精品解析：吉林省长春市第八中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

长春八中2025-2026学年度上学期 高一（数学）试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】，，，，. 故选：A. 2. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙” ，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题意可知，“不到蓬莱不是仙”等价于“是仙到蓬莱” 由题得，“是仙”一定“到蓬莱”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件. 由题得，“到蓬莱”不一定“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的非必要条件. 故选：B. 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 4. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 5. 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 【答案】C 【解析】 【分析】设同时提交三种作品的有人，画出韦恩图，求解即可. 【详解】设同时提交三种作品的有人，集合为提交了楷书作品的人， 集合为提交了隶书作品的人，集合为提交了行书作品的人，如图所示， 则， 解得， 故选：C. 6. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题为真命题求出参数的取值范围，根据充分不必要条件判断各选项即可求解. 【详解】若命题“”是真命题， 则，即. 因为命题“”是真命题的一个充分不必要条件 故所求的取值集合是的真子集. 只有选项D符合， 故选：D. 7. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 8. 已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果. 【详解】因为，所以， 当时，则，即， 可得可取； 当时，则， 可得可取； 当时，则，解得，或， 进而解得为； 当时，则，可得为； 所以方程的解的个数为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 下列四组函数中，表示不同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 10. 取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ） A. B. C. 则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，ABD举列判断，C根据定义给予证明． 【详解】时，，但，A错； 时，，B正确； 设，则，，∴，C正确； ，则，但，D错． 故选：BC． 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假判断，考查新定义函数取整函数，对于全称命题与存在命题的真假判断，要根据量词进行判断是进行证明还是可举例判断． 11. 设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为12 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最大值，即可判断A；利用选项A中的及求出的最大值，即可判断B；利用，将转化为，再根据基本不等式求出其最大值，即可判断C；利用“1”的变形，将转化为，再根据基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数a，b满足，所以， 即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为3，即A正确； 由A知，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 由可得. 因为，所以，解得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4，故C正确； 因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合，若，则满足条件的的集合为________ 【答案】 【解析】 【分析】先由集合之间的包含关系与集合的元素特征，得到满足条件的集合，再逐一分析得对应的取值即可得解. 【详解】因为，， 所以或或， 当时，则； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，满足条件的的集合为. 故答案为：. 13. 已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法可得，利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则， 令，解得， 故， 因为，， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 设函数，若关于的不等式的解集为，则______ 【答案】9 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得2,3,6应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解. 【详解】由满足不等式知，即， 所以， 所以， 所以的两根为， 而可化为， 即， 所以方程的两根为6， 且， 不等式的解集为， 可知， 解得， 所以， 所以， 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，本题在理解分别是与的根，而方程含有公共根6，所以必然2,3两根分别是，即可求解,本题属于难题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，证明：． 【答案】（1），或． （2）证明： 由题意得． 当时，，解得，满足； 当时，由，得或，得不等式组均无解． 故． 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集以及并集运算，即可求得答案； （2）求出集合B的补集，分类讨论A是否为空集，由，列出不等关系，即可证明. 【小问1详解】 当时，，而或， 所以，或． 【小问2详解】 略． 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； 【小问2详解】 由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 17. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案. （2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果. 【小问1详解】 对于任意，不等式恒成立，而，则， 即命题，则命题， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得， 即命题，则命题，由（1）知命题， 由命题和均为真命题，得， 所以实数的取值范围是. 18. 设. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） ，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】（1），2； （2）108 【解析】 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． 【小问2详解】 根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 因为， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在108千米小时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025-2026学年度上学期 高一（数学）试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，，则＝（ ） A. {1，6} B. {3，6} C. {1，3，5，6} D. 2. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙” ，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 玉山一中校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，高一年级共有37名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有14人提交了隶书作品，有16人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有5人，同时提交隶书作品和行书作品的有6人，则同时提交三种作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 6. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 下列四组函数中，表示不同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ） A. B. C. 则 D. 11. 设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 的最大值为 C. 的最大值为4 D. 的最小值为12 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设集合，若，则满足条件的的集合为________ 13. 已知，，则的取值范围为________. 14. 设函数，若关于的不等式的解集为，则______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，证明：． 16. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 17. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 18. 设. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 （1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $