期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练（51题）（二十二种覆盖训练）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:根式计算 1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算．先计算算术平方根、有理数的乘方、立方根和绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、立方根、算术平方根等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用有理数乘方、立方根、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 覆盖训练02:平方根与立方根解方程 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了平方根，以及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）根据直接开平方法可以解答此方程； （2）先开立方，再计算即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， 解得：或． （2）解：， 开立方得：， 解得：． 4．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）原方程变形后利用平方根的定义解方程即可； （2）原方程变形后利用立方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：原方程可变形为：， 所以， 所以或； （2）解：原方程即为：， 即， 所以， 所以. 覆盖训练03:平方根与立方根的综合应用 5．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)分别求出，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据立方根和算术平方根求原数，解二元一次方程组： （1）根据算术平方根和立方根的定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求结合完全平方公式代值计算即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴． 6．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 覆盖训练04:全等三角形的判定 7．如图，点、在上，且，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）利用证明，即可得到结论； （2）由，得到，推出，证明，得到 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴ 8．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 覆盖训练05:尺规作图 9．如图，某地要修建一个加油站，其设计要求是加油站到两个小镇的距离相等，且到两条公路的距离也相等．请在图中确定加油站的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，作射线平分，连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 10．作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，分别过两个加油站的公路相交于点O，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到A、B两个加油站的距离相等，且到两条公路的距离相等．请用尺规作图作出点P． (2)如图②，过点作直线的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）满足到A、B两个加油站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离也相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． （2）过点P作直线，然后作即可得出直线 【详解】（1）解：如图实数，作线段的垂直平分线交的角平分线于点P，则点P即为所求． （2）如图所示，直线即为所求． 覆盖训练06:三线合一 11．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）由等边对等角得，从而，可得，然后根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的性质得，由三线合一求出，进而可证为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解答本题的关键． 12．如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边对等角证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题． （2）连接、；证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，连接、； 在与中， ， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴垂直平分． 覆盖训练07:等腰三角形与斜中定理结合 13．如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟记性质并求出、与的关系是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，，再根据三角形的内角和定理求出，然后利用平角等于列式计算得出． 【详解】（1）证明：∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 14．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据垂直平分线的性质可知，进而可知周长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ； （2）， ， ∵， ， ． 覆盖训练08:勾股定理逆定理的应用 15．口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，再根据口袋公园的面积解答即可求解，掌握了勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，，，，， ∴， 在中，∵， ∴是直角三角形，且， ∴口袋公园的面积， 答：某市口袋公园的面积为． 16．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 覆盖训练09:勾股定理的证明 17．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ； 又， ， ∴， ； （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 18．综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）x的值为． 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）解： ，，，， ，，， ， ， ； （2）解：借助网格，可知，， 边上的高为：； 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ． 覆盖训练10:证明书上的定理 19．课本再现： 探究 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 是的轴对称图形，因此，，从而是一个等边三角形．再由，可得．于是我们得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)小明想，在这里，这个定理的证明是运用轴对称图形的性质证明的．然而，这个定理还能不能用其他方法来证明呢？于是，他画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮小明完成证明过程． 已知：如图1，，，．求证：． (2)知识应用：如图2，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长至点，使得．连接，证明是线段的垂直平分线可得，可得，证明是等边三角形，可得，再进一步解答即可； （2）求解，，再进一步利用含30度角的直角三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：延长至点，使得．连接， 是线段的垂直平分线 ， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∴． （2）解：∵等边的边长为8， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的性质，等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握基础几何图形的性质是解本题的关键． 20．课本再现 在学习了等腰三角形的性质后，得出一个推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．    （1）如图1，在中，，是的平分线．求证：，． 知识应用 （2）如图2，在中，，，． ①求的长； ②求． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）用证明即可； （2）①在上取一点，使，并过点作，垂足为．证明，设，则，由勾股定理得，从而求得 ，根据，求解得，即可求解； ②在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ． 是的平分线， ． 在与中， ， ，． ， ，即． （2）①如图，在上取一点，使，并过点作，垂足为．   ，，， ， ， ． 设， ，由勾股定理得． ，， ， ， 解得， ，， ． ②由①知，， 在中，由勾股定理得 ． 覆盖训练11:角平分线的性质 21．如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 【答案】15 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解． 【详解】解：过点作于，如图所示： 平分交于，， ， ， ． 22．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用证明，即可证明； （2）利用证明，可得，设，则，，即可建立方程求解． 【详解】（1）证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中 ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， 由（1）可知， 设， ，， ，， ， 解得：， 即． 覆盖训练12:证明边的大小关系 23． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． 【详解】证明：在和中， ， ，即， ． 24．如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 覆盖训练13:勾股定理的应用——测距问题 25．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 26．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 覆盖训练14:勾股定理的应用——滑梯问题 27．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 28．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 覆盖训练15:勾股定理的应用——台风问题 29．如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 30．如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 【答案】海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长；在上取点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响； 如图所示，在上取点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 小时， 答：海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 覆盖训练16:无刻度尺作图 31．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）利用证明，得到即可； （）利用等腰三角形的性质解答即可； （）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 32．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，画出的中点； (2)在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上； (3)在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题四格点作图题，考查了全等三角形的应用，等腰三角形的定义，勾股定理，根据要求正确作图即可． （1）取格点、，利用全等三角形的性质可得，即点为所求作； （2）取格点、、、，利用全等三角形的性质可得，，即为所求作； （3）利用勾股定理找出与相等的线段或，再取面积最大时的位置即可． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作； （2）解：如图②，即为所求作； （3）解：如图③，等腰三角形（或）即为所求作； 33．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，请利用网格线和无刻度的直尺按要求作图． (1)在图1中，画出，使得与全等（只画1个）； (2)在图1中，画出线段的中点O； (3)在图2中，画出的高； (4)在图2中，在延长线上作点F，使得． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4)作图见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形高的定义，线段中点的定义及三角形中线的性质作图． （1）根据全等三角形的性质，利用网格图的特点作出与全等的即可； （2）利用网格图特点作出与线段的水平对称方向的虚线段，并与线段相交于一点，则该点为线段的中点O； （3）选取格点，连接，为的延长线，根据网格可得得到，再根据平行可得，进而可证，再证明，进而可得，此时为的高； （4）利用网格图的特点，找到线段的中点，并过该点作垂线交于网格交点D，连接，此时连接的线段与的延长线交于点F，先算出，进而可得为等腰直角三角形，则． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示线段的中点O为所求： （3）解：如图所示的高为所求： （4）解：如图所示点F为所求： 覆盖训练17:折叠问题 34．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 35．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了对称的性质——折叠，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据折叠的性质得，由平行线的性质得，可得，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）由折叠得，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程求出，进而求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在长方形纸片中，， ， 由折叠可得， ， ； （2）由折叠得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， ． 36．如图1，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； (3)如图2，将长方形沿折叠，折叠后交于点，若是等边三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)是等腰三角形时，的长为或或 (3) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，折叠问题； （1）当是以为斜边的直角三角形时，则，四边形是长方形，得到，再根据勾股定理计算的长； （2）根据，，三种情况讨论，分别画出图形根据勾股定理求解即可； （3）过作于，则四边形是长方形，得到，再由是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，最后根据的面积计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形，长，宽，点是的中点， ∴，，，， 当是以为斜边的直角三角形时，则，如图所示， ∴四边形是长方形， ∴， ∴； （2）解：当时，； 当时，如图，过作于，则，四边形是长方形， ∴； 当时，如图，过作于，则四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，若是等腰三角形时，的长为或或； （3）解：如图，过作于，则四边形是长方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴ ∴的面积． 覆盖训练18:整数部分与小数部分 37．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； 【拓展应用】设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得．因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，， 所以． 【学以致用】 （3）设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）先估算的范围，确定其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分； （2）先分别求出小数部分为和的整数部分，然后把、的值代入求值，最后求其平方根； （3）仿照【拓展应用】的做法，将原式变形为的形式，再根据有理数和无理数的性质求解． 【详解】（1）解：， 的整数部分为，小数部分为． 故答案为：4，． （2）解：， ， 的整数部分为，小数部分为， 即； ， ， 的整数部分为， 即， ， ⸫的平方根是． （3）解：， ． ，是有理数，为无理数， 且． 解得，． 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或． 38．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为．类似的：因为，所以的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)综合拓展：如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查与无理数整数部分有关的计算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算是解题的关键： （1）夹逼法求出的范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是10，小数部分为，即． ∵， ∴， ∴的整数部分是7，即， ∴． 39．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 覆盖训练19:等腰三角形的新定义 40．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)① 见解析；②与的数量关系不变，，理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识． （1）证明即可得到结论； （2）①分别过点A作于点M，于点N，由全等的性质得到，，由等积法求出，由角平分线的判定定理即可证明结论；②仿照①的证明过程解答即可． 【详解】（1）证明：∵， 在与中， ； （2）①证明：分别过点A作于点M，于点N， 由（1）得，， ， ， ， 又∵，， ； ②解：与的数量关系不变，，理由如下： ∵， . 在与中， ， ， ，， 分别过点A作于点M，于点N， ， ， 又∵，， ， 即与的数量关系不变. 41．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究． 定义：对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)初步认识 某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则 ． (2)猜想与证明 该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，提出下列两个猜想： 猜想一：如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，则和的数量关系是 ． 猜想二：如图3，四边形是对补四边形，若，连接，则平分 ．请你从上述两个猜想中任选一个，并给出证明． (3)拓展应用 如图4，在边长为4的等边中，是边的中点，是边上一动点，将沿翻折，得到，延长交直线于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，，证明见解析 (3)或 【分析】对于（1），设，再根据対补四边形的定义得，求出方程的解，可得，然后根据定义得出答案； 对于（2），选择猜想1，作，，根据角平分线的性质得，，再根据对补四边形的定义得，然后根据“角角边”证明，则答案可证； 选择猜想2，作，，根据“角角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（3），当点在线段上时，连接，作，，先说明四边形是对补四边形，可得平分，根据角平分线的性质得，，再证明，可得，接下来根据直角三角形的性质求出，最后根据求出，则答案可求； 当点在的延长线上时，画出图形，仿照上述过程解答即可． 【详解】（1）解：． 由，设， ∵四边形是対补四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：猜想一：，猜想二：． 选择猜想1．证明如下： 过点分别作于点，交的延长线于点，如图2所示． 对角线平分，，， ，． 四边形是对补四边形， ． ， ． 在和中， ， ． 选择猜想2，证明如下： 过点A分别作于点交的延长线于点，如图3所示， 则． ，， ． 又，， ， ． ∴点A在的平分线上， 平分． （3）解：或． 当点在线段上时，如图4，连接，作于，于， ∵是等边三角形， ∴． 根据折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是对补四边形，则平分， ，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 当时，， ，， ． 当点在射线上时，如图5． 当点在的延长线上时，如图5，连接，作于，于， ∵是等边三角形， ∴． 根据折叠得， ∴， ∴， ∴四边形是对补四边形，则平分， ，． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 当时，， ，， ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理和判定定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 42．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图（2）中，作出的“双等腰线”，并标注相等角的度数 ①， ②，． (2)直角三角形的______就是它的“双等腰线” (3)已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的值______． 【答案】(1)见解析 (2)斜边中线 (3)、 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）根据直角三角形斜边中线推导即可； （4）设，根据题意表示的三个内角，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图， 取，则， ， ， ， ， 和是等腰三角形； 如图， 作的垂直平分线，交于，交于，连接， ， ， ， ， ， ， 和是等腰三角形； （2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形， 故答案为：斜边中线； （3）如图， 设， ，， ，， ， ， ， ，， 和分别是的“三等腰线”， 是等腰三角形， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 综上所述，度数的所有可能的值为、． 故答案为：、． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理、三角形的内角和定理、直角三角形斜边上的中线定理，垂直平分线的性质，理解题目中的新定义是解题的关键． 覆盖训练20:定值、不变问题 43．如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据轴对称的性质得到，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理得到，最后利用角的和差即可求解； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点使得，连接，由（2）得，，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴，， ∵点A关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：不发生变化，如图，设与交于点， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的大小不发生变化，且； （3）解：，证明如下： 如图，在上取点使得，连接， 由（2）得，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 44．已知，点，分别在射线，上． (1)如图①，若，，，，求的长． (2)如图②，若，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的长． (3)如图③，若，分别以，为直角边，为直角顶点在外侧作等腰直角和等腰直角，连接交于点，当点由点出发沿射线移动时，的长度是否发生改变？若不变，直接写出的长；若变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)当点由点出发沿射线移动时，的长度不变，都是． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理； （1）证明是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； （2）分两种情况：①当在的内部时，过点作于，证明，得出，进而勾股定理，即可求解；②当在的外部时，如图，过点作于，同理可得，，进而勾股定理，即可求解； （3）由（2）同理得：，证明，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ，， 是等腰直角三角形， ； （2）分两种情况： ①当在的内部时，如图1， 过点作于， ， ， ， ，， ， ，， ， 由勾股定理得：； ②当在的外部时，如图，过点作于， 同理得，， ， 由勾股定理得：； 综上所述，的长为或； （3）的长度不变， 如图，过点作于， 由（2）同理得：， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ． 当点由点出发沿射线移动时，的长度不变，都是． 45．综合与实践 问题情境：数学课上，于老师出示了一个问题： “如图，在中，，过B作，连接．直线经过的中点E．在上截取点F，使，过F作交于点H，垂足为G，连接．请直接写出图中与相等的角．” 独立思考：（1）请解答于老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，于老师提出了新问题，请你解答． “的度数是否为定值?若为定值，请求出的度数；若不是定值，请求出的度数变化范围．” 问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出图中任意两条线段的长度，则图中所有已经用字母标记的任意线段的长度均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． “在原题的条件下，若，，求的长．” 【答案】（1）与相等的角是；（2）的度数为定值，，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）过点，点分别作，垂直于，先，得，再根据直角三角形两锐角互余证得，过点作垂直于，可证，得，可知，进而可知平分，得； （3）结合题意又勾股定理可得，根据，可得，由，，可知，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）与相等的角是，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：与相等的角是； （2）的度数为定值，，理由如下： 过点，点分别作，垂直于，则， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，则，， ∴， 过点作垂直于，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； （3）∵点为的中点，， ∴，则， ∵， ∴，则， ∵，，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，角平分线的判定等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 覆盖训练21:等腰三角形的动点求t 46．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)或或； (3)或． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当秒时，，求得，然后利用勾股定理即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可； （）分当在线段上时，当在延长线上时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为． ， 当秒时，， ， ∴， 在中，， ∴； （2）解：如图，当时，过作于点，如图所示： ∴，， 在中，，，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，当时，如图所示： 由得， ∴， 如图，当时，如图所示： ，， ∴， ∴， 综上可得：当为等腰三角形时，的值为或或； （3）解：如图，当在线段上时，连接，如图所示： ∵，， ∴点在平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图，当在延长线上时，连接，如图所示： ∵，， ∴点在平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上可得：当为或时，能使． 47．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 【答案】(1)，； (2)①能，；②或． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握非负数的性质、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得，，得到，，，结合题意可得当为直角三角形时，只能是，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案；②分、、三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）①能， 由题意得，， ，， ，，， ，点在上，， 只能是， ，即， 解得， 在移动的过程中，能使为直角三角形，此时； ②当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为或时，为等腰三角形， 故答案为：或． 48．如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为；___________；当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为___________； (2)如图，当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点在线段上运动时，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或19或20 【分析】对于（1），先根据勾股定理求出，再结合；可得答案； 对于（2），先作，根据“斜边直角边”证明，可得，进而表示，，再根据勾股定理得，列出方程求出解即可； 对于（3），分三种情况：当时，点P在的垂直平分线上，作，再说明，可得，进而得出方程，求出解； 当时，直接得出方程求出解即可； 当时，作，可得，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案. 【详解】（1）解：在中，， ∴. 当点P在上运动时，； 当点P在上运动时，； 故答案为：； （2）解：当点P在的平分线上时，过点P作于点E， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴，. 在中，， ∴， 解得； （3）解：点P在上时，， 当时，点P在的垂直平分线上，过点P作于点E， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 当时， 即， 解得； 当时，过点C作于点F，如图， ∴. ∵， ∴. 在中，， ∴， ∴. 所以当或19或20秒时，. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键. 覆盖训练22:实数的新定义 49．【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】(1)见详解，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)或64 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：因为，，， 所以2，18，8这三个数是“老根数”； 其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：当时，则， 解得， 当时，则，解得，不合题意，舍去； 当时，则， 解得， 综上所述，或64． 50．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“美丽有理数对”，记为，如：数对，都是“美丽有理数对”． (1)数对，中是“美丽有理数对”的是_____； (2)若是“美丽有理数对”，则_____ “美丽有理数对”；_____ “美丽有理数对”；（填“是”、“不是”或“不一定是”） (3)若是“美丽有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)不是，是 (3) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，整式的加减，等式的性质，读懂题目中“美丽有理数对”的定义是解题的关键． （1）根据“美丽有理数对”的定义即可判断； （2）根据“美丽有理数对”的定义即可判断； （3）根据“美丽有理数对”的定义，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：（1），， ， 是“美丽有理数对”； ，， ， 不是“美丽有理数对”； 故答案为：； （2）解：是“美丽有理数对”， ， ， 不是“美丽有理数对”； ，即， 是“美丽有理数对”． 故答案为：不是；是； （3）解：是“美丽有理数对”， ， 解得． 51．阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． 【答案】(1)3， (2)4 (3)①；② 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：， 的整数部分是， ∴， ， 的整数部分是，即， ； （3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是5， ∴； ②是6的倍数，且， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:根式计算 1．计算：． 2．计算：． 覆盖训练02:平方根与立方根解方程 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 4．求下列各式中的值： (1) (2) 覆盖训练03:平方根与立方根的综合应用 5．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)分别求出，的值； (2)求的平方根． 6．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 覆盖训练04:全等三角形的判定 7．如图，点、在上，且，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 覆盖训练05:尺规作图 9．如图，某地要修建一个加油站，其设计要求是加油站到两个小镇的距离相等，且到两条公路的距离也相等．请在图中确定加油站的位置． 10．作图题：要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①，分别过两个加油站的公路相交于点O，现准备在内建一个油库，要求油库的位置点满足到A、B两个加油站的距离相等，且到两条公路的距离相等．请用尺规作图作出点P． (2)如图②，过点作直线的平行线． 覆盖训练06:三线合一 11．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 12．如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 覆盖训练07:等腰三角形与斜中定理结合 13．如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 14．如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 覆盖训练08:勾股定理逆定理的应用 15．口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园在入口的正南方向处，入口在桂花园的正东方向处，玫瑰园与入口相距，玫瑰园与入口相距，求某市口袋公园的面积． 16．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 覆盖训练09:勾股定理的证明 17．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 18．综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 覆盖训练10:证明书上的定理 19．课本再现： 探究 如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起．你能借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系吗？ 是的轴对称图形，因此，，从而是一个等边三角形．再由，可得．于是我们得到： 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)小明想，在这里，这个定理的证明是运用轴对称图形的性质证明的．然而，这个定理还能不能用其他方法来证明呢？于是，他画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮小明完成证明过程． 已知：如图1，，，．求证：． (2)知识应用：如图2，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F．求的长． 20．课本再现 在学习了等腰三角形的性质后，得出一个推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．    （1）如图1，在中，，是的平分线．求证：，． 知识应用 （2）如图2，在中，，，． ①求的长； ②求． 覆盖训练11:角平分线的性质 21．如图，在中，，平分交BC于D．若．求的面积． 22．如图，在中，平分，，于点，点在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 覆盖训练12:证明边的大小关系 23． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 24．如图，P是内的一点，连接，，求证：． 覆盖训练13:勾股定理的应用——测距问题 25．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 26．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 覆盖训练14:勾股定理的应用——滑梯问题 27．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 28．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 覆盖训练15:勾股定理的应用——台风问题 29．如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 30．如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 覆盖训练16:无刻度尺作图 31．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 32．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中，画出的中点； (2)在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上； (3)在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上． 33．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，请利用网格线和无刻度的直尺按要求作图． (1)在图1中，画出，使得与全等（只画1个）； (2)在图1中，画出线段的中点O； (3)在图2中，画出的高； (4)在图2中，在延长线上作点F，使得． 覆盖训练17:折叠问题 34．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 35．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 36．如图1，四边形为长方形，长，宽，点是的中点，点在上运动，连接． (1)若是以为斜边的直角三角形时，求的长； (2)若是等腰三角形时，求的长； (3)如图2，将长方形沿折叠，折叠后交于点，若是等边三角形时，求的面积． 覆盖训练18:整数部分与小数部分 37．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； 【拓展应用】设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得．因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，， 所以． 【学以致用】 （3）设，都是有理数，且满足，求的值． 38．阅读理解：因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为．类似的：因为，所以的小数部分就是． 解决问题： (1)初步运用：的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)综合拓展：如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 39．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 覆盖训练19:等腰三角形的新定义 40．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“友好三角形”． (1)如图1，和互为“友好三角形”， 其中， 连接，求证：； (2)点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边向右构造，使得和互为“友好三角形”，其中，连接， 点F在线段右上方， 且点 E， C， F三点共线． 如图2， 当点 D 在线段的左侧时， 求证：； 如图3，当点D 在线段上时，与的数量关系是否发生改变，并说明理由． 41．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究． 定义：对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)初步认识 某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． 如图1，四边形是对补四边形，若，则 ． (2)猜想与证明 该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，提出下列两个猜想： 猜想一：如图2，四边形是对补四边形，若对角线平分，则和的数量关系是 ． 猜想二：如图3，四边形是对补四边形，若，连接，则平分 ．请你从上述两个猜想中任选一个，并给出证明． (3)拓展应用 如图4，在边长为4的等边中，是边的中点，是边上一动点，将沿翻折，得到，延长交直线于点，若，请直接写出的长． 42．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图（2）中，作出的“双等腰线”，并标注相等角的度数 ①， ②，． (2)直角三角形的______就是它的“双等腰线” (3)已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的值______． 覆盖训练20:定值、不变问题 43．如图，在等边三角形右侧作射线，，点A关于射线的对称点为点D，交于点E，连接，，． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)用等式表示线段，，三者之间的数量关系，并证明您的结论． 44．已知，点，分别在射线，上． (1)如图①，若，，，，求的长． (2)如图②，若，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的长． (3)如图③，若，分别以，为直角边，为直角顶点在外侧作等腰直角和等腰直角，连接交于点，当点由点出发沿射线移动时，的长度是否发生改变？若不变，直接写出的长；若变化，直接写出的取值范围． 45．综合与实践 问题情境：数学课上，于老师出示了一个问题： “如图，在中，，过B作，连接．直线经过的中点E．在上截取点F，使，过F作交于点H，垂足为G，连接．请直接写出图中与相等的角．” 独立思考：（1）请解答于老师提出的问题． 实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，于老师提出了新问题，请你解答． “的度数是否为定值?若为定值，请求出的度数；若不是定值，请求出的度数变化范围．” 问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出图中任意两条线段的长度，则图中所有已经用字母标记的任意线段的长度均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． “在原题的条件下，若，，求的长．” 覆盖训练21:等腰三角形的动点求t 46．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 47．如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 48．如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为；___________；当点在线段上运动时，用的代数式表示的长度为___________； (2)如图，当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； (3)点在线段上运动时，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 覆盖训练22:实数的新定义 49．【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 50．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“美丽有理数对”，记为，如：数对，都是“美丽有理数对”． (1)数对，中是“美丽有理数对”的是_____； (2)若是“美丽有理数对”，则_____ “美丽有理数对”；_____ “美丽有理数对”；（填“是”、“不是”或“不一定是”） (3)若是“美丽有理数对”，求的值． 51．阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $