8.2 数学建模的主要步骤-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学建模主要步骤这一核心知识点，通过蜡烛燃烧时间计算、套圈游戏得分求解、沙漠探险资源分配三个例题，系统呈现“提出问题—建立模型—求解模型—检验结果”的完整流程，搭建从具体情境到抽象建模的递进式学习支架。 该资料以现实生活问题为载体，引导学生用数学眼光观察情境（如蜡烛燃烧长度关系、套圈得分规则），通过设元列方程（如不定方程组）、错位推进法等培养数学思维，检验环节强化严谨性。课中助力教师清晰展示建模过程，课后学生可借助例题回顾建模方法，弥补思路断点。

§2　数学建模的主要步骤 【例1】　[提出问题]　两根同样长的蜡烛，粗蜡烛燃烧完要3小时，细蜡烛燃烧完要1小时．现同时点燃两根蜡烛，一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍．问：两根蜡烛燃烧了多长时间？ [建立模型]　(1)设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x，y(厘米/小时)，则有y＝l＝3x； (2)点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R，r，则R＝3r． [求解模型]　根据条件有：＝(燃烧时间相同)化简为l＝4r，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的， 所以燃烧的时间为＝＝(小时)． [检验结果]　为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注． 【例2】　[提出问题]　李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次．已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次． [建立模型]　(1)设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具； (2)为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组． [求解模型]　由条件得不定方程组 ②－2×①消去z得7x＋3y＝41． 正整数解为(不符合方程①)，⇒ [检验结果]　验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中5，2，3次，总共得分61分． 【例3】　[提出问题]　甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水．如果允许将部分食物存放于途 中，问：其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点) [建立模型]　要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位必须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动，问题是在何处留下食物和水？ (1)经过商议让甲走得更远(最远走4×20＝80(千米)，但回程就没有食物和水了)，需要乙在适当的地点留下足够的食物和水． (2)第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点． (3)第1天甲在20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往回返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点． [求解模型]　所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米． [检验结果]　从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $