18.3分式的加法与减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.3分式的加法与减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. （3）分母互为相反数的分式加减 首先根据分式变号法则转化为同分母分式加减。 题型1同分母分式的加减 例1．已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（   ） A． B． C． D．1 【变式1-1】．计算： ． 【变式1-2】．计算： (1)． (2)． 【变式1-3】．计算： (1)． (2)． 知识点2 、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 题型2 异分母分式加减 例2．计算的结果是 ． 【变式2-1】．计算： (1)； (2)． 【变式2-2】．计算： (1)． (2)． 【变式2-3】．计算 (1) (2) 题型3 整式与分式相加减 例3．计算： (1)． (2)． 【变式3-1】．下面是某同学计算的解题过程： 解： ……① ……② ……③ ……④ 上述解题过程从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【变式3-2】．阅读下面题目的计算过程： (1)上面计算过程中哪些步骤有错误，请写出错误步骤的代号________________； (2)请写出正确的计算步骤． 【变式3-3】．计算： 题型4分式加减混合运算 例4．计算： (1)． (2)． 【变式4-1】．计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) (4) ． 【变式4-2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】．计算： (1)； (2)． 题型5分式加减乘除混合运算 例5．化简． (1) (2) 【变式5-1】．化简： (1)． (2)． (3)． 【变式5-2】．计算： (1)． (2)． 【变式5-3】．化简： 知识点3、分式的加减的应用 解决分式加减应用题的关键步骤是： 1.识别等量关系：找出问题中涉及的主要数量关系（如工作量=效率×时间、路程=速度×时间、浓度=溶质/溶液等）。 2.设定未知数：通常用字母表示未知量。 3.列出分式表达式：根据等量关系用分式表示各个量。 4.建立方程或表达式：通过分式的加减运算建立模型。 5.求解并检验：解出未知数，并检查结果是否符合实际意义 题型6分式加减的实际应用 例6．某人沿一条河流顺流游泳L米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．设此人来回一趟所需的时间为． (1)用含 ，， 的式子表示 ； (2)用含t，x，n的式子表示L． 【变式6-1】．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【变式6-2】．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【变式6-3】．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 题型7分式加减化简求值 例7．先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】．先化简，再求值： (1)先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． (2)已知，求． 【变式7-2】．先化简，再求值：，其中． 【变式7-3】．有这样一道题：“计算的值，其中．”小军把“”错抄成“”，但他的计算结果正确．请你说明原因． 题型8 利用分式加减比较分式大小 例8．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【变式8-1】．【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，试判断： 0（填“”，“”或“”）； (2)已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由． 【变式8-2】．已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【变式8-3】．课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小：___________． 题型9 综合应用分式加减乘除运算法则化简求值 例9．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【变式9-1】．先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 【变式9-2】．计算题： (1)先化简（再取一个你认为合适的的值代入求值） (2)已知：，求、的值． 【变式9-3】．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 题型10 利用分式加减解决经济问题 例10．问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 【变式10-1】．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【变式10-2】．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【变式10-3】．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 题型11已知分式恒等式，确定分子、分母 例11．已知，求，的值． 【变式11-1】．已知其中，为常数，求的值． 【变式11-2】．已知，求，的值． 【变式11-3】．已知（是常数），求的值． 题型12 利用分式混合运算法则解决新定义问题 例12．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“典雅分式”，这个常数称为关于的“典雅值”． 如分式，，，则是的“典雅分式”，A关于B的“典雅值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“典雅分式”？如果是，请求出C关于的“典雅值”；如果不是．请说明理由； (2)已知分式，（E是用表示的代数式），是的“典雅分式”，关于的“典雅值”是1． ①求E所代表的代数式． ②若为正整数，且分式Q的值为为正整数，则满足条件的的值为________． 【变式12-1】．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 例如：；． 解决下列问题： （1）分式是_______分式（填“真”或“假”） （2）将分式化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【变式12-2】．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式12-3】．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 题型13利用分式混合运算求最值 例13．阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【变式13-1】．已知，且，求的最小值． 【变式13-2】．材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【变式13-3】．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】 如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：， 当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】 根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 例14．若代数式的化简结果为，则整式为 ． 二 【变式14-1】．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【变式14-2】．【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【变式14-3】．已知． 小宇和小恒在对进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大．请你判断谁的说法正确，并说明理由． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．计算： A． B．1 C．a D． 2．若，则计算的结果等于（    ） A．1 B． C． D． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 4．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．化简得（   ） A． B． C． D． 6．已知，则 的值为（    ） A． B． C． D． 7．小恒做错了下列计算题中的一道题，你认为他做错的题是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数x、y、z满足，则分式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 E． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．化简： ． 10．为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 t． 11．计算： ． 12．已知与2，3是三角形的三边长，且为整数，则的值为 ． 13．已知，则代数式的值为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 15．下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步                     第二步                             第三步 ．                        第四步 任务： (1)第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请写出化简该分式的正确过程． 16．先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 17．以下是小甬同学化简的解答过程： 解：原式． 小甬的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 18．（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 19．综合与实践 【情境】已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【验证】 对于，我们可以用“作差法”进行证明： ， ， ， , ，即， ． （1）由上述证明过程，已知，，我们可猜想与的大小关系是： （横线上填“>”“<”或“=”），请你用“作差法”验证你的结论； 【探究】（2）若时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的式子； 【应用】（3）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，两船同时航行1小时后立即返航．已知甲、乙两船返航所用时间分别为，，请根据，的大小关系，直接写出哪条船先返回港．（提示：根据返航顺水或逆水情况分类讨论） 20．【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案． 任务1  探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？ 通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表： 长 16 14 12 10 8 6 4 宽 1 1.6 2 4 周长 34 23.2 20 16 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小． 为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． ……（请表示出周长并补全后续的证明过程）． 任务2  计算对比，合理优化． 设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长、宽、高，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 18.3分式的加法与减法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 、同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. （3）分母互为相反数的分式加减 首先根据分式变号法则转化为同分母分式加减。 题型1同分母分式的加减 例1．已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】同分母分式加减法 【分析】此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用同分母分式相加减方法进行运算． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1-1】．计算： ． 【答案】 【知识点】约分、同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母加减法，约分，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同分母减法，再进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1-2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法、 【分析】（1）（2）利用分式加减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了分式加减法运算，熟练掌握是解决本题的关键． 【变式1-3】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法、 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握分式的计算技巧是解题的关键； （1）两项分母相同，直接合并计算，最后结果化为最简即可； （2）两项分母相差一个负号，将第一项分母提出负号放在分子上，将两项进行合并计算，将最后结果化为最简即可. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 知识点2 、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 题型2 异分母分式加减 例2．计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先把分母整理成平方差、完全平方公式的形式，再通分进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 对于（1），先通分，再计算，并约分即可； 对于（2），先根据分式的加减法计算括号内的，再将除法变为乘法，约分即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式2-2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握分式的计算技巧是解题的关键； （1）两项分母相同，直接合并计算，最后结果化为最简即可； （2）两项分母相差一个负号，将第一项分母提出负号放在分子上，将两项进行合并计算，将最后结果化为最简即可. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式2-3】．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【知识点】分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化为同分母，再约分； （2）先将除法化为乘法，再将最后一个分式的分母、分子分别分解因式，然后约分即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型3 整式与分式相加减 例3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】（1）根据分式加减运算法则进行计算即可； （2）根据分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了分式加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【变式3-1】．下面是某同学计算的解题过程： 解： ……① ……② ……③ ……④ 上述解题过程从第______步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【答案】①；正确解答过程见解析 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； 先将写成，再通分计算即可． 【详解】 ， ， ， ， ． 【变式3-2】．阅读下面题目的计算过程： (1)上面计算过程中哪些步骤有错误，请写出错误步骤的代号________________； (2)请写出正确的计算步骤． 【答案】(1) (2) 【知识点】去括号、添括号、运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母分式的加减，异分母的分式相加减，先通分化成同分母的分式，再加减，结果要化成最简分式或整式； （1）①中在通分之前，加括号的时候将符号没变，应为，故①错误；②中直接将分母去掉了，同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减，故②错误；③中去括号的时候没有变号，故③错误； （2）将加上括号变为，再通分为，最后同分母的分式相加减，计算出结果即可. 【详解】（1）解：①加括号的时候将符号没变，故①错误； ②直接将分母去掉了，故②错误； ③去括号的时候没有变号，故③错误. 故答案为①②③. （2）解：原式 . 故答案为. 【变式3-3】．计算： 【答案】 【知识点】运用异分母分式加减法运算 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握通分和约分的技巧是解题关键． 先将分式进行通分，再利用同分母分式的加法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 题型4分式加减混合运算 例4．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减混合运算 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式4-1】．计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) (4) ． 【答案】(1) (2)0 (3)0 (4)1 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的加减运算，难度较大，因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧． （1）运用平方差公式分步通分 ； （2）将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果 ； （3）先将各分式分解因式约分，再通分计算 ； （4）注意到分母与分子的项与项之间的关系 ，如，采用换元法简化式子． 【详解】（1）原式+++ （2）原式= （3）原式 （4）设  则 原式 【变式4-2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、整式与分式相加减 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 【变式4-3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题主要考查分式的加减法和混合运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式分子分母先因式分解，约分后运用同分母分式加减法法则进行计算即可； （2）设，则原式可变为，再通分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 设， 则原式 ． 题型5分式加减乘除混合运算 例5．化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】．化简： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】先将除法转化为乘法，再进行约分，最后通分计算减法； 先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，然后约分计算； 先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，然后对分子分母进行因式分解并约分． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）解：原式 ． 故答案为：． （3）解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式加法、除法的运算法则，正确对分子分母进行因式分解以便约分． 【变式5-2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再利用完全平方公式和平方差公式约分，即可得出答案； （2）先利用完全平方公式和平方差公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-3】．化简： 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简，分式的加减乘除混合运算等，熟练掌握分式的运算法则和分式的基本性质，会用因式分解法分解多项式是解题的关键； 先通分，除法转化为乘法，再用因式分解法分解多项式，约分化简得结果． 【详解】解： ， ， ． 知识点3、分式的加减的应用 解决分式加减应用题的关键步骤是： 1.识别等量关系：找出问题中涉及的主要数量关系（如工作量=效率×时间、路程=速度×时间、浓度=溶质/溶液等）。 2.设定未知数：通常用字母表示未知量。 3.列出分式表达式：根据等量关系用分式表示各个量。 4.建立方程或表达式：通过分式的加减运算建立模型。 5.求解并检验：解出未知数，并检查结果是否符合实际意义 题型6分式加减的实际应用 例6．某人沿一条河流顺流游泳L米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．设此人来回一趟所需的时间为． (1)用含 ，， 的式子表示 ； (2)用含t，x，n的式子表示L． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除运算的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）首先求出顺流游泳时的速度为，逆流游泳时的速度为，然后根据来回一趟所需时间顺流游一趟所用的时间逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案； （2）由（1）知，然后利用等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵此人在静水中的游速为，水流速度为， ∴此人顺流游泳时的速度为，逆流游泳时的速度为， ∴； （2）解：由（1）知， 两边同时乘，得． 两边同时除以，可得． 【变式6-1】．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【知识点】分式加减的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 【变式6-2】．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【知识点】分式化简求值、分式加减的实际应用 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 【变式6-3】．某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案： 方案A 计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天． 方案B 设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米． 备注 A、B两种方案中的a，b均为正整数，且． (1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示） (2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)该工程队应采取方案B，见解析 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可； （）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案． 【详解】（1）解 （2） ∵ ， ，即． ∴该工程队应采取方案B． 题型7分式加减化简求值 例7．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式7-1】．先化简，再求值： (1)先化简：，再从中选一个适合的整数代入求值． (2)已知，求． 【答案】(1)，当时，原式 (2) 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算法则化简，然后选择使分式有意义的a的值代入计算即可； （2）先根据分式混合运算法则化简，再由可得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式． （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式7-2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】先根据分式的乘方、乘除运算法则对原式进行化简，再将给定的、值代入化简后的式子求值． 【详解】解：①先计算分式的乘方： ②进行分式的乘除运算： ． ③代入求值： 当，可得： 原式． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的乘方、乘除运算法则以及因式分解的方法，准确对原式进行化简，再代入求值． 【变式7-3】．有这样一道题：“计算的值，其中．”小军把“”错抄成“”，但他的计算结果正确．请你说明原因． 【答案】见解析 【知识点】分式化简求值 【分析】先对原式进行化简，若化简结果为常数，则说明无论取何值，结果都不变，从而解释小军计算结果正确的原因． 【详解】解：先对原式进行化简： 对分子因式分解，可得：； 对分母因式分解，可得； 对提取公因式，可得． ∴原式 ． ∴化简后的结果与的取值无关，故小军把“”错抄成“”，但他的计算结果正确． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是通过正确的分式化简，得出结果与取值无关，从而解释计算结果正确的原因． 题型8 利用分式加减比较分式大小 例8．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 【变式8-1】．【阅读理解】我们在比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，试判断： 0（填“”，“”或“”）； (2)已知，，当时，试比较与B的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用分式的加减法则计算后进行判断即可； （2）根据题意列式后利用分式的加减法则计算，然后进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【变式8-2】．已知，． (1)当时，比较A与B的大小，并说明理由： (2)设，若m为整数，则正整数y的值为______． 【答案】(1)，理由见详解 (2)y的值为4或3或1 【分析】本题考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，由，可得出； （2）先求出，再由y为正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 又， ， 即， （2）， m为整数，y为正整数， 或或， 或或， y的值为4或3或1． 【变式8-3】．课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小：___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． （1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 题型9 综合应用分式加减乘除运算法则化简求值 例9．（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2），4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的化简法则． （1）先对整式进行整理，再化简分式，然后代数求值即可； （2）先化简分式，然后代数求值即可． 【详解】解：（1）由得，， 将代入上式得， 原式； （2） 将代入上式得， 原式． 【变式9-1】．先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的有意义和相关运算法则．直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则要满足且， ， 当时，原式． 【变式9-2】．计算题： (1)先化简（再取一个你认为合适的的值代入求值） (2)已知：，求、的值． 【答案】(1)，当时，原式； (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值，列二元一次方程组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将除法化为乘法计算，分子分母能因式分解的进行因式分解，约分化简后再进行通分计算减法，化简到最简形式，再根据分式有意义的条件，代入合适的值求解． （2）先通分化简，再得到二元一次方程组，解方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 取，当时，原式． （2）解：， ， ， 解得． 【变式9-3】．先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着解不等式组求出不等式组的解集，进而得到x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵x是整数， ∴， ∴原式． 题型10 利用分式加减解决经济问题 例10．问题情境：小军的爸爸和小慧的爸爸都是出租车司机，他们在每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油，白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高．但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是加60油，小慧的爸爸不论是白天还是夜间，每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． 数学思考： （1）小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价各是多少？并通过数学运算说明谁的加油方式更合算； 知识迁移： （2）某船在相距为s的甲，乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p（），船顺水航行速度为（），逆水航行速度为（），所需时间为，请借鉴上面的研究经验，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：元/L；小慧的爸爸的加油方式比较合算；（2），见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；再根据题意利用作差法进行分析比较即可； （2）根据题意，由时间路程速度，进而列式后，再相减比较大小． 【详解】解：（1）小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元） 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元）， ∴． 而， ∴． ∴． ∴即． ∴小慧的爸爸的加油方式比较合算． （2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【答案】(1)> (2)，理由见解析 (3)①，；②小李加油方式平均油价更低 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解； （2）化简，由且，可得，进而求解； （3）①根据：加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，列代数式即可；②用小李的平均油价减去小刘的平均油价，如果大于0则小刘的省钱，如果小于0则小李的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵，且 ∴， ∴， ∴， 即； （3）①小李两次所加油的平均单价为： （元/升）； 设小刘每次加油量为V升． ∴小刘两次加油的平均单价为： （元/升）； 故答案为：，； ② ， ∵,,且， ∴， ∴， ∴， 即， 答：小李加油的平均单价低． 【变式10-2】．【问题提出】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小．其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【尝试应用】 （1）已知长方形A的长为，宽为；长方形B的长为，宽为a．试比较两个长方形周长的大小； （2）若，，试比较代数式与的大小； 【联系生活】 （3）甲、乙两人分别用不同方式购买苹果和香蕉，两种水果的单价分别为元/千克和元/千克．甲共购买了千克水果，其中苹果m千克，香蕉m千克；乙共花费了元，其中买苹果n元，买香蕉n元．若甲和乙的花费相同，试比较甲、乙两人购买水果的总重量大小． 【答案】（1）当时，长方形A的周长大于B的周长；当时，长方形A的周长等于B的周长；当时，长方形A的周长小于B的周长；（2）；（3）乙购买水果的总重量更大 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先表示出两个长方形的周长，然后作差，再根据a的取值范围判断即可； （2）先求出，然后根据，，进行判断即可； （3）先根据甲和乙的花费相同，得出，再表示出乙购买的水果总量，，然后作差比较大小即可． 【详解】解：（1）长方形A的周长为：， 长方形B的周长为：， ， 当时，，此时长方形A的周长大于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长等于B的周长； 当时，，此时长方形A的周长小于B的周长． （2）， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． （3）∵甲和乙的花费相同， ∴， ∴， 乙购买水果总重量为， ， ∵，，，且， ∴， ∴， ∴乙购买水果的总重量更大． 【变式10-3】．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 题型11已知分式恒等式，确定分子、分母 例11．已知，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的加减法和解方程组，解此题的关键是得出关于、的方程组．先把方程的右边通分变成和方程左边相同的分母，合并后得出关于、的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：， ， ， ，解得， 即，． 【变式11-1】．已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 【变式11-2】．已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 【变式11-3】．已知（是常数），求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式运算，涉及解三元一次方程组，熟练掌握分式混合运算方法步骤及三元一次方程组的解法是解决问题的关键．先通分将化为，再由分式相等得到方程组，利用消元法解三元一次方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得． 题型12 利用分式混合运算法则解决新定义问题 例12．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“典雅分式”，这个常数称为关于的“典雅值”． 如分式，，，则是的“典雅分式”，A关于B的“典雅值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“典雅分式”？如果是，请求出C关于的“典雅值”；如果不是．请说明理由； (2)已知分式，（E是用表示的代数式），是的“典雅分式”，关于的“典雅值”是1． ①求E所代表的代数式． ②若为正整数，且分式Q的值为为正整数，则满足条件的的值为________． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①；②5或6或8 【分析】本题主要考查了分式的加减运算． （1）根据新定义计算，通过通分计算进行判断； （2）①根据新定义列出等式，求解E的代数式即可； ②根据Q为正整数，求解x可取的正整数值即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ， ∴C不是D的“典雅分式”； （2）解：①由新定义可知： ， ∴， ∴， ∴； ②， ∵x和Q是正整数， ∴或6或8． 故答案为：5或6或8． 【变式12-1】．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 例如：；． 解决下列问题： （1）分式是_______分式（填“真”或“假”） （2）将分式化为带分式的形式； （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）；（3）2或0 【分析】（1）根据真分式的定义判断即可； （2）将分子配出分母的形式，然后化简即可； （3）将分子上减去1再加上1，然后利用平方差公式化简即可，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）， ， ． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 【点睛】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义是解题的关键． 【变式12-2】．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ∵该式的值为整数， ∴，， 解得或或1或， 又，1，，， ∴， 即当时，该式的值为整数． 【变式12-3】．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)不是的“雅中式”； (2) (3)整数的值为，，，，，，． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式； （2）再化简，根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到是的因数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 不是的“雅中式”； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：，，，，，，，． ， 的值为，，，，，，． 题型13利用分式混合运算求最值 例13．阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 【变式13-1】．已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 【详解】解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【变式13-2】．材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意得到原分式化简为，由，推出当时，有最小值为2，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∵分式可以变形为，∴；； 故答案为：2，； （2）解： ， ∵， ∴当时，有最小值为2， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴分式的最大值为． 【变式13-3】．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】 如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：， 当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】 根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式， (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数的值； （3）设这个矩形的长为米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：求解； 【详解】（1）解：令， 则有，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式，， ∵为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数的值有4个， 故答案为：真分式，； （3）解：设这个矩形的长为米，则宽为米，所用的篱笆总长为米， 根据题意得：， 由上述性质知：∵， ， 此时，， ， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米． 例14．若代数式的化简结果为，则整式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键. 先根据已知条件列出等式，通过逆运算将等式变形，逐步求解整式. 【详解】解：的化简结果为， ， ， ， 故答案为：. 二 【变式14-1】．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 【变式14-2】．【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或0或2或 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算及完全平方公式是解题的关键． （1）仿照例题，根据题分式的运算求解； （2）根据例题以及分式的运算求解； （3）利用完全平方公式和给出的例题对分式进行整理，得出，然后根据整数倍数关系求解即可． 【详解】解：（1）的次数为0，x的次数为1， 是真分式． 故答案为：真； （2）原式； （3）原式 ， 与均为整数， 或， 或0或2或． 【变式14-3】．已知． 小宇和小恒在对进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大．请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【答案】小宇的说法正确．理由见解析 【分析】分别对和进行化简，然后计算的值，根据其结果的正负来判断和的大小关系． 【详解】解：小宇的说法正确．理由如下： ， ， ， 要使有意义，需， 解得且； ，即； 小宇的说法正确． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握先分别化简和，再通过作差法比较大小是解题的关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．计算： A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 先将分母化为同分母，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 2．若，则计算的结果等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分式的乘方、乘除运算法则化简代数式，再结合已知条件求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确的运算是解题的关键． 先对已知条件进行通分变形，得到与的关系，再将其代入中求值． 【详解】解：对通分，， 则，即， 将代入，可得． 故选：D． 4．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 5．化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐步化简即可． 【详解】解： ． 故选B． 6．已知，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想．由可得，再将分式化简后整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 7．小恒做错了下列计算题中的一道题，你认为他做错的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式乘除运算法则最关键． 本题涉及分式的乘除运算法则包括分式的乘方、将除法转化为乘法、因式分解与约分等操作，通过运用这些法则，对每个选项中的分式进行乘除运算，得出相应的计算结果，进而可以解决分式的乘除混合运算问题，判断分式运算的正误． 【详解】解：A、，选项计算正确，不符合题意； B、，选项计算正确，不符合题意； C、，选项计算正确，不符合题意； D、，，选项计算结果错误，符合题意； 故选：D． 8．已知实数x、y、z满足，则分式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 E． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用已知等式变形，分别得到含、、的等式，整体代入化简求值，解题的关键是掌握分式的性质． 【详解】解：∵实数x、y、z满足， ∴变形等式得：， ∴， 同理可得，， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 t． 【答案】 【分析】先分别求出原来每天的用水量和现在每天的用水量，然后通过作差得出现在每天比原来少用水的量，涉及分式的运算． 【详解】解：①计算原来每天的用水量 ： 原来天用水吨，所以原来每天的用水量为吨． ②计算现在每天的用水量： 现在这些水可多用天，总天数为天，因此现在每天的用水量为吨． ③求现在每天比原来少用的水量： 差值为原来每日用水量减去现在每日用水量：． 化简：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题关键是根据题意分别表示出原来和现在每天的用水量，再进行分式的减法运算． 11．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，先进行乘法运算，再进行加法运算即可，此题掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 12．已知与2，3是三角形的三边长，且为整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将表达式化成最简形式，再根据三角形三边的关系求出的值，然后代入化简后的表达式中求值． 【详解】解：原式 ， 且，， ∴且， ∵与，是三角形的三边长， ∴，即， ∵为整数， ∴，，. ∵且， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，三角形三边的关系，正确的运算是解题的关键． 13．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把所求式子的分子去括号合并同类项，分母分解因式，再约分并代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． （2）原式各项利用同分母分式的加减法则计算即可． （3）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． （4）原式各项利用同分母分式的加减法则，约分计算即可． 【详解】解：（1）原式1； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．     第一步                     第二步                             第三步 ．                        第四步 任务： (1)第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请写出化简该分式的正确过程． 【答案】(1)二  去括号时没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的加减运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据分式的加减运算法则填空即可； （2）根据分式的加减运算法则运算即可． 【详解】（1）解：第二步，去括号时，没有变号； 故答案为：二；去括号时，没有变号． （2）解： ． 16．先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的通分、因式分解与约分，并选取使分式有意义的的值． 先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取使分式有意义的代入求值． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件：分母不为零，得且，即且． 从中取合适的，代入得： 原式． 17．以下是小甬同学化简的解答过程： 解：原式． 小甬的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【分析】本题考查分式的减法，根据异分母分式的减法法则，先通分，再进行减法运算，进行计算即可． 【详解】解： 有错误， 正确的过程如下： 原式 ． 18．（1）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，其基本思路是将异分母分式通过通分转化为同分母分式，再进行加减运算． 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： ①以上化简过程中，第三步是进行分式的______，它的依据是______； ②上述解题过程中，从第______步开始出现错误，写出正确的化简过程； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）①通分，分式的基本性质；②四，见解析；（2） 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键． （1）①根据题中的步骤可知第三步是通分，再根据分式的基本性质即可得出答案； （2）根据异分母运算法则判断，然后按照先通分在加减的运算法则即可得出答案； （3）根据分式混合运算法则化简，然后再代入求值即可得出答案． 【详解】解：（1）①以上化简过程中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：通分；分式的基本性质 ②上述解题过程中，从第四步开始出现错误， 故答案为：四； 正确化简过程如下： 原式 （2）原式 ， 当时，原式． 19．综合与实践 【情境】已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【验证】 对于，我们可以用“作差法”进行证明： ， ， ， , ，即， ． （1）由上述证明过程，已知，，我们可猜想与的大小关系是： （横线上填“>”“<”或“=”），请你用“作差法”验证你的结论； 【探究】（2）若时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的式子； 【应用】（3）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，两船同时航行1小时后立即返航．已知甲、乙两船返航所用时间分别为，，请根据，的大小关系，直接写出哪条船先返回港．（提示：根据返航顺水或逆水情况分类讨论） 【答案】（1），见解析；（2）不成立，；（3）当返航为顺水时，，乙船先返回；当返航为逆水时，，甲船先返回 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）根据作差法求解即可； （2）根据作差法求解即可； （3）分为当返航为顺水时，和当返航为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， ， ，即， ． （2）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（1）可得， ， ， ，即， ． （3）当返航为顺水时，． ， ， ，即； 当返航为逆水时，， ， ， ，即， 所以当返航为顺水时，乙船先返回，当返航为逆水时，甲船先返回． 20．【综合与实践】某校在10周年校庆前设计了吉祥物“育育”挂件，并根据挂件尺寸设计了长方体的包装盒．设计组有细心的同学发现，把吉祥物“育育”装进包装盒后，拐角处还空余不少空间，这样比较浪费，所以打算进一步探究节省材料的方案． 任务1  探究：对于底面积和高一定的长方体包装盒，什么情况下最省材料（即表面积最小）？ 通过探究发现，问题等价于“底面矩形的面积一定时，周长何时最小？”设计组先假定底面积为16，列出下表： 长 16 14 12 10 8 6 4 宽 1 1.6 2 4 周长 34 23.2 20 16 根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，_____时周长最小． 为了证明上述猜测，小丫同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． ……（请表示出周长并补全后续的证明过程）． 任务2  计算对比，合理优化． 设计组之前设计的长方体包装盒的尺寸为：长、宽、高，小明同学在保持底面积不变小的前提下，建议将包装盒形状改为底面直径为的圆，高保持不变的圆柱体，从节省材料的角度来看，你觉得合理吗？请判断并说明理由． 【答案】任务1：长和宽相等，见解析；任务2：合理，理由见解析 【分析】本题考查了整式乘法的应用、圆柱体和长方体体积与表面积计算， 任务1：观察表格可得结论：矩形的面积一定时，长和宽相等时周长最小，根据过程由即可得出结论. 任务2：分别计算长方体和圆柱体的的表面积即可得出结论. 【详解】解：任务1：长和宽相等 设两邻边长分别为和（均为非负数），则，得． 矩形周长为． 所以，即矩形为正方形时，周长最小． 任务2：长方体的体积，圆柱体的体积, 长方体的表面积为：． 圆柱体的表面积为：． 因为，所以改为圆柱体更节省材料． 学科网（北京）股份有限公司 $