专题01 排列组合综合（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以11类核心题型为框架，系统整合排列组合公式、捆绑插空等12种解题方法，形成“概念-方法-变式”三阶训练体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列公式与组合公式|1典例+3变式|定义/公式/性质梳理|从基本概念到公式应用递进| |涂色与种植问题|1典例+3变式|区域分步/颜色分类法|平面化转化思想迁移| |相邻与不相邻问题|1典例+3变式|捆绑法/插空法|特殊元素优先处理逻辑| |分组与分配问题|1典例+3变式|均匀分组除阶乘|组合到排列的转化关系| |元素相同问题|1典例+3变式|隔板法建模|相同元素分配的化归思想|

专题01 排列组合综合 （题型突破·举一反三） 题型01 排列公式与组合公式 题型02 涂色与种植问题 题型03 数字排列问题 题型04 元素(位置)有限制的问题 题型05 “相邻”与“不相邻”问题 题型06 顺序固定与环形问题 题型07 多排问题 题型08 多面手问题 题型09 几何组合计数问题 题型10 分组与分配问题 题型11 元素相同的问题 ▌题型01 排列公式与组合公式 排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝[n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝ 性质 A＝n！， 0！＝1 A＝n·A C＝1，C＝1 C＝C C＋C＝C 排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC，C＝C. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 【典例1】（25-26高二下·全国·开学考试）若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据排列数、组合数及组合数的性质计算即可. 【详解】由，得， 因为且，所以，解得. 当时，， 故. 【变式1-1】（25-26高二下·广东汕头·期中）下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由组合数性质，得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由二项式定理，， 令得：，D正确. 【变式1-2】（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】利用排列数和组合数的公式运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则， 整理得，解得或（舍去）， 故. （3）由题可知且，则， 整理得，解得，又因为且， 故，即不等式的解集为. 【变式1-3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）求值、解方程或解不等式 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 【答案】(1)1 (2)165 (3) (4)或 (5) 【分析】（1）利用排列数的计算求解即可； （2）利用组合数的性质与计算求解即可； （3）根据排列数的计算解排列方程即可； （4）利用组合数的性质解组合方程即可； （5）根据排列数的计算解排列不等式即可； 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）由，得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是； （4），则或 解得：或，经检验均符合， 故或； （5）由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. ▌题型02 涂色与种植问题 1.按区域的不同，以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． 3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 4.对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． 【典例2】（25-26高二下·贵州遵义·期末）如图，给图中的A，B，C，D，E五个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色．现有4种不同的颜色供选择，则有________种不同的涂色方案．（用数字作答） 【答案】72 【详解】分步完成，首先涂区域，共有4种涂法，第二步涂区域，共有3种涂法， 第三步涂区域，共有2种涂法， 对于区域和区域，分类讨论， 若区域与区域颜色相同，则区域有1种涂法，区域有2种涂法， 若区域与区域颜色不同，则区域有1种涂法，区域有1种涂法， 所以共有种涂法. 【变式2-1】（25-26高二下·四川达州·期末）如图所示，一个椭圆形区域被分割为互不重叠的六个部分，依次标记为，，，，，.现用4种不同的颜色对图中6个区域着色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色，四种颜色全部参与着色，则所有着色方案种数为______.（用数字作答） 【答案】 【分析】首先不考虑颜色是否全用，涂色顺序依次为求出所有涂色情况数，再排除只涂3种颜色的情况数，最后作差即可得. 【详解】由图，若不考虑颜色是否全用，涂色顺序依次为， 则涂色种数依次为：有4种，有3种，有2种，有2种，有2种，有2种， 所以共有种， 由于4种颜色全部参与着色，需排除只涂3种颜色的情况（注意不可能有小于三种颜色的情况）， 第一步：从4种选3种颜色种选色， 第二步：在选定的3种颜色：选1种颜色种，从剩余2种颜色选，满足约束， 仅能是或，注意字母相同表示涂同一种颜色，共种， 第三步：此时3种颜色已用：占1种，占2种，只能选的颜色（满足），仅1种选择， 所以，仅用3种颜色的方案数， 综上，种. 【变式2-2】（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 【变式2-3】（25-26高二下·山东聊城·期中）如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（    ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】C 【分析】分重复颜色为红色或黄色，或者是蓝色或白色，两类情况讨论求解即可. 【详解】情况1：重复颜色为红色或黄色 重复颜色选红色/黄色，共种选择； 重复位置选或，共2种选择；剩余3个区域排列剩下3种不同颜色，共种排列； 这种情况下红、黄必然相邻（若重复颜色是红，黄仅出现一次，无论黄在哪个位置，都会和相邻区域的红相邻；同理重复颜色是黄也满足）， 总方案数：； 情况2：重复颜色为蓝或白色（非红非黄） 重复颜色选蓝/白色，共种选择，重复位置共2种， 剩余3个区域排列红、黄和剩余非重复颜色，共种排列，总排列数：， 其中红、黄不相邻的情况仅为：红、黄分别在另一组对角（不相邻），共：（重复色）（重复位置）（红、黄交换顺序）种； 因此该情况满足红、黄相邻的方案数：， 总方案数为，因此不同种植方案种数为. ▌题型03 数字排列问题 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 【典例3】（2026高三·全国·专题练习）从这十个数字中，每次选出五个，可以组成多少个分别符合下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)奇数； (2)偶数； (3)能被整除； (4)到之间的偶数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理，结合排列，对各小问逐一分析判断，即可求解. 【详解】（1）由题知个位数为奇数，且首位不能为，第一步：先排个位，只能从这个数字中任选一个排在个位上，有种， 第二步：万位上不能排，从余下的除以外的个数字中任取一个排在万位上，有种方法， 第三步：在余下的8个数字中任选3个排在余下的3个位置上，有种方法， 根据乘法原理，符合条件的排列共有种，从而共有奇数13440个． （2）①若在个位， 第一步：在个位有1种方法， 第二步：从余下的个数字中任取个排在余下的个位置上共有种方法， 据乘法原理，共有符合条件的不同排列种方法． ②若不在个位， 第一步：个位从四个数字中任选一个排在个位上，有种方法． 第二步：万位上不能排零，从余下的个数字中任取一个排在万位上，有种方法． 第三步：在余下的个数字中任选个排在余下的个位置上，有种方法，根据乘法原理，共有符合条件的不同排列种． 再根据加法原理，符合条件的排列共有（种），从而有13776个偶数． （3）欲使位数能被整除，末两位数只能是，符合条件的排列可以分为如下三类： 第一类：末两位是时，首位（万位）不能排数字， 第一步排首位从这七个数字中任选一个，有种； 第二步排余下的两位，可从余下的个数字中任选个排上有种， 所以共有（个）； 第二类：末两位是，排法同第一类，共有（个）． 第三类：末两位是，因零已取出排在末位，其他三位只要从余下的个数字中任取个进行排列即可，故（个）． 根据分类计数原理，符合条件的五位数有（个）． （4）万位数字上可选，个位上可排，首位、末位都是特殊的位置， 所以要对特殊位置先排，以万位为分类标准，可将符合要求的五位数分为以或为首位的与以或为首位数的两类： 第一类：第一步，万位排或有种方法，第二步，个位从五个数字中任选一个，有种方法， 第三步，从余下的个数字中任取个排在其余个位置上，有种不同排法，依据乘法原理，共有（个）． 第二类：万位排或，第一步，排万位有种方法，第二步，排个位，从剩下的4个偶数中任取一个，有种方法， 第三步，其他三位数字可从余下的8个数字中任取3个数字有种不同排法，依据乘法原理，共有（个）． 根据分类计数原理，符合条件的五位数共有（个）． 【变式3-1】（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答） （2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答） （3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答） 【答案】（1）96；（2）72；（3）60 【分析】（1）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理计算及排列求解即可； （2）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理及排列求解即可； （3）分个位是0和个位不是0，两种情况讨论，再根据分步乘法和分类加法计数原理及排列求解即可. 【详解】（1）万位只能从1，3，6，8这4个数字中选一个，有4种选法， 其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数； （2）万位只能从3，6，8这3个数字中选一个，有3种选法， 其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数且大于30000的五位数； （3）当个位是0时，有个， 当个位不是时，个位只能是或，万位不能为且不能与个位数字相同， 万位是除以外的数，因此有个， 所以可以组成个没有重复数字的五位偶数. 【变式3-2】（25-26高二下·全国·期中）用数字组成没有重复数字的正整数.（结果用数字表示） (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个能被整除的四位数？ (3)可以组成多少个偶数数字不相邻的五位数？ (4)把所有的四位奇数从小到大排列后，求第个数. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）用数字可以组成个没有重复数字的三位数； （2）组成能被整除的四位数的个数字可以是；； ；；；；； ；；；，共组， 每组数字可以组成个四位数，所以可以组成个能被整除的四位数. （3）在五位数中，偶数数字不相邻，偶数数字最多有个， 因为数字中，奇数数字有个，偶数数字有个， 所以偶数数字不相邻的五位数中，偶数数字可以有个，个，个， 当偶数数字有个时，偶数数字有种选择，奇数数字有种选择， 这个数字可以组成个五位数，所以可以组成个五位数； 当偶数数字有个时，偶数数字有种选择，奇数数字有种选择，对偶数数字进行插空， 这个数字可以组成个五位数，所以可以组成个五位数； 当偶数数字有个时，偶数数字有种选择，奇数数字有种选择，对偶数数字进行插空， 这个数字可以组成个五位数，所以可以组成个五位数； 由分类加法计数原理，得可以组成个偶数数字不相邻的五位数. （4）用数字可以组成个没有重复数字的四位奇数. 其中，千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个； 千位上数字为的，有个， 所以第个数的千位上数字为， 因为千位上数字为，百位上数字为的四位奇数，有个， 千位上数字为，百位上数字为的四位奇数，有个， 所以第个数是千位上数字为，百位上数字为的最大四位奇数，即. 【变式3-3】（25-26高二下·河北唐山·期中）从数字0，1，2，3，4，5这6个数字中任选3个不同的数字，组成一个三位数 (1)可以组成多少个不同的三位数？ (2)可以组成多少个不同的三位偶数？ (3)可以组成多少个能被5整除的三位数？ (4)若将所有组成的三位数按从小到大的顺序排列，求第50个是多少？ 【答案】(1)100 (2)52 (3)36 (4)321 【分析】（1）先分析百位，再根据排列组合求解即可； （2）分析末尾的情况求解即可； （3）分末尾为0和5与首位的情况求解即可； （4）结合三位数首位非0的限制，运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解，排序问题按高位到低位逐位确定范围即可. 【详解】（1）百位不能为0，三位数共有个. （2）末位为0的三位偶数有个； 末位为2或4， 共 种选法，百位不能为0且与个位不同，共 种选法，十位从剩余4个数字选1个，共 种选法，此类共个. 总个数为. （3）能被5整除的三位数要求个位为0或5，分两类： 当末位是0时，百位从1~5选1个（5种），十位从剩余4个数字选1个（4种），共个； 当末位是5时，百位不能为0且不为5，共 种选法，十位从剩余4个数字选1个，共 种选法，此类共个. 由分类加法计数原理，总个数为. （4）按从小到大排序，逐位确定： ① 百位为1时，十位有5种选择、个位有4种选择，共个； ② 百位为2时，同理共20个； 此时已排个，第50个在百位为3的数中，且是第个. ③ 百位为3时，按从小到大排列： 十位为0时，个位可选1、2、4、5，共4个，对应第41~44个； 十位为1时，个位可选0、2、4、5，共4个，对应第45~48个； 十位为2时，第49个为320，第50个为321. 故第50个三位数是321. ▌题型04 元素(位置)有限制的问题 ①直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置． ②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数． 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）三个男生和四个女生站成一排，求分别满足下列各条件的不同排法种数： (1)甲站在中间； (2)甲、乙分别站两端； (3)甲、乙必须相邻； (4)三个男生两两不相邻； (5)三个男生和四个女生分别站在一起； (6)男女相间而站； (7)甲不站排头且乙不站排尾． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)3720 【分析】（1）对其余6人进行全排即可； （2）先排甲、乙两人，再排其余5人，根据分步乘法原理即可求解； （3）采用捆绑法即可求解； （4）采用插空法即可求解； （5）采用捆绑法即可求解； （6）采用插空法即可求解； （7）根据甲的位置，进行分类，根据分类加法原理即可求解. 【详解】（1）因为甲站中间，则只需考虑其余6人，故共有种方法； （2）甲、乙的站法有种，其余5人全排列有种，故共有种方法； （3）相邻问题应该采用“捆绑法”，共有种方法； （4）两两不相邻问题应该采用“插空法”，共有种方法； （5）分别对三个男生和四个女生用“捆绑法”，把他们当作2个整体进行排列，故共有种方法； （6）因为女生比男生多1人，因此男女相间而站，就是在四名女生之间的间隔中站入三名男生，所以只需分别排列男生和女生，故共有种方法； （7）甲站与不站排尾对于乙的影响是不同的，故分为两种情况；①甲站排尾，则乙就没有限制了，共有种站法； ②甲不站排尾，则甲有种站法，因为乙也不能站排尾，故乙还有种站法，其余的人随便站，共有种站法． 所以，甲不站排头且乙不站排尾共有种方法，即有3720种方法. 【变式4-1】（25-26高二下·广东汕尾·期末）某宿舍6名同学受邀参加校园展演活动，活动设有双人搭档展示环节：若参与人数超过1人，需从参与者中选出2人组成搭档完成双人展示． (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的安排方案？ (2)如果甲和乙要么都去，要么都不去，其余规则不变，且两名搭档有明确分工，有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1)246 (2)260 【分析】（1）分只有一个人去、去的人数大于1两种情况讨论求解即可； （2）分甲乙都不去、甲乙都去两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）若只有一个人去，则方案数为， 若去的人数大于1，则先选出去的人，再从这些人中选2人参加活动， 则方案数为． 所以总方案数为． （2）若甲乙都不去，当只有一个人去时，则方案数为； 当去的人数大于1时，则先选出去的人，再从这些人中选2人参加活动且有明确分工， 则方案数为， 若甲乙都去，当只去2人时，方案数为：，            当去的人数大于2时，除甲乙外，再从剩余的4人中选， 则方案数为，                  所以总方案数为． 【变式4-2】（25-26高二下·宁夏固原·期末）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾． 【答案】(1) 432 (2) 1440 (3) 3600 【分析】（1）根据分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可. （2）结合插空法求解即可. （3）结合特殊元素法求解即可. 【详解】（1）选2男有种，选2女有种，4人全排列，总数为 . （2） 先排4名女生，产生5个空位，选3个空位排列3名男生，总数为 . （3）甲不能站两端，先从中间5个位置选1个给甲，有5种，其余6人全排列，总数为 . 【变式4-3】（25-26高二下·河南郑州·期末）某学校高二年级举办“青春向党”演讲比赛，进入决赛的共有6名选手：A、B、C、D、E、F．现要安排他们在决赛中的出场顺序（即排成一排）．要求： (1)若A必须第一个出场，求不同的出场顺序总数； (2)若A不能第一个出场，且B不能最后一个出场，求不同的出场顺序总数； (3)若A必须在B和C之前出场，且E必须在D之前出场，求不同的出场顺序总数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解即可； （2）利用间接法，先求出6人全排列数，再求出A第一个出场，B最后一个出场的方法，然后相减即可求解； （3）利用定序法即可求解. 【详解】（1）先安排选手A只有1种安排法，再安排B、C、D、E、F在剩余的5个位置有种不同的方法， 由分步乘法计数原理共有种不同的出场顺序总数； （2）6人的全排列有种不同的安排方法数； A 第一个出场有种不同的安排方法数， B最后一个出场有种不同的安排方法数， A 第一个出场且B最后一个出场有种不同的安排方法数， 故A不能第一个出场，且B不能最后一个出场，不同的出场顺序有种不同的安排方法数； （3）6人的全排列有种不同的安排方法数； 又A、B、C之间的安排方法数有种，又B、C之间的安排方法数有种， 又D、E之间的安排方法数有种； 所以A必须在B和C之前出场，且E必须在D之前出场，不同的出场顺序有种不同的安排方法数． ▌题型05 “相邻”与“不相邻”问题 1.相邻元素捆绑法：相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列． 2.定元、定位优先排法. 3.不相邻问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”． 【典例5】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）甲乙丙三人观看表演，现有个座位排成一排，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在个座位中，个空位恰好相邻的组合为，，，，共种 剩余个座位安排人进行全排列，共有种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为种． 【变式5-1】（25-26高二下·湖北十堰·期末）某班级一天上午有5节课，下午有2节课，现在要安排语文，数学，英语，物理，化学，政治，体育7门课各一节的课程表，要求数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有（     ） A．576种 B．288种 C．192种 D．144种 【答案】A 【详解】因为数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，先安排上午剩余3节课， 有种排法，然后将数学及物理插空，有种排法，剩下2门安排在下午， 有种排法， 故不同的排课方法数有种. 【变式5-2】（25-26高二下·河北邢台·期末）已知三对夫妻坐成一排照相． (1)求不同的排列数； (2)求每对夫妻两人均相邻的排列数； (3)求同性别的人均不相邻的排列数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题设要求，选择捆绑法，插空法，特殊位置优先法，以及分步乘法，分类加法计数原理求解即得. 【详解】（1）6人坐成一排，不同的排列数为； （2）要求每对夫妻均相邻，使用捆绑法，将每对夫妻看作1个整体，共得到3个整体， 则不同的排列数为； （3）要求同性别的人均不相邻，仅存在两种性别排列方式：男女男女男女；女男女男女男， 则不同的排列数为. 【变式5-3】（25-26高二下·山东临沂·期末）有6名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起，共有站法种数为（   ） A．120 B．144 C．240 D．336 【答案】B 【详解】把丙丁看成一个整体，丙丁之间有种排列方式， 此时相当于有丙丁整体和另外2名同学，共3个元素进行全排列， 排列数为种， 这3个元素排好后，会形成4个空位（包括两端），从中选2个空位安排甲乙， 保证甲乙不相邻，排列数为种， 将各步骤结果相乘得到，故选项B正确. ▌题型06 顺序固定与环形问题 【典例6】（25-26高二下·山东淄博·期中）（多选）小杨正在安排五一五天假期（月日月日）的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点（其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个），则下列说法正确的是（    ） A．若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种 B．若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种 C．若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有种 D．若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种 【答案】BD 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用插空法可判断B选项；利用倍缩法可判断C选项；记事件月日去甲景点，记事件月日去乙景点，则不同的排法种数为，结合韦恩图可判断D选项. 【详解】对于A选项，将甲、乙两景点捆绑，形成一个大元素，与其余三个景点进行排序， 所以不同的安排方法种数为种，故A错误； 对于B选项，先将除甲、乙两景点以外的三个景点进行排序， 再将甲、乙两景点插入其余三个元素中形成的个空位中的个， 由插空法可知，不同的安排方法种数为，故B正确； 对于C选项，若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻）， 由倍缩法可知，不同的排法种数为，故C错误； 对于D选项，记事件月日去甲景点，记事件月日去乙景点，如下图所示： 则月日去甲景点，且月日去乙景点，则， ， 所以，不同的排法种数为种，故D正确. 【变式6-1】（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有40种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD 【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题求解. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素， 则不同的排法有种，故A正确； 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法， 最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法， 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有种，故B错误； 对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空， 则有种，故C正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确． 【变式6-2】（25-26高二下·四川达州·期中）8个人按如下方式排队，计算排列数 (1)8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 (2)8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法 (3)8人排成一个圆圈，共有多少种排法 【答案】(1)5760 (2)7200 (3)5040 【分析】（1）特殊位置特殊元素问题，考虑特殊位置特殊元素优先排列来解决问题； （2）相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法解决； （3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列即可. 【详解】（1）8人排成前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排来考虑. 先排前排的甲乙，从前排4个位置中选2个给甲乙排列，有种排法； 再排后排的丙，从后排4个位置中选1个给丙，有种排法； 其余的5人在剩下的5个位置上任意排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法. （2）先将甲乙看成一个整体（甲乙之间有种排法），此时相当于7个元素. 除甲乙整体和丙外的5个元素全排列，有种排法，这5个元素排列后形成6个空， 将甲乙整体与丙插入这6个空中，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法. （3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列， 共有种排法. 【变式6-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________． 【答案】 【分析】先让11个人入坐，再把其余4人插空求任取4人两两不相邻的入坐方法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】15个人围坐在圆桌旁从中任取4人，两两互不相邻， 先让11个人入坐，再把其余4人插空，共有种不同的围坐方法， 所求概率是． 故答案为： ▌题型07 多排问题 【典例7】（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 【变式7-1】（25-26高二下·湖南常德·阶段检测）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 【答案】A 【分析】由题意，转化为排列中部分元素定序排列即可. 【详解】根据题意，如图， 将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列， 其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可， 则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法， 故选：A． 【变式7-2】（25-26高三上·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先计算盏灯笼任意挂有种不同的挂法，再除以左边顺序一定种，右边顺序一定种，即可求解. 【详解】若盏灯笼任意挂，不同的挂法由种， 又因为左右两边盏灯顺序一定，故有种， 故选：D 【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. （5）多排问题直排法； 【变式7-3】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据排列即可求解. 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A ▌题型08 多面手问题 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 【典例8】（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 【答案】D 【分析】以划右舷的人进行分类：（1）只会划右舷的3人去划右舷；（2）从只会划右舷的人中选2人去划右舷；（3）从只会划右舷的人中选1人划右舷.确定划右舷的人之后，再选划左舷的人，根据分类加法和分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】（1）若只会划右舷的3人去划右舷，则划左舷的人有种，共有种； （2）若从只会划右舷的人中选2人去划右舷，则需从3名既会划左舷又会划右舷的运动员中选1人划右舷， 再从余下能划左舷的4名运动员中选3人划左舷，有种； （3）若从只会划右舷的人中选1人划右舷，则需从左、右都会划的人中选2人划右舷， 则另3人去划左舷，有种. 因此，共有种选法. 【变式8-1】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类， 分配方式为时，共有种分法， 分配方式为时，共有种分法， 由分类加法计数原理可得共有种分法. （2）个相同的口罩，每位同学先拿一个， 剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份， 每一种分法所得份给到个人即可， 所以不同的发放方法有种. （3）若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 若只会英语的人中选了人做英语导游，共有种选法， 由分类加法计数原理可得共有种选法. 【变式8-2】（25-26高二下·河南洛阳·期中）某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有_____________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】37 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按承担印刷任务的人员中“只会印刷”者的人数进行分类求解. 【详解】以承担印刷任务的人员中“只会印刷”者的人数进行分类： 第一类：3名印刷工均是“只会印刷”者，有种； 第二类：有2名印刷工是“只会印刷”者，有种； 第三类：有1名印刷工是“只会印刷”者，有种. 所以共有（种）. 【变式8-3】（25-26高二下·湖北武汉·期中）为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 【答案】B 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有， （2）从中选择1人划左桨，从中选1人划左桨，再从剩下的3名能划右桨的人中选2人划右桨，共有； （3）从中选2人划左桨，中的两人划右桨，共有． 所以，不同的选派方法共有19种． ▌题型09 几何组合计数问题 1.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算漏算．常用直接法，也可采用间接法． 2.把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决方法体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 【典例9】（2026高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，有两组平行线（包括坐标轴），一组有4条，一组有5条． (1)求图中有多少个矩形？ (2)由点到点有多少条最短路径？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 在与轴平行的5条平行线中任抽2条，再从与轴平行的纵向4条平行线中任抽2条即可构成一个矩形，结合组合数可得； （2）从点到最短的路径必须走7步，即三“横”四“纵”．可转化为在7个位置中选3个位置填上“横”的元素，其余当然就是“纵”的元素. 【详解】（1）在与轴平行的5条平行线中任抽2条， 再从与轴平行的纵向4条平行线中任抽2条即可构成一个矩形． 故有：个矩形． （2）从点到最短的路径必须走7步，即三“横”四“纵”． 可转化为在7个位置中选3个位置填上“横”的元素， 其余当然就是“纵”的元素．故有：条最短路径． 【变式9-1】（25-26高二下·河北石家庄·期中）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 【答案】D 【分析】应用组合数求从10个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】正五棱柱共10个顶点，任取4个顶点，有种不同选法， 底面为正五边形，任取4个顶点，有种不同选法， 5条侧棱互相平行，任取2条，有种不同选法， 四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况， 则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为. 【变式9-2】（25-26高二下·全国·开学考试）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．34 C．33 D．35 【答案】C 【详解】从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为， 在三棱台中，共有3对棱平行：和，和，和， 所以所求的选法种数为． 【变式9-3】（25-26高二下·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 【答案】B 【分析】分成两类计数：一类是所在面上另外5个点中任选3个，另一类是所在棱上三点与对棱中点共面，由此可得. 【详解】含有的侧面中，每个面上的6个点都是共面的，除外的5个点任选3个，则个数为， 所在的棱上三点与对棱中点共面，这样的组数有3个， 所以共有个. ▌题型10 分组与分配问题 1.分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题． 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【典例10】（25-26高二下·湖北武汉·期末）（多选）将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（     ） A．共有300种不同的分配方法 B．甲分配到学校的概率为 C．若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D．甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 【答案】BCD 【分析】根据计数原理及排列组合知识，结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】对于A，5位教师分配到三所学校支教，每所学校至少分配一位教师，有2种分组情况： 分组为1,1,3时，分配方法有种； 分组为2,2,1,时，分配方法有种； 故总分配方法有种，A错误. 对于B，学校只有甲，分配方法有种； 学校有2位老师，分配方法有种； 学校有3位老师，分配方法有种； 故甲分配到学校的总分配方法有种，概率为，B正确. 对于C，将甲乙绑定为1组，共4组，分配方法有种，C正确. 对于D，甲乙均分配到学校，分配方法有种， 甲分配到学校，乙分配到学校时， 3位老师都分配到学校，分配方法有种， 2位老师分配到学校，分配方法有种， 1位老师分配到学校，分配方法有种， 故甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的总分配方法有种，概率为，D正确. 【变式10-1】（25-26高二下·黑龙江·期末）（多选）将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A，B，C三个不同社区进行志愿者服务，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种 B．恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种 C．甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种 D．A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种 【答案】ACD 【分析】根据分组分配问题及分步乘法，分类加法计数原理分别判断即可． 【详解】对于A，甲、乙被分配到不同社区的方法有种，故A正确； 对于B，恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有种，故B错误； 对于C，甲、丙、丁都不在同一社区的情况有种， 所有情况有种， 所以甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有种，故C正确； 对于D，A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的情况如下， ①A社区分配2名男性志愿者且丁在A社区的情况有种； ②A社区分配2名男性志愿者且丁在B社区的情况有种； ③A社区分配3名男性志愿者且丁在B社区的情况有种； 所以A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种，故D正确． 【变式10-2】（25-26高二下·河北石家庄·期末）（多选）现有8个不同的玩具，下列说法正确的有（     ） A．分成一堆两个，一堆两个，一堆四个，共有210种方法 B．甲得两个，乙得两个，丙得四个，共有420种方法 C．一人得两个，一人得两个，一人得四个，共有630种方法 D．甲得三个，乙得三个，丙得两个，共有560种方法 【答案】ABD 【分析】利用部分平均分组原理可判断A选项；利用分步乘法计数原理可判断BD选项；利用先分组再分配原理可判断C选项. 【详解】A选项，8个中选2个作为一堆，剩下6个中选2个作为一堆，剩下4个作为一堆， ，共有210种方法，故A正确； B选项，8个中选2个给甲，剩下6个中选2个给乙，剩下4个给丙， ，共有420种方法，故B正确； C选项，先分好组，如A选项，再分配给三个人， ，共有种方法，故C错误； D选项，8个中选3个给甲，剩下5个中选3个给乙，剩下2个给丙， ，共有560种方法，故D正确． 【变式10-3】（25-26高二下·甘肃·期末）某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． 【答案】540 【分析】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为：人数为，人数为，人数为，分别按照分组情况求出分组的组数，再求出分配到3项工作的种数，利用分类加法计算原理求解. 【详解】把6名教师分成3组，每组至少1人，对应三项不同工作，分组为： 人数为 ，人数为 ，人数为 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 当分组为时，分组的组数有种，再分配到3项工作有种， 则共有种， 综上可得，不同的分配方法共有. ▌题型11 元素相同的问题 1．相同元素分配问题的建模思想 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 【典例11】（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 【变式11-1】（25-26高二下·湖北·阶段检测）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； （2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； （4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； （2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 【变式11-2】（25-26高二下·浙江·期中）（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【答案】（1）21；（2）34 【分析】（1）方法一：分别令，列举得到正整数解个数；方法二：与排列组合问题结合，看成八个物品分成三份，由挡板法可得到答案； （2）分别令，列举得到正整数解的个数. 【详解】（1）方法一： 当时，，则一共有6种；当时，，则一共有5种； 当时，，则一共有4种；当时，，则一共有3种； 当时，，则一共有2种；当时，，则一共有1种. 所以方程的正整数解的个数有种 方法二：利用挡板法可得正整数解的个数为； （2）当时，方程转化为，由（1）知一共有21种； 当时，方程转化为，则一共有10种； 当时，方程转化为，则一共有3种； 当时，不合题意； 综上所述，方程的正整数解的个数为. 【变式11-3】（2026高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）36 【分析】（1）利用隔板法求解即可. （2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可. （3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可. 【详解】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆， 在7个小球产生的6个空档中选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，仅空1个盒子共有种， 仅空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列组合综合 （题型突破·举一反三） 题型01 排列公式与组合公式 题型02 涂色与种植问题 题型03 数字排列问题 题型04 元素(位置)有限制的问题 题型05 “相邻”与“不相邻”问题 题型06 顺序固定与环形问题 题型07 多排问题 题型08 多面手问题 题型09 几何组合计数问题 题型10 分组与分配问题 题型11 元素相同的问题 ▌题型01 排列公式与组合公式 排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝[n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝ 性质 A＝n！， 0！＝1 A＝n·A C＝1，C＝1 C＝C C＋C＝C 排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC，C＝C. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 【典例1】（25-26高二下·全国·开学考试）若（且），则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（25-26高二下·广东汕头·期中）下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·重庆·期中）（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【变式1-3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）求值、解方程或解不等式 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 ▌题型02 涂色与种植问题 1.按区域的不同，以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． 2.以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． 3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 4.对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． 【典例2】（25-26高二下·贵州遵义·期末）如图，给图中的A，B，C，D，E五个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色．现有4种不同的颜色供选择，则有________种不同的涂色方案．（用数字作答） 【变式2-1】（25-26高二下·四川达州·期末）如图所示，一个椭圆形区域被分割为互不重叠的六个部分，依次标记为，，，，，.现用4种不同的颜色对图中6个区域着色，要求有公共边的区域不能涂同一种颜色，四种颜色全部参与着色，则所有着色方案种数为______.（用数字作答） 【变式2-2】（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【变式2-3】（25-26高二下·山东聊城·期中）如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（    ） A．24 B．32 C．40 D．48 ▌题型03 数字排列问题 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 【典例3】（2026高三·全国·专题练习）从这十个数字中，每次选出五个，可以组成多少个分别符合下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)奇数； (2)偶数； (3)能被整除； (4)到之间的偶数． 【变式3-1】（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答） （2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答） （3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答） 【变式3-2】（25-26高二下·全国·期中）用数字组成没有重复数字的正整数.（结果用数字表示） (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个能被整除的四位数？ (3)可以组成多少个偶数数字不相邻的五位数？ (4)把所有的四位奇数从小到大排列后，求第个数. 【变式3-3】（25-26高二下·河北唐山·期中）从数字0，1，2，3，4，5这6个数字中任选3个不同的数字，组成一个三位数 (1)可以组成多少个不同的三位数？ (2)可以组成多少个不同的三位偶数？ (3)可以组成多少个能被5整除的三位数？ (4)若将所有组成的三位数按从小到大的顺序排列，求第50个是多少？ ▌题型04 元素(位置)有限制的问题 ①直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置． ②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数． 【典例4】（2026高三·全国·专题练习）三个男生和四个女生站成一排，求分别满足下列各条件的不同排法种数： (1)甲站在中间； (2)甲、乙分别站两端； (3)甲、乙必须相邻； (4)三个男生两两不相邻； (5)三个男生和四个女生分别站在一起； (6)男女相间而站； (7)甲不站排头且乙不站排尾． 【变式4-1】（25-26高二下·广东汕尾·期末）某宿舍6名同学受邀参加校园展演活动，活动设有双人搭档展示环节：若参与人数超过1人，需从参与者中选出2人组成搭档完成双人展示． (1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的安排方案？ (2)如果甲和乙要么都去，要么都不去，其余规则不变，且两名搭档有明确分工，有多少种不同的安排方案？ 【变式4-2】（25-26高二下·宁夏固原·期末）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾． 【变式4-3】（25-26高二下·河南郑州·期末）某学校高二年级举办“青春向党”演讲比赛，进入决赛的共有6名选手：A、B、C、D、E、F．现要安排他们在决赛中的出场顺序（即排成一排）．要求： (1)若A必须第一个出场，求不同的出场顺序总数； (2)若A不能第一个出场，且B不能最后一个出场，求不同的出场顺序总数； (3)若A必须在B和C之前出场，且E必须在D之前出场，求不同的出场顺序总数． ▌题型05 “相邻”与“不相邻”问题 1.相邻元素捆绑法：相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列． 2.定元、定位优先排法. 3.不相邻问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”． 【典例5】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）甲乙丙三人观看表演，现有个座位排成一排，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（    ） A． B． C． D． 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为种． 【变式5-1】（25-26高二下·湖北十堰·期末）某班级一天上午有5节课，下午有2节课，现在要安排语文，数学，英语，物理，化学，政治，体育7门课各一节的课程表，要求数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有（     ） A．576种 B．288种 C．192种 D．144种 【变式5-2】（25-26高二下·河北邢台·期末）已知三对夫妻坐成一排照相． (1)求不同的排列数； (2)求每对夫妻两人均相邻的排列数； (3)求同性别的人均不相邻的排列数． 【变式5-3】（25-26高二下·山东临沂·期末）有6名同学站成一排照相，要求其中甲乙两位同学不站在一起，丙丁两位同学站在一起，共有站法种数为（   ） A．120 B．144 C．240 D．336 ▌题型06 顺序固定与环形问题 【典例6】（25-26高二下·山东淄博·期中）（多选）小杨正在安排五一五天假期（月日月日）的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点（其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个），则下列说法正确的是（    ） A．若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种 B．若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种 C．若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有种 D．若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种 【变式6-1】（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有40种 C．甲、乙不相邻的排法种数为72种 D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【变式6-2】（25-26高二下·四川达州·期中）8个人按如下方式排队，计算排列数 (1)8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 (2)8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法 (3)8人排成一个圆圈，共有多少种排法 【变式6-3】（25-26高二下·江苏南京·期中）15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是___________． ▌题型07 多排问题 【典例7】（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【变式7-1】（25-26高二下·湖南常德·阶段检测）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 【变式7-2】（25-26高三上·湖北·期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 ▌题型08 多面手问题 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 【典例8】（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．52种 B．53种 C．54种 D．55种 【变式8-1】（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）回答下列问题 (1)把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？ (2)有个相同的口罩全部分给名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数是多少？ (3)某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【变式8-2】（25-26高二下·河南洛阳·期中）某出版社的8名工人中，有3人只会排版，3人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从8人中选3人排版，3人印刷，有_____________种不同的选法．（用数字作答） 【变式8-3】（25-26高二下·湖北武汉·期中）为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 ▌题型09 几何组合计数问题 1.图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算漏算．常用直接法，也可采用间接法． 2.把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决方法体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 【典例9】（2026高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，有两组平行线（包括坐标轴），一组有4条，一组有5条． (1)求图中有多少个矩形？ (2)由点到点有多少条最短路径？ 【变式9-1】（25-26高二下·河北石家庄·期中）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 【变式9-2】（25-26高二下·全国·开学考试）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．34 C．33 D．35 【变式9-3】（25-26高二下·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 ▌题型10 分组与分配问题 1.分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种． ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题． 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 【典例10】（25-26高二下·湖北武汉·期末）（多选）将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（     ） A．共有300种不同的分配方法 B．甲分配到学校的概率为 C．若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D．甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 【变式10-1】（25-26高二下·黑龙江·期末）（多选）将含甲、乙的6名男性志愿者和含丙、丁的3名女性志愿者平均分配到A，B，C三个不同社区进行志愿者服务，则下列说法正确的是（    ） A．甲、乙被分配到不同社区的方法有1260种 B．恰好有1个社区有2名女性志愿者的分配方法有2160种 C．甲、丙、丁至少有2人在同一社区的分配方法有1140种 D．A社区至少分配2名男性志愿者且丁不在C社区的分配方法有800种 【变式10-2】（25-26高二下·河北石家庄·期末）（多选）现有8个不同的玩具，下列说法正确的有（     ） A．分成一堆两个，一堆两个，一堆四个，共有210种方法 B．甲得两个，乙得两个，丙得四个，共有420种方法 C．一人得两个，一人得两个，一人得四个，共有630种方法 D．甲得三个，乙得三个，丙得两个，共有560种方法 【变式10-3】（25-26高二下·甘肃·期末）某学校组织科技竞赛，现有6名指导教师负责命题、监考、阅卷三项工作，要求每项工作至少安排1名指导老师，每名指导老师都只能参加一项工作，则不同的分配方法共有_____种． ▌题型11 元素相同的问题 1．相同元素分配问题的建模思想 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板． 【典例11】（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 【变式11-1】（25-26高二下·湖北·阶段检测）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【变式11-2】（25-26高二下·浙江·期中）（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【变式11-3】（2026高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $