1.1. 第1课时 集合的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的概念、元素与集合的关系及元素三性，通过CBA队伍等实例导入，从具体对象抽象出集合定义，搭建从实例到概念的学习支架，帮助学生衔接初中数学与高中抽象知识。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“CBA队伍是否构成集合”等实例辨析集合确定性，结合元素互异性解题训练逻辑推理。采用概念辨析+分层练习模式，学生能提升抽象思维，教师可直接利用题型示例与素养跟踪实施教学。

第一章　集合与 常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 课程标准：1.通过实例，了解集合的含义.2.理解元素与集合的属于关系． 教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定． 教学难点：理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题． 核心素养：1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养.2.借助集合中元素的特性的学习，培养逻辑推理素养和数学运算素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把___________统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些_______组成的总体叫做集合，简称为______，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：构成两个集合的元素是________的． (4)集合中元素的特性：_________、互异性和无序性． 研究对象 元素 集 一样 确定性 核心概念掌握 5 [想一想]　元素1，3，5与元素5，1，3组成的集合相等吗？ 提示：由集合中元素的无序性可知，元素1，3，5与元素5，1，3组成的集合相等． 核心概念掌握 6 知识点二　元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作a______A；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a_____A. [提醒]　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向． 属于 ∈ 不属于 ∉ 核心概念掌握 7 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ________ ___________ ______ ______ ______ 知识点三　常用的数集及其记法 N N*或N＋ Z Q R 核心概念掌握 8 1．(集合的概念)下列元素的全体不能构成集合的是(　　) A．中国古代四大发明 B．周长为10 cm的三角形 C．方程x2－3x＋2＝0的实数解 D．地球上的小河流 2．(元素与集合的关系)已知集合M由小于5的数构成，则有(　　) A．3∈M B．－3∉M C．0∉M D．7∈M 核心概念掌握 9 3．(集合中元素的特性)由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．(集合概念的应用)已知集合A中，元素x满足2x＋a>0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为_____________． －4<a≤－2 核心概念掌握 10 核心素养形成 题型一　对集合的理解 　　 例1　中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的有哪些？并说明你的理由． (1)2024～2025赛季，CBA的所有队伍； (2)CBA中比较著名的球员； (3)CBA中得分前五位的球员； (4)CBA中比较高的球员． 核心素养形成 12 解　能构成一个集合的有(1)(3)． (1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合． (2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合． 核心素养形成 13 【感悟提升】一组对象能构成集合的两个条件 (1)能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)任何两个对象都是不同的． 核心素养形成 14 【跟踪训练】 1．下列各组对象可以构成集合的是(　　) A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．平面直角坐标系中第一象限的一些点 D．所有小的正数 解析：A中“难题”的标准不确定，所以不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，所以不能构成集合；D中“小”的标准不确定，所以不能构成集合．故选B. 核心素养形成 15 核心素养形成 16 ①②④⑤ 核心素养形成 17 【感悟提升】判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 核心素养形成 18 【跟踪训练】 2．(1)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：由题意得，当a＝2时，2∈A，6－2＝4∈A；当a＝4时，4∈A，6－4＝2∈A；当a＝6时，6∈A，6－6＝0∉A，所以a＝2或4.故选B. 核心素养形成 19 0，1，2 核心素养形成 20 题型三　集合中元素的特性及应用 例3　 (1)已知集合A只含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 解　由题意可知，a＝1或a2＝a. ①若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. ②若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上，实数a的值为0. 核心素养形成 21 (2)已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，2x2，且集合A与B相等，求x，y的值． 核心素养形成 22 [条件探究]　本例(1)中，若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由集合中元素的互异性可知a2≠1， 即a≠±1. 核心素养形成 23 【感悟提升】利用集合中元素的特性求参数的步骤 注意：在利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的运用． 核心素养形成 24 【跟踪训练】 3．(1)已知集合A中含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值． 核心素养形成 25 (2)已知集合A中含有三个元素0，1，a2，集合B中含有三个元素1，0，2a＋3，若集合A与B相等，求a的值． 解：因为集合A与集合B相等，所以a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3. 当a＝－1时，a2＝1，2a＋3＝1，集合A，B均不满足元素的互异性，所以a≠－1. 当a＝3时，经检验，符合题意． 综上，a＝3. 核心素养形成 26 随堂水平达标 1．下列各组对象不能构成一个集合的是(　　) A．不超过20的非负实数 B．方程x2－4＝0在实数范围内的解 C．未来世界的高科技产品 D．某校体重超过130斤的同学的全体 解析：A，B，D均有明确的标准，可以构成一个集合，C中“高科技产品”的标准不确定，不能构成一个集合．故选C. 随堂水平达标 28 随堂水平达标 29 3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则集合M中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素． 随堂水平达标 30 4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________． 解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上，m＝3. 3 随堂水平达标 31 5．若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A与B相等，则实数x的值为________． －1 随堂水平达标 32 课后课时精练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 集合的概念 判断元素与集合的关系 由元素与集合的关系求参数值 集合中元素的互异性 同一个集合的判断 由元素与集合的关系求参数值 集合中元素的互异性的应用 由元素与集合的关系求参数值 集合中元素的互异性的应用 常用数集的 应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 判断元素与集合的 关系 判断元素与集合的关系 由元素与集合的关系求参数值 集合中元素的特性及应用 判断元素与集合的 关系 与集合概念有关的新定义问题 判断元素与集合的关系 集合中元素的特性及 应用 新定义为背景解决元素与集合的关系 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 一、单项选择题 1．下列语言叙述中，能表示集合的是(　　) A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．太阳系内的所有行星 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与△ABC大小相仿的所有三角形 解析：对于A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A不符合题意；对于B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B符合题意；对于C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C不符合题意；对于D，与△ABC大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D不符合题意．故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 36 3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－5 B．－4 C．4 D．5 解析：因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 4．英文单词excellent的所有字母组成的集合中共有(　　) A．6个元素 B．7个元素 C．8个元素 D．9个元素 解析：单词excellent中所有不同的字母为e，x，c，l，n，t，所以组成的集合中共有6个元素．故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 38 解析：由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 39 6．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．小于或等于1 解析：由y∈N且y＝－x2＋1≤1，得y＝0或y＝1，所以集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或t＝1.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 41 8．已知集合A中含有三个元素12，a2＋4a，a－2，且a∈R，若－3∈A，则a＝(　　) A．－1 B．－3或1 C．3 D．－3 解析：∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2.若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3.当a＝－1时，a2＋4a＝a－2＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝－3时，集合A中含有三个元素：12，－3，－5，满足题意．若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，a＝－3.故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 42 二、多项选择题 9．若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能是(　　) A．矩形 B.平行四边形 C．菱形 D.梯形 解析：由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，矩形、平行四边形的对边相等，菱形的四边相等．故选ABC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 43 10．下列说法正确的是(　　) A．N＋中最小的数是1 B．若－a∉N＋，则a∈N＋ C．若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 44 解析：当x，y，z同为正数时，代数式的值为4；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.故选CD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 45 三、填空题 12．已知集合A是由所有偶数组成的，集合B是由所有奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”) 解析：由题意，知a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，所以a＋b∉A，ab∈A. ∉ ∈ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 46 13．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a＝________． 0或1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 47 －1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 48 15．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B 解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 49 16．若集合G关于运算⊕满足： ①对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G； ②存在c∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”． 在下列集合和运算中，G关于运算⊕为“融洽集”的是(　　) A．G为正整数集N＋，⊕为整数的加法 B．G为自然数集N，⊕为整数的加法 C．G为整数集Z，⊕为整数的减法 D．G为所有偶数组成的集合，⊕为整数的乘法 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 50 解析：对于A，对任意正整数a，b，都有a＋b为正整数，故有a⊕b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有a＋c＝c＋a＝a，故G不是“融洽集”；对于B，根据题意可知，当a，b都为非负整数时，a，b通过加法运算还是非负整数，故有a⊕b∈G，且存在一整数0∈G，使得对一切a∈G都有a＋0＝0＋a＝a，故G是“融洽集”；对于C，对任意整数a，b，a－b仍为整数，故有a⊕b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有a－c＝c－a＝a，故G不是“融洽集”；对于D，对任意偶数a，b，都有ab为偶数，故有a⊕b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有ac＝ca＝a，故G不是“融洽集”．故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 51 ∈ ∉ ∈ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 52 18．由a2，2－a，4所组成的集合记为A. (1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (2)若A中含有两个元素，求a的值． 解：(1)由题意知，若A中只含有一个元素，则这三个数相等，即a2＝2－a＝4， 由2－a＝4，解得a＝－2，此时a2＝4，符合条件． 故当a＝－2时，A中只有一个元素． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 53 (2)由题意可知，这三个数中有两个数相等． 当2－a＝4时，a＝－2，由(1)知此时集合A中只含有一个元素，不符合题意； 当a2＝4，即a＝2(a＝－2舍去)时，2－a＝0，故此时集合A中含有两个元素：0，4. 当a2＝2－a，即a2＋a－2＝0时， 由(a－1)(a＋2)＝0， 解得a＝1或a＝－2(舍去)， 此时a2＝2－a＝1， 显然集合A中含有两个元素：1，4. 综上，若A中含有两个元素，则a＝2或a＝1. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 57 　　　　　　　　　　　　　 R 题型二　元素与集合的关系 例2　　(1)下列所给关系正确的个数是(　　) ①π∈R；②eq \r(2)∉Q；③0∈N＋；④|－5|∉N＋. A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①π是实数，所以π∈R正确；②eq \r(2)是无理数，所以eq \r(2)∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N＋错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N＋错误．故选B. (2)如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x＝a＋beq \r(2)(a，b∈Q)，则下列元素中属于集合M的是___________(填序号)． ①x＝0；②x＝eq \r(2)；③x＝3－2eq \r(2)π；④x＝eq \f(1,3－2\r(2))；⑤x＝eq \r(6－4\r(2))＋eq \r(6＋4\r(2)). 解析　当a＝b＝0时，x＝0，①属于集合M；当a＝0，b＝1时，x＝eq \r(2)，②属于集合M；当a＝3，b＝－2π时，b∉Q，x＝3－2eq \r(2)π∉M，③不属于集合M；当a＝3，b＝2时，x＝3＋2eq \r(2)＝eq \f(1,3－2\r(2))，④属于集合M；x＝eq \r(6－4\r(2))＋eq \r(6＋4\r(2))＝2－eq \r(2)＋2＋eq \r(2)＝4，当a＝4，b＝0时，x＝4，⑤属于集合M. (2)集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，且x∈N，则集合A中的元素为________． 解析：∵eq \f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0，1，2. 解　因为集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素2x，2x2， 所以x≠y，且2x≠2x2，所以x≠y，且x≠0，x≠1. 因为集合A与B相等， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x，,y＝2x2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x2，,y＝2x.))由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x，,y＝2x2，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))(舍去)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x2，,y＝2x，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1.)) 综上所述，x＝eq \f(1,2)，y＝1. 解：因为－3∈A， 所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3， 所以a＝－1或a＝－eq \f(3,2). 当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，所以a＝－1舍去； 当a＝－eq \f(3,2)时，经检验，符合题意． 综上，a＝－eq \f(3,2). 2．下列说法中不正确的是(　　) A．若a∈N，则eq \f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈Z C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R 解析：A不正确，反例：a＝1∈N，eq \f(1,a)＝1∈N. 解析：因为A与B相等，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝x2，,1＝x＋x2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝x＋x2，,1＝x2，))解得x＝±1.经检验，x＝1不符合集合中元素的互异性，而x＝－1符合，所以x＝－1. 2．下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A．－1∈N B．0∈Z C．0.33∉Q D．eq \f(2,5)∉R 解析：因为－1不是自然数，所以A不正确；因为0是整数，所以B正确；因为0.33是有理数，所以C不正确；因为eq \f(2,5)是实数，所以D不正确．故选B. 5．下列各组中集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，eq \r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq \r(3)|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 7．由实数x，－x，|x|，－eq \r(x2)，eq \r(3,x3)所组成的集合，最多含有的元素个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：－eq \r(x2)＝－|x|，eq \r(3,x3)＝x.当x＝0时，集合中有1个元素0；当x>0时，因为|x|＝x，－|x|＝－x，所以集合中有2个元素x，－x；当x<0时，因为|x|＝－x，－|x|＝x，所以集合中有2个元素x，－x.综上，集合中最多含有2个元素．故选A. 解析：因为N＋表示正整数集，容易判断A，C正确；对于B，若a＝eq \f(1,2)，则满足－a∉N＋，但a∉N＋，B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以x2＋4＝4x的实数解组成的集合中只有一个元素，D错误． 11．已知x，y，z为非零实数，代数式eq \f(x,|x|)＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(z,|z|)＋eq \f(|xyz|,xyz)的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∉M B．2∈M C．－4∈M D．4∈M 解析：∵a∈A且3a∈A，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1. 14．若由a，eq \f(b,a)，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2025＋b2026的值为________． 解析：由已知可得a≠0，因为集合A与集合B相等，1≠0，所以eq \f(b,a)＝0，所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，又因为当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，故舍去，所以a＝－1.所以a2025＋b2026＝－1. 17．已知a＝－eq \r(3)，b＝eq \f(1,3－\r(3))，c＝(1－2eq \r(3))2，集合A是由形如m＋eq \r(3)n(m∈Z，n∈Z)的所有数构成的，则a______A，b______A，c______A．(填“∈”或“∉”) 解析：因为a＝－eq \r(3)＝0＋eq \r(3)×(－1)，而0，－1∈Z，所以a∈A；因为b＝eq \f(1,3－\r(3))＝eq \f(3＋\r(3),（3－\r(3)）（3＋\r(3)）)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),6)，而eq \f(1,2)，eq \f(1,6)∉Z，所以b∉A；因为c＝(1－2eq \r(3))2＝13＋eq \r(3)×(－4)，而13，－4∈Z，所以c∈A. 19．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S；②若a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S. (1)求证：若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S； (2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合S中至少有三个不同的元素． 解：(1)证明：∵1∉S，∴0∉S， ∴a≠0，且a≠1. 由a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S，可得eq \f(1,1－\f(1,1－a))∈S，即eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1－a,1－a－1)＝1－eq \f(1,a)∈S. 故若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S. (2)由2∈S，知eq \f(1,1－2)＝－1∈S； 由－1∈S，知eq \f(1,1－（－1）)＝eq \f(1,2)∈S，当eq \f(1,2)∈S时，eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈S， ∴当2∈S时，S中必含有－1和eq \f(1,2). (3)证明：由(1)知，若a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S，1－eq \f(1,a)∈S. 下证：a，eq \f(1,1－a)，1－eq \f(1,a)三者两两不相等． ①若a＝eq \f(1,1－a)，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠eq \f(1,1－a)； ②若a＝1－eq \f(1,a)，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠1－eq \f(1,a)； ③若eq \f(1,1－a)＝1－eq \f(1,a)，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴eq \f(1,1－a)≠1－eq \f(1,a). 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素． $