含参数的一元二次不等式的解集 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 38 一、单项选择题 1．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} 解析：不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0，即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以原不等式的解集为{x|－1<x<4}． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 39 2．若不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋2c－1的值为(　　) A．2 B．－1 C．0 D．1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 41 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 42 5．不等式－x2－|x|＋6>0的解集为(　　) A．{x|－3<x<2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>3} D．{x|x<－3，或x>2} 解析：原不等式可化为|x|2＋|x|－6<0，即－3<|x|<2，解得－2<x<2.故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 43 6．甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|1<x<6}；乙写错了常数c，得到的解集为{x|1<x<4}．那么原不等式的解集为(　　) A．{x|－1<x<6} B．{x|－6<x<1} C．{x|－3<x<－2} D．{x|2<x<3} 解析：由题意知，甲的常数c正确，由根与系数的关系可知1×6＝c，故c＝6；乙的常数b正确，由根与系数的关系可知1＋4＝－b，故b＝－5.所以原不等式为x2－5x＋6<0，即(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3，所以原不等式的解集为{x|2<x<3}．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 44 7．已知y＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且不等式y<0的解集是{y|α<y<β}(α<β)，则α，β，a，b的大小关系是(　　) A．a<α<β<b B．a<α<b<β C．α<a<b<β D．α<a<β<b 解析：设y1＝(x－a)(x－b)，则函数y1＝(x－a)(x－b)的图象向上平移2个单位长度得到y＝(x－a)(x－b)＋2的图象，由图易知a<α<β<b.故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 51 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|1＜x＜2}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．b＋c>0 C．关于x的不等式ax2＋cx＋b<0的解集为{x|－3＜x＜1} D．若c3＋bc＋a≤0，则a＋b＋2c的最大值为1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 53 三、填空题 12．不等式2≤x2－2x<8的解集是____________________________________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 54 19 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 55 14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围是______________________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 57 16．(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3 C．x2－x1>4 D．－1<x1<x2<3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 58 {a|4<a≤5} 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 59 18．已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集． 解： (1)由x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴A＝{x|－3<x<2}． 由x2－2x－3<0，得－1<x<3， ∴B＝{x|－1<x<3}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 61 19．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 62 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 63 　　　　　　　　　　　　　 R Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ———————— ———————— ————— ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ———————— ———————— ————— eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) 2．(三个“二次”之间的关系)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|x<－2，或x>－1}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>\f(1,2))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<－\f(1,2))))) D．{x|x<－2，或x>1} 4．(含参数的一元二次不等式的求解)关于x的不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋1))x＋a＋eq \f(1,a)<0(a>0)的解集为________________． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)，或x≥3)))) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<a＋\f(1,a))))) 解　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，或x>2)))). （2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}. （3）原不等式可化为2x2－x＋3>0， ∵Δ<0，方程2x2－x＋3＝0无解， ∴不等式－2x2＋x－3<0的解集为R. （4）原不等式可化为3x2－5x＋2<0， ∵Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq \f(2,3) ，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<1)))). (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， ∵方程(2x－1)2＝0的根为x＝eq \f(1,2)， ∴不等式4x2－4x＋1≤0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2))))). (3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0. ∵x2－7x＋6＝0的两根是x1＝1，x2＝6， ∴不等式－x2＋7x>6的解集为{x|1<x<6}． 解　(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R； ②当Δ>0，即a>4或a<－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝eq \f(1,4)(－a－eq \r(a2－16))，x2＝eq \f(1,4)(－a＋eq \r(a2－16))，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,4)（－a－\r(a2－16)），或x>\f(1,4)（－a＋\r(a2－16)）)))). ③当Δ＝0，即a＝4或－4时，方程2x2＋ax＋2＝0有两个相等的实数根， 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}， 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． (2)若a＝0，原不等式为－x＋1<0，解得x>1； 若a<0，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq \f(1,a)或x>1； 若a>0，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，(*) 其解的情况应由eq \f(1,a)与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式可得x∈∅， ②当a>1时，由(*)式可得eq \f(1,a)<x<1， ③当0<a<1时，由(*)式可得1<x<eq \f(1,a). 综上所述，当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)，或x>1))))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))). 解：当a＝0时，不等式化为－x＋4>0，解得x<4； 当a≠0时，ax2－(4a＋1)x＋4>0可化为a(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0. 当a>0时，若eq \f(1,a)>4，则0<a<eq \f(1,4)， 原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜4，或x>\f(1,a)))))； 若eq \f(1,a)＝4，则a＝eq \f(1,4)，原不等式的解集为{x|x≠4}； 若eq \f(1,a)<4，则a>eq \f(1,4)，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)，或x>4))))； 当a<0时，eq \f(1,a)<4，由a(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0， 得(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<4)))). 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<4}；当0<a<eq \f(1,4)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜4，或x>\f(1,a)))))；当a＝eq \f(1,4)时，原不等式的解集为{x|x≠4}；当a>eq \f(1,4)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)，或x>4))))；当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<4)))). 题型三　三个“二次”之间的关系 例3　　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解　由ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))，知a<0. 又－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)， ∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a， ∴所求不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又a<0， ∴2x2＋5x－3<0，解得－3<x<eq \f(1,2)， ∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－3<x<\f(1,2))))). 解：由例3，知a<0，b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a， ∴所求不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a<0， 即2ax2－5ax－3a>0. 又a<0， ∴2x2－5x－3<0，解得－eq \f(1,2)<x<3， ∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<3)))). 【跟踪训练】 3．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2))))). (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为eq \f(1,3)，eq \f(1,2)， 由根与系数的关系，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(5,a)＝\f(1,3)＋\f(1,2)，,\f(c,a)＝\f(1,2)×\f(1,3)，)) 解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得eq \f(1,3)≤x≤1， 所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤1)))). 3．(多选)下列不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋2x＋1<0 B．－x2＋2x－eq \r(5)≤0 C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0 解析：对于A，当x＝1时，不等式不成立，∴A不符合题意；对于B，∵－x2＋2x－eq \r(5)≤0，∴x2－2x＋eq \r(5)≥0，∵Δ＝4－4eq \r(5)<0，∴B符合题意；对于C，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∴C符合题意；对于D，当x＝0时，不等式不成立，∴D不符合题意．故选BC. 4．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))<0的解集为___________________． 解析：因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))>0，方程(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＝0的两根为－1，－eq \f(1,a)，显然－1<0<－eq \f(1,a)，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>－\f(1,a))))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1，或x>－\f(1,a))))) 解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.)) 代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0，又a<0，所以6x2＋5x＋1<0，解得－eq \f(1,2)<x<－eq \f(1,3)，所以所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))) . eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))) 解析：由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根与系数的关系，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,－1)＝－2＋1，,\f(c,－1)＝－2×1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝2，))所以b＋2c－1＝－1＋2×2－1＝2. 3．若0<t<1，则不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))＋1<0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<t，或x>\f(1,t))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)，或x>t)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))) 解析：不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))＋1<0可化为(x－t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0，∵0<t<1，∴t<eq \f(1,t)，∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))). 4．关于x的一元二次不等式x2＋x＋m<0有实数解的一个必要不充分条件是(　　) A．m<0 B．m≤eq \f(1,4) C．m<－eq \f(1,2) D．m<eq \f(1,4) 解析：若关于x的一元二次不等式x2＋x＋m<0有实数解，则Δ＝1－4m>0，解得m<eq \f(1,4).eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,4)))))是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,4)))))的真子集．故选B. 8．若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|0<m<2} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<m<\f(1,2))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,2))))) D．{m|m≤2} 解析：当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实数根．当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元二次方程，关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实数根，设两根为x1，x2，当Δ＝4－8m＝0，即m＝eq \f(1,2)时，方程为eq \f(1,2)x2＋2x＋2＝0，解得x＝－2，满足题意；当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝4－8m>0，))即m<eq \f(1,2)，且m≠0时，若只有一个负实数根，则x1x2＝eq \f(2,m)<0，得m<0，若有两个负实数根，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,2)，且m≠0，,x1＋x2＝－\f(2,m)<0，,x1x2＝\f(2,m)>0，))得0<m<eq \f(1,2).综上所述，实数m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,2))))).故选C. 二、多项选择题 9．下列说法错误的是(　　) A．ax2>0(a>0)的解集为R B．不等式x2＋x＋1<0的解集为∅ C．如果ax2＋bx＋c＝0中a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) D．x2＋3x－4>0的解集和不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x＋4>0))的解集相同 解析：对于A，ax2>0(a>0)的解集为{x|x≠0}，故A错误；对于B，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以x2＋x＋1<0的解集为∅，故B正确；对于C，若a<0，Δ＝0，则ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(b,2a)))))，故C错误；对于D，x2＋3x－4>0的解集为{x|x<－4，或x>1}，不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x＋4>0))的解集为{x|x>1}，故D错误．故选ACD. 10．解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>4，或x<－\f(2,a))))) C．当a＝－eq \f(1,2)时，不等式的解集为R D．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4} 解析：不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>4，或x<－\f(2,a)))))，故B正确；当a＝－eq \f(1,2)时，不等式为eq \f(1,2)x2－4x＋8<0，Δ＝(－4)2－4×eq \f(1,2)×8＝0，不等式的解集为∅，故C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．故选ABD. 解析：因为关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|1＜x＜2}，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝0，))整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3a，,c＝2a，))则b＋c＝－a<0，A正确，B错误；由ax2＋cx＋b＝ax2＋2ax－3a＝a(x2＋2x－3)<0，解得－3<x<1，C正确；c3＋bc＋a＝8a3－6a2＋a≤0，即8a2－6a＋1≤0，解得eq \f(1,4)≤a≤eq \f(1,2)，则a＋b＋2c＝2a≤1，D正确．故选ACD. 解析：原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－2≥0，,x2－2x－8<0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1－\r(3)或x≥1＋\r(3)，,－2<x<4，))∴原不等式的解集为{x|－2<x≤1－eq \r(3)，或1＋eq \r(3)≤x<4}． {x|－2<x≤1－eq \r(3)，或1＋eq \r(3)≤x<4} 13．设方程x2＋bx＋c＝0的两根是x1，x2，若不等式x2－bx＋c<0的解集是{x|－3<x<2}，则xeq \o\al(3,1)＋xeq \o\al(3,2)的值是________． 解析：由不等式x2－bx＋c<0的解集是{x|－3<x<2}可知，x2－bx＋c＝0的两根为－3，2，所以－3＋2＝b，－3×2＝c，所以b＝－1，c＝－6，所以x2＋bx＋c＝x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2，所以xeq \o\al(3,1)＋xeq \o\al(3,2)＝27－8＝19. 解析：设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2；若A≠∅，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4（a＋2）≥0，,12－2a＋a＋2≥0，,32－3×2a＋a＋2≥0，,1≤a≤3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－1或a≥2，,a≤3，,a≤\f(11,5)，,1≤a≤3，))所以2≤a≤eq \f(11,5).综上，a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<a≤\f(11,5))))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<a≤\f(11,5))))) 15．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x<\f(15,2))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x≤\f(15,2))))) C．{x|2<x<8} D．{x|2≤x<8} 解析：由题意解得eq \f(3,2)<[x]<eq \f(15,2)，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，则2≤x<8，故不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为{x|2≤x<8}．故选D. 解析：∵关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2，x1<x2}，∴a<0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1－3a,a)＝eq \f(1,a)－3<－3，x2－x1＝eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(4－4×\f(1－3a,a))＝2eq \r(4－\f(1,a))>4.由x2－x1>4和x1＋x2＝2可得x1<－1<3<x2.故选ABC. 17．若a>1，且不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(4,a)))x＋4<0的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围是_____________． 解析：由x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(4,a)))x＋4<0，可得(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,a)))<0，由题意，当1<a<2，即a<eq \f(4,a)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＜x＜\f(4,a))))).若满足解集中有且仅有四个整数，则解集为{2，3，4，5}，则5<eq \f(4,a)≤6，此时eq \f(2,3)≤a<eq \f(4,5)，与1<a<2矛盾；当a＝2，即a＝eq \f(4,a)时，原不等式的解集为∅，不符合题意；当a>2，即a>2>eq \f(4,a)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＜x＜a))))；若满足解集中有且仅有四个整数，则解集可能为{2，3，4，5}或{1，2，3，4}，当整数解为2，3，4，5时，则5<a≤6，且1≤eq \f(4,a)<2，无解，当整数解为1，2，3，4时，0<eq \f(4,a)<1，且4<a≤5，解得4<a≤5.综上所述，a的取值范围是{a|4＜a≤5}． (2)由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0，,4＋2a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，)) ∴－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0， 解得x<－3或x>1. ∴不等式ax2＋bx＋3<0的解集为{x|x<－3，或x>1}． 解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 则eq \f(a＋1,2)，3－2a分别为方程(2x－a－1)(x＋2a－3)＝0的两根． 由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，所以a<－1或a>eq \f(3,2). 若a<－1，则3－2a－eq \f(a＋1,2)＝eq \f(5,2)(－a＋1)>5，所以3－2a>eq \f(a＋1,2)， 此时原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)<x<3－2a))))； 若a>eq \f(3,2)，由3－2a－eq \f(a＋1,2)＝eq \f(5,2)(－a＋1)<－eq \f(5,4)， 所以3－2a<eq \f(a＋1,2)， 此时原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3－2a<x<\f(a＋1,2))))). 综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<－1，或a>\f(3,2))))). 当a<－1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)<x<3－2a))))；当a>eq \f(3,2)时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3－2a<x<\f(a＋1,2))))). $