15.3.1 等腰三角形(第二课时 判定)课件　 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“等腰三角形的判定”，通过“∠B=∠C则AB=AC吗”的问题情境导入，引导学生从性质探究判定，构建正反认知的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题驱动和分层例题设计，通过规范证明培养推理意识，如例1用外角平分线平行证等腰三角形，例2结合平行与角平分线模型，强化数学语言表达，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可高效落实重难点，提升教学效果。

第十五章 轴对称 15.3.1 等腰三角形(第二课时 判定) 学习目标 1.掌握等腰三角形的判定方法，并运用其进行证明和计算. 2.通过学习等腰三角形的判定方法，使学生能从正反两个方面认识等腰三角形，养成科学的思维习惯. 重点：等腰三角形的判定方法 难点：正反两个方面认识等腰三角形 导入新知 如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? C A B AB=AC 你能证明你的结论吗？ 感悟新知 知识点1 等腰三角形的判定 在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC是等腰三角形. 感悟新知 知识点1 等腰三角形的判定 ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边” ），这又是一个判定两条线段相等的根据之一. 已知 等角对等边 在△ABC中， B C A ( ( 应用格式： 感悟新知 知识点1 等腰三角形的判定 A B C D 2 1 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC （等角对等边）. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC A B C D 2 1 （等角对等边）. 错，因为都不是在同一个三角形中. 【思考】如图,下列推理正确吗? 典例解析 题型1 等腰三角形的判定 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，AD是△ABC的外角∠CAE是△ABC的平分线，AD∥BC． A B C E （ （ 1 2 D 求证：AB=AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又AD平分∠CAE， ∴∠1=∠2. ∴∠B=∠C. ∴AB=AC （等角对等边）． 针对训练 1.已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明： 先证△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等), ∴AE=DE(等角对等边）. ∴ △AED是等腰三角形. 典例解析 题型2 由平行及角平分线识别等腰三角形 例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB=AD. B A D C 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC. ∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC. ∴∠ABD=∠ADB. ∴AB=AD. 总结：平分角+平行=等腰三角形 针对训练 2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______. 3cm 3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线段MN的长为 . 9 典例解析 题型3 通过计算角相等来证明等腰三角形 例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°. ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC. ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE. ∴CE＝CF.∴△CEF是等腰三角形． 针对训练 4.如图,在锐角△ABC中,点E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.判断△AEG的形状并说明理由. 解:△AEG是等腰三角形,理由如下: 如答案图,过点E作EF⊥BC于点F, ∵BE=CE,EF⊥BC,∴∠BEF=∠CEF. ∵EF⊥BC,AD⊥BC,∴EF∥AD, ∴∠BEF=∠BAD,∠AGE=∠FEC, ∴∠AGE=∠EAG,∴△AEG是等腰三角形. 针对训练 5.如图,点E在△ABC的AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形. 证明:如图,过点D作DG∥AC交BC于点G. ∵DG∥AC, ∴∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. 在△GDF和△CEF中, ∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GD=CE. ∵BD=CE,∴BD=GD, ∴∠B=∠DGB,∴∠B=∠ACB, ∴△ABC是等腰三角形. 典例解析 题型4 利用尺规作图作等腰三角形 例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作等腰△ABC.使底边AB=a，底边上的高为h. a h 作法： 1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 4.连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. A B C M N D 典例解析 题型5 等腰三角形性质判定的综合运用 例5 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点E是BC的中点,线段EF∥AD交线段AB于点G,交线段CA的延长线于点F. (1)若CF=6,AG=2,求AC的长; (2)求证:BG=CF. (1)解:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵EF∥AD, ∴∠CAD=∠F,∠BAD=∠AGF, ∴∠F=∠AGF, ∴AF=AG=2. ∴AC=CF-AF=6-2=4. 典例解析 题型5 等腰三角形性质判定的综合运用 (1)若CF=6,AG=2,求AC的长; (2)求证:BG=CF. 例5 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,点E是BC的中点,线段EF∥AD交线段AB于点G,交线段CA的延长线于点F. (2)证明:如答案图,延长FE至点H, 使EH=EF,连接BH. ∵点E是BC的中点,∴BE=CE. 在△BEH和△CEF中, ∴△BEH≌△CEF(SAS),∴FC=HB,∠F=∠H. 由(1),知∠F=∠AGF=∠BGH, ∴∠H=∠BGH,∴BG=BH,∴BG=CF. 针对训练 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF=∠C. （1）求证： ∠BDF=∠A; （2）若∠A=45°，DF平分∠BDE，请直接写出 △ABC的形状. （1）证明：∵DE∥BC, ∴ ∠ C=∠AED. ∵∠ EDF=∠C, ∴∠AED=∠EDF. ∴DF∥AC. ∴∠ BDF=∠A. （2）解:△ABC是等腰直角三角形. 解析：∵∠A=45°，∴∠BDF=45°. ∵DF平分∠BDE, ∴∠BDE=2∠BDF=90°. ∵DE∥BC,∴∠B=90°. ∴∠C=90°-∠A=45°=∠A. ∴△ABC是等腰直角三角形. 针对训练 7.（1）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD， 求证：∠A=∠C． （2）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C， 求证：AD=CD． 证明：（1）连接AC， ∵AB=BC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA. ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠ BAD=∠BCD. （2）连接AC， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA. 又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD． 归纳总结 等腰三角形的判定 等角对等边 定义 注意是指同一个三角形中 有两边相等的三角形是等腰三角形 作业布置 课堂作业:P84习题15.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $