第8章 2 数学建模的主要步骤-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版）

第八章　数学建模活动 (一) §2 数学建模的主要步骤 (教师独具内容) 课程标准：通过本案例，熟悉模型分析、模型假设、模型建立、模型求解的全过程，理解初等模型的特点及一般的建模方法，提高数学建模能力，提高理论联系实际的能力． 教学重点：掌握数学建模的一般步骤． 教学难点：理解每个步骤的内容、要求及意义． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 建立模型 求解模型 检验结果 知识点　数学建模的一般步骤 核心概念掌握 5 在课本中，我们可以考虑每一辆汽车到达交通路口时的停车线．令第n辆汽车到达坐标原点O的时刻为tO(n)．这时应该有Sn(tO)＝0.根据这个模型求出tO(n)的表达式和数值． 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 核心素养形成 数学建模案例——分蛋糕问题 提出问题 妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状不规则的蛋糕(如图1)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点(点P)对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你． 核心素养形成 9 模型假设 1．假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是平行的． 2．假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形． 建立模型 这个问题可归结为如下平面几何题： 已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线(无论什么形状)，P是曲线所围成的图形上一点．(如图2) 求证：存在一条过P的直线l，将这个图形的 面积二等分． 核心素养形成 10 求解模型 过P点任作一直线l，l将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2，如果S1＝S2，则l即是所要找的直线．现在，我们考虑S1≠S2的情形： 不失一般性，设S1>S2，首先，建立如图3的坐标轴：x轴．设直线l与x轴的初始交角为α0. 以点P为旋转中心，将直线l按逆时针方向旋转， 则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化． 核心素养形成 11 即S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数． 令f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)>0，f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)<0. 根据零点定理，存在一个角c∈(α0，α0＋π)，使得f(c)＝S1(c)－S2(c)＝0，即存在一个角c∈(α0，α0＋π)，使得S1(c)＝S2(c)． 核心素养形成 12 模型结论 通过上述几何问题的证明，我们得知： 对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线l，使得沿l对切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块． 模型评价 本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性．但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决． 核心素养形成 13 随堂水平达标 1．超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图．两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若欲购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？ 随堂水平达标 1 2 15 解：合算就是纸的量多．因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算．为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯 (即小圆)上，如图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算． 随堂水平达标 1 2 16 随堂水平达标 1 2 17 2．观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动或向下滑行．可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式． (1)设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向的分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时的阻力也是滑行阻力的k倍．写出这些力； 随堂水平达标 1 2 18 随堂水平达标 1 2 19 课后课时精练 1．用宽w的布条缠绕直径为d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大(如图)？若知道管道长度，需用多长布条(可考虑两端的影响)．如果管道是其他形状呢？ 课后课时精练 1 2 3 21 2．用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘． 课后课时精练 1 2 3 22 课后课时精练 1 2 3 23 课后课时精练 1 2 3 24 3．你是否注意到北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如下左图所示，两层厚度均为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气．据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如下右图，玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果． 课后课时精练 1 2 3 25 模型假设： (1)热量的传播过程只有传导，没有对流．即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的． (2)室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数． 课后课时精练 1 2 3 26 课后课时精练 1 2 3 27 课后课时精练 1 2 3 28 课后课时精练 1 2 3 29 　　　　　　　　　　　　　 R 解：在停车线处有如下关系： *,n)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Sn（0）＋\f(a（tO－tn）2,2)＝0，tO≤t，,Sn（0）＋\f(a（teq \o\al(*,n)－tn）2,2)＋v*（tO－teq \o\al(*,n)）＝0，tO＞teq \o\al(*,n)，)) 注意到课本中关于Sn(0)，tn和teq \o\al(*,n)的表达式，并且将tO解出来，可得 tO(n)＝*,n)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(\f(2（n－1）（l＋d）,a))＋nT，tO≤t，,\f(（n－1）（l＋d）,v*)＋nT＋\f(v*,2a)，tO＞teq \o\al(*,n)，)) 汽车通过停车线的时间与汽车达到最高限速的时间： 汽车序号n 1 2 3 4 5 6 7 8 teq \o\al(*,n) 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 tO(n) 1 4.65 6.74 8.58 10.29 11.93 13.56 15.19 证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq \s\up12(2)＝R2－r2， 当D＝d时，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq \s\up12(2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq \s\up12(2)＝S无芯． 当D＞d时，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq \s\up12(2)<πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq \s\up12(2)＝S无芯． 当D＜d时，S有芯＝π(R2－r2)＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq \s\up12(2)>πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(D,2)))eq \s\up12(2)＝S无芯． (2)证明：当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时(如图)，沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为(向下滑行不消耗能量)eq \f(ksinα＋sinβ,ksin（α＋β）). 解：(1)向下滑行的阻力是f1＝wsinα，向上游动的力是f2＝wsinβ＋kwsinα，水平游动的阻力是f3＝kwsinα(如图)． (2)证明：沿ACB运动消耗的能量EACB＝f2·AC，沿AB运动消耗的能量EAB＝f3·AB， 而eq \f(AC,AB)＝eq \f(sinα,sin（α＋β）)， 所以EACB与EAB之比为eq \f(ksinα＋sinβ,ksin（α＋β）). 解：将管道展开如图，可得w＝πdcosα，若d一定，w→0，α→eq \f(π,2)；w→πd，α→0.若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为eq \f(πdl,w)，若考虑两端影响，则应加上eq \f(πdw,sinα)，对于其他形状管道，只需将πd改为相应的周长即可． 解：设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切． 方案一：圆盘中心按正方形排列，如图1.圆盘总数为N1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(b,2))). 方案二：圆盘中心按六边形排列，如图2.行数m满足2＋(m－1)eq \r(3)≤a，于是m＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－2,\r(3))))＋1. 列数(按图2第1行计数)n满足：若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为eq \f([b]－1,2)；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为eq \f([b],2)，偶数行圆盘数为eq \f([b],2)－1. 圆盘总数为 N2＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m（[b]－1）,2)＋\f(1,2)，m为奇数，[b]为偶数，,\f(m（[b]－1）,2)，其余.)) 两个方案的比较见下表eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(表中数字为\f(N1,N2))). 　b a　 3 5 8 10 14 20 4 eq \f(2,2) eq \f(4,4) eq \f(8,7) eq \f(10,9) eq \f(14,13) eq \f(20,19) 7 eq \f(3,3) eq \f(6,6) eq \f(12,11) eq \f(15,14) eq \f(21,20) eq \f(30,29) 10 eq \f(5,5) eq \f(10,10) eq \f(20,18) eq \f(25,23) eq \f(35,33) eq \f(50,48) 15 eq \f(7,8) eq \f(14,16) eq \f(28,28) eq \f(35,36) eq \f(49,52) eq \f(70,76) 20 eq \f(10,11) eq \f(20,22) eq \f(40,39) eq \f(50,50) eq \f(70,72) eq \f(100,105) 当a，b较大时方案二优于方案一． (3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数． 在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律： 厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位 时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的 热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即 Q＝keq \f(ΔT,d)，(*) k为热传导系数． 从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数k1＝4×10-3～8×10-3 J/cm·s·kW·h，不流通、干燥空气的热传导系数k2＝2.5×10-4 J/cm·s·kW·h. 解：记双层窗内层玻璃的外侧温度是Ta，外层玻璃的内侧温度是Tb，则两层厚度均为d的玻璃单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为Q1＝k1eq \f(T1－Ta,d)＝k2eq \f(Ta－Tb,l)＝k1eq \f(Tb－T2,d)， 消去Ta，Tb，可得Q1＝eq \f(k1（T1－T2）,d（s＋2）)，s＝heq \f(k1,k2)， h＝eq \f(l,d)， 对于厚度为2d的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为 Q2＝k1eq \f(T1－T2,2d)， 二者之比为eq \f(Q1,Q2)＝eq \f(2,s＋2)， 显然Q1<Q2.为了得到更具体的结果，我们需要k1和k2的数据． 16≤eq \f(k1,k2)≤32. 在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量 损失时，我们作最保守的估计， 即取eq \f(k1,k2)＝16， 可得eq \f(Q1,Q2)＝eq \f(1,8h＋1)，h＝eq \f(l,d)， 比值eq \f(Q1,Q2)反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h＝eq \f(l,d)有关，我们给出eq \f(Q1,Q2)－h的曲线， 当h增加时，eq \f(Q1,Q2)迅速下降，而当h超过一定值(比如h＞4)后eq \f(Q1,Q2)下降变缓，可见h不必选择过大． $