数学（北师大版）-2025-2026学年八年级上学期期中试卷

姓名 准考证号 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷 选择题（共30分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题 卡相应位置涂黑. 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.以 下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是 A.1,1,1 B.2,3,4 C.1,W2,3 D.1,2,3 2.如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，若S1=30,S2=40,则S,等于 S A.40 B.50 C.60 D.70 S2 3.下列计算正确的是 A.√5-√3=√2 B.2W2×3√2=12C.W9÷√3=3 D.42+3√2=14 4.如图，小手盖住的点的坐标可能是 A.(-1,-3) B.（-1,3) C.(1,3) D.(1,-3) 5.若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在下面数轴的 ① ② ③ ④ 0 2 3 A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上 6.已知点A(-3,y),B(2,y2)都在正比例函数y=-5x的图象上，则 A.y<y2 B.Y1>Y2 C.y=Y2 D.y1≥y2 7.已知点P在第二象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 A.(-5,3) B.(3,-5) C.(-3,5) D.(5,-3) 8.如图网格中每个小正方形边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D,ED= A.√5 B.√6 C.2 D.2√2 八年级数学（北师大）第1页（共4页） 9.小兰匀速地向一个容器装水，直至装满容器.若在装水的过程中，水面高度h随时间t的变化规 律如图所示，则这个容器的形状可能是 A B 10.乐乐一家自驾车到离家500k的某景点旅游，出发前将油箱加满油.下表记录了行驶路程 x(km)与油箱余油量y(L)之间的部分数据： 行驶路程x(km) 0 50 100 150 200 油箱余油量y(L) 45 41 37 33 29 下列说法不正确的是 A.该车的油箱容量为45L B.该车每行驶100km耗油8L C.油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45-8x D.当乐乐一家到达景点时，油箱中剩余5L油 第Ⅱ卷非选择题（共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.比较大小√17+1 9 5 10 12.在平面直角坐标系中，如果P(m+3,2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是 13.如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16,高BC=12,P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿 着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B B D (第13小题图)》 （第14小题图) 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边 AB上的点C'处，则CD的长为 15.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分是轴对称图形，M为曲线部分的最低点，则 △ABC的面积是 0 图1 图2 八年级数学（北师大）第2页（共4页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题10分)计算： (1)V8×2÷3 (2)(√3+√2)（√3-√2）-（√5-1）2 17.(本题8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). 4-3-219 123 (1)画出△ABC关于y轴对称的△AB,C1; (2)写出△AB,C1三个顶点坐标分别为：A ,B1 ,C1 (3)点M(a,b)为△ABC内的一点，则与它对应的△A,B,C,中点M的坐标为 18.(本题7分)在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲所示.明明据此构造出该岛的一 个数学模型（如图乙四边形ABCD),AC(可看作一条线段）是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 ∠B=90°，AB=BC=5千米，CD=√2千米，AD=4wW3千米.求： 图甲 图乙 (1)小溪流AC的长； (2)四边形ABCD的面积.（结果保留根号） 19.(本题7分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机 器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚 向点O,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球， 恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行 走的速度相等，求机器人行走的路程BC的长.（机器人和小0 球的大小忽略不计) 20.(本题9分)如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘.德国心理学家艾宾浩 斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是 艾宾浩斯遗忘曲线.观察图象，回答下列问题： 个记忆留存率y(%) (1)自变量是 10 (2)由图象知，遗忘速度先 后 ,记 忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 D (3)请说明图中点B的实际意义； (4)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%. 9 24 由此，你对数学学习有什么感悟？ 学习后的时间x(时) 八年级数学（北师大）第3页（共4页） 21.(本题10分)阅读与思考 由（√7+√5）（√7-√5）=（√7）2-（√5）2=2可以看出，如果两个含有二次根式的代数 式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. √7-√5 例如：7+√5（√7+√5）(V7-5 =√7-√5 2 请完成下列问题： (1)√3-√2的有理化因式是 3 (2)化去式子分母中的根号： 3-√6 (3)利用你发现的规律计算： 1 1 （2+1+万+√2+√4+W5+…+2025+√2024 )×(√2025+1)： 22.（本题12分)综合与实践 某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据， 活动 探究风筝离地面的垂直高度 课题 测 量 示 意 图 说明：点B,D在同一水平线上，点A,B,C在同一铅垂线（垂直于地面）上. ①放风筝组员的手（点D)离地面的高度为1.6米； 测量 ②水平距离BD的长为8米； 数据 ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线AD的长为17米. 根据以上信息，完成下列任务： (1)求出风筝离地面的垂直高度AC的长； (2)若实践探究小组将风筝沿AC方向下降了9米，BD的长度不变，求放风筝组员应该回收多 少米的风筝线？ (3)若实践小组将风筝线继续放出8米，距离地面的垂直高度AC保持不变，求放风筝组员需要 向后移动多少米？ 23.(本题12分)综合与探究 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到 x轴、y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”。 (1)点(4,6)的“长距”为 (2)若点B(5-3a,-3)是“角平分线点”，求a的值； (3)若点C(-1,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5).请判断点 D是否为“角平分线点”，并说明理由 八年级数学（北师大）第4页（共4页） 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学（北师大版）参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1-5 CD BAB 6一10 B CAB C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11、> 12、(0,-2) 13、10 14 15、12 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16,解：)8×W2+号=2w2x2W3×=8/2 …4分 3 (2)(W3+√2)(3-√2)-（√5-1）2 =(3)2-(√2)2-(5-2W5+1) =3-2-6+2√5 =2W5-5. …10分 17、解：(1)如图，△ABC1即为所求； 54-3-2-1912345 …3分 (2)(-1,1)(-4,2)(-3,4) …6分 (3)M(-a,b) …8分 18、解：(1).∠B=90°，AB=BC=5千米， AC=√AB2+BC=√52+5=5√2（千米）； …2分 (2):AC=(5√2)2=50，CD2+AD2=(W2)2+(4W3)2=50, AC=CD2+AD2,则∠D=90° .S四边形ABCD=S△ABc+S△ACD =x5x5+分 ×√2x4/3 =(+26平方千米 …7分 19、解：，小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且机器人恰好在点C处截住了小球， .∴机器人和小球运动的时间和路程相等，即BC=CA. …1分 设AC为xcm,则0C=(45-x)cm, …2分 由勾股定理可知OB2+OC2=BC2 …3分 又，0A=45cm,0B=15cm, 代入关系式得152+（45-x)2=x2, …4分 解得x=25. …6分 答：机器人行走的路程BC是25cm. …7分 八年级数学（北师大）参考答案第1页（共2页） 20、解：(1)（学习后的）时间； …2分 (2)由图象可知，遗忘速度先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐降低.故答案 为：快，慢，降低； …5分 (3)结合图象可知图中B点表示的意义是：学习1小时后记忆留存率约为44.2%；…7分 (4)合理即可. ………9分 21、解：(1)示例：(3+√2)（√3-√2）=（√3）2-(2)2=3-2=1， √3-√2的有理化因式是：√3+√2， 故答案为：√3+√2（不唯一）； …2分 (2)3 3(3+6)=3(3+√6)=3+√6， 3-√6(3+√6)(3-√6)9-6 故答案为：3+√6； …4分 W3-√2 √4-√3 (3)原式=[ W2-1 (√2+1)（√2-1）（√3+√2）（√3-√2）（√4+√3）（√4-√3） √2025-√2024 +…+ -]×(W2025+1) (√2025+√2024)（√2025-√2024） =(-1+√2-W2+√3-W3+W4-…-√2024+√2025)×(W2025+1) =(W2025-1)×(√2025+1) =(√2025)2-12 =2025-1 =2024. …10分 22、解：(1)由图易知，在△ABD中，∠ABD=90°，BD=8米，AD=17米，BC=1.6米， AB=√AD2-BD2=15米」 .∴.AC=AB+BC=16.6(米). 答：风筝离地面的垂直高度AC的长为16.6米. …4分 (2)风筝沿AC方向下降了9米后，AB=15-9=6米， 此时风筝线的长为√AB2+BD2=√62+82=10（米）， 17-10=7(米). 答：放风筝组员应该回收7米的风筝线 …8分 (3)将风筝线放出8米后，AD=17+8=25米， 此时水平距离BD的长为√252-152=20（米）， 20-8=12(米). 答：放风筝组员需要向后移动12米。 …12分 23、解：(1)根据题意，得点(4,6)到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， ∴.点A的“长距”为6.故答案为：6； …2分 (2)点B(5-3a,-3)是“角平分线点”， ∴|5-3a=-3, ∴.5-3a=3或5-3a=-3, 解得a=号或a- …7分 (3)点D是“角平分线点”，理由如下： …8分 点C(-1,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内， ∴.3b-2=4,解得b=2. .9-2b=5. ∴.点D的坐标为(5，-5). ∴.点D到x轴、y轴的距离都是5. ∴点D是“角平分线点”. …12分 八年级数学（北师大）参考答案第2页（共2页）姓名 准考证号 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷 选择题（共30分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题 卡相应位置涂黑. 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.以 下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是 A.1,1,1 B.2,3,4 C.1,W2,3 D.1,2,3 2.如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，若S1=30,S2=40,则S,等于 S A.40 B.50 C.60 D.70 S2 3.下列计算正确的是 A.√5-√3=√2 B.2W2×3√2=12C.W9÷√3=3 D.42+3√2=14 4.如图，小手盖住的点的坐标可能是 A.(-1,-3) B.（-1,3) C.(1,3) D.(1,-3) 5.若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在下面数轴的 ① ② ③ ④ 0 2 3 A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上 6.已知点A(-3,y),B(2,y2)都在正比例函数y=-5x的图象上，则 A.y<y2 B.Y1>Y2 C.y=Y2 D.y1≥y2 7.已知点P在第二象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 A.(-5,3) B.(3,-5) C.(-3,5) D.(5,-3) 8.如图网格中每个小正方形边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D,ED= A.√5 B.√6 C.2 D.2√2 八年级数学（北师大）第1页（共4页） 9.小兰匀速地向一个容器装水，直至装满容器.若在装水的过程中，水面高度h随时间t的变化规 律如图所示，则这个容器的形状可能是 A B 10.乐乐一家自驾车到离家500k的某景点旅游，出发前将油箱加满油.下表记录了行驶路程 x(km)与油箱余油量y(L)之间的部分数据： 行驶路程x(km) 0 50 100 150 200 油箱余油量y(L) 45 41 37 33 29 下列说法不正确的是 A.该车的油箱容量为45L B.该车每行驶100km耗油8L C.油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45-8x D.当乐乐一家到达景点时，油箱中剩余5L油 第Ⅱ卷非选择题（共90分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.比较大小√17+1 9 5 10 12.在平面直角坐标系中，如果P(m+3,2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是 13.如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16,高BC=12,P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿 着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B B D (第13小题图)》 （第14小题图) 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边 AB上的点C'处，则CD的长为 15.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分是轴对称图形，M为曲线部分的最低点，则 △ABC的面积是 0 图1 图2 八年级数学（北师大）第2页（共4页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题10分)计算： (1)V8×2÷3 (2)(√3+√2)（√3-√2）-（√5-1）2 17.(本题8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). 4-3-219 123 (1)画出△ABC关于y轴对称的△AB,C1; (2)写出△AB,C1三个顶点坐标分别为：A ,B1 ,C1 (3)点M(a,b)为△ABC内的一点，则与它对应的△A,B,C,中点M的坐标为 18.(本题7分)在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲所示.明明据此构造出该岛的一 个数学模型（如图乙四边形ABCD),AC(可看作一条线段）是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 ∠B=90°，AB=BC=5千米，CD=√2千米，AD=4wW3千米.求： 图甲 图乙 (1)小溪流AC的长； (2)四边形ABCD的面积.（结果保留根号） 19.(本题7分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机 器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚 向点O,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球， 恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行 走的速度相等，求机器人行走的路程BC的长.（机器人和小0 球的大小忽略不计) 20.(本题9分)如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘.德国心理学家艾宾浩 斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是 艾宾浩斯遗忘曲线.观察图象，回答下列问题： 个记忆留存率y(%) (1)自变量是 10 (2)由图象知，遗忘速度先 后 ,记 忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 D (3)请说明图中点B的实际意义； (4)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%. 9 24 由此，你对数学学习有什么感悟？ 学习后的时间x(时) 八年级数学（北师大）第3页（共4页） 21.(本题10分)阅读与思考 由（√7+√5）（√7-√5）=（√7）2-（√5）2=2可以看出，如果两个含有二次根式的代数 式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号. √7-√5 例如：7+√5（√7+√5）(V7-5 =√7-√5 2 请完成下列问题： (1)√3-√2的有理化因式是 3 (2)化去式子分母中的根号： 3-√6 (3)利用你发现的规律计算： 1 1 （2+1+万+√2+√4+W5+…+2025+√2024 )×(√2025+1)： 22.（本题12分)综合与实践 某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据， 活动 探究风筝离地面的垂直高度 课题 测 量 示 意 图 说明：点B,D在同一水平线上，点A,B,C在同一铅垂线（垂直于地面）上. ①放风筝组员的手（点D)离地面的高度为1.6米； 测量 ②水平距离BD的长为8米； 数据 ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线AD的长为17米. 根据以上信息，完成下列任务： (1)求出风筝离地面的垂直高度AC的长； (2)若实践探究小组将风筝沿AC方向下降了9米，BD的长度不变，求放风筝组员应该回收多 少米的风筝线？ (3)若实践小组将风筝线继续放出8米，距离地面的垂直高度AC保持不变，求放风筝组员需要 向后移动多少米？ 23.(本题12分)综合与探究 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到 x轴、y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”。 (1)点(4,6)的“长距”为 (2)若点B(5-3a,-3)是“角平分线点”，求a的值； (3)若点C(-1,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5).请判断点 D是否为“角平分线点”，并说明理由 八年级数学（北师大）第4页（共4页）姓名 准考证号 9.小兰匀速地向一个容器装水，直至装满容器，若在装水的过程中，水面高度h随时间t的变化规 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 律如图所示，则这个容器的形状可能是 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全韩在答题卡上完成，答在本议卷上无效。 10.乐乐一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油.下表记录了行驶路程 4.考试站来后，将本议和答题卡一并交回。 x(km)与油箱余油量y(L)之间的部分数据： 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必迪究法律青任！ 行驶路程x(km) 0 50 100 150 200 第I卷选择题（共30分） 油箱余油量y(L) 45 41 37 33 29 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 下列说法不正确的是 在每小题列出的四个选项中，只有，项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题 A.该车的油箱容量为45L 卡相应位置涂黑。 B.该车每行驶100km耗油8L 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，以 C.油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45-8x 下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是 D.当乐乐一家到达景点时，油箱中剩余5L油 A.1,1,1 B.2,3,4 C.1,2,3 D.1,2,3 2.如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，若S,=30,S,=40,则S,等于 第Ⅱ卷非选择题（共90分）》 A.40 B.50 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） C.60 D.70 3.下列计算正确的是 1山.比较大小，7+1 9 5 -10 A.√5-√3=√2 B.2W2×3w2=12C.W9÷√3=3 D.4/2+3v/2=14 12.在平面直角坐标系中，如果P(m+3,2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是 4.如图，小手盖住的点的坐标可能是 13.如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16高BC=12,P为BC的中点，一只蚂蚊从A点出发沿 A.(-1,-3) 着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B.(-1,3) C.(1,3) D.(1,-3) 5.若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在下面数轴的 ① ② (第13小题图) (第14小题图)】 0 2 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边 A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上 AB上的点C处，则CD的长为 6.已知点A(-3,y),B(2,y)都在正比例函数y=-5x的图象上，则 15.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B+C+A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP A.1<y2 B.y1>y32 C.y=Y D.y%≥y2 的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分是轴对称图形，M为曲线部分的最低点，则 7.已知点P在第二象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 △ABC的面积是 A.(-5,3) B.(3,-5) C.(-3,5) D.(5,-3) 8.如图网格中每个小正方形边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D,ED= A.√5 B.√6 C.2 D.2√2 图1 图2 八年级数学（北师大）第1页（共4页） 八年级数学（北师大）第2页（共4页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 21.(本题10分)阅读与思考 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 由（√7+√5）（√-√5）=（√7）-（√5）2=2可以看出，如果两个含有二次根式的代数 16.(本题10分)计算： 式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式 (1)8x√12÷ 2 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号 (2)(√3+2)(3-√2)-(5-1) √7-√5 17.(本题8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). 例知：万+5(7+5)(7-5) -W7-W5 2 请完成下列问题： (1)√3-√2的有理化因式是 3 (2)化去式子分母中的根号 3-√6 (3)利用你发现的规律计算： 1 1 1 +1+万+a+4+5++2s+2m)×W205+ 22.(本题12分)综合与实践 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A,B,C,: 某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据 (2)写出△A,B,C,三个顶点坐标分别为：A, B .C 活动 (3)点M(a,b)为△ABC内的一点，则与它对应的△AB,C,中点M,的坐标为 探究风筝离地面的垂直高度 课题 18.(本题7分)在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲所示，明明据此构造出该岛的一 个数学模型（如图乙四边形ABCD),AC(可看作一条线段）是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 测 ∠B=90°，AB=BC=5千米，CD=√2千米，AD=4W3千米，求： 量 示 意 图 说明：点B,D在同一水平线上，点A,B,C在同一铅垂线（垂直于地面）上 图中 图乙 ①放风筝组员的手（点D)离地面的高度为1.6米： (1)小溪流AC的长： 测量 ②水平距离BD的长为8米： (2)四边形ABCD的面积.（结果保留根号） 数据 ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线AD的长为17米 19.(本题7分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机 器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚 根据以上信息，完成下列任务： 向点O,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球， (1)求出风筝离地面的垂直高度AC的长； 恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行 (2)若实践探究小组将风筝沿AC方向下降了9米，BD的长度不变，求放风筝组员应该回收多 走的速度相等，求机器人行走的路程BC的长.（机器人和小 少米的风筝线？ 球的大小忽略不计)】 (3)若实践小组将风筝线继续放出8米，距离地面的垂直高度AC保持不变，求放风筝组员需要 20.(本题9分)如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘.德国心理学家艾宾浩 向后移动多少米？ 斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是 23.(本题12分)综合与探究 艾宾浩斯遗忘曲线.观察图象，回答下列问题： 记忆留存率y(%》 (1)自变量是」 100 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到 (2)由图象知，遗忘速度先 后 x轴、y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点” 忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 (1)点(4.6)的“长距”为 (3)请说明图中点B的实际意义； (2)若点B(5-3a,-3)是“角平分线点”，求a的值 (4)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98% 24* (3)若点C(-1,36-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5).请判断点 由此，你对数学学习有什么感悟？ 季习后的时间x(时) D是否为“角平分线点”，并说明理由 八年级数学（北师大）第3页（共4页） 八年级数学（北师大）第4页（共4页） 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 20、解：(1)（学习后的）时间： …2分 (2)由图象可知，遗忘速度先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐降低，故答案 八年级数学（北师大版）参考答案 为：快，慢，降低： …5分 (3)结合图象可知图中B点表示的意义是：学习1小时后记忆留存率约为44.2%；…7分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） (4)合理即可 …9分 1-5 C D BA B 6-10 B C A B C 21、解：(1)示例：(3+√2)(W3-√2)=(W3)2-(W2)2=3-2=1, 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） √3-√2的有理化因式是：√3+√2， 11、> 12、(0,-2) 13、10 14 15、12 故答案为：√3+√2（不唯一） …2分 3 3(3+√/6) 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） (2) 3(3+y6)=3+6, 3-√6(3*√6)(3-√6)9-6 16解：v8xm+号=22×25x后=8v2 …4分 故答案为：3+√6： …4分 √3 (3)原式= √2-1 √3-√2 4-√3 (2)(W3+√2)(W3-√2)-(5-1)H (√2+1)（√2-1）（√3+√2）(W3-2)(√4+√3)(4-√3) =(√3)2-（√2）2-(5-2W5+1) √2025-√2024 =3-2-6+2√5 十…+ ]×(V2025+1) (√2025+√2024）（√2025-√2024） =2W/5-5. …10分 =(-1+√2-√2+√3-√3+√4-…-W2024+√2025)×(W2025+1) 17、解：(1)如图，△AB,C即为所求： =(√/2025-1)×(2025+1) =(√2025)2-12 =2025-1 =2024. …10分 22、解：(1)由图易知，在△ABD中，∠ABD=90°，BD=8米，AD=17米，BC=1.6米， .AB=√AD2-BD=15米. 4-5-2 ∴.AC=AB+BC=16.6(米). 答：风筝离地面的垂直高度AC的长为16.6米. …4分 (2)风筝沿AC方向下降了9米后，AB=15-9=6米， …3分 此时风筝线的长为√AB2+BD=√62+82=10（米）， (2)(-11)(-4,2)(-3,4) …6分 17-10=7(米). (3)M,(-a,b) …8分 答：放风筝组员应该回收7米的风筝线. …8分 18、解：(1)∠B=90°，AB=BC=5千米， (3)将风筝线放出8米后，AD=17+8-25米， AC=√AB+BC=√5+了=5V2(千米)： …2分 此时水平距离BD的长为√252-152=20（米）， (2)AC=(5√2)2=50，CD+AD=(√2)2+(4W3)2=50. 20-8=12(米). .AC=CD+AD,则∠D=90° 答：放风筝组员需要向后移动12米。 …12分 S西站wAaD=SAC十SAACD 23、解：(1)根据题意，得点(4,6)到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， …2分 =2x5x5+5×2×4W3 .点A的“长距”为6.故答案为：6： (2):点B(5-3a,-3)是“角平分线点” =(受+26)平方千米 ∴5-3a=|-3. …7分 .5-3a=3或5-3a=-3, 19、解：·小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且机器人恰好在点C处截住了小球， 解得a=号或a=8 …7分 ,∴，机器人和小球运动的时间和路程相等，即BC=CA: …1分 (3)点D是“角平分线点”，理由如下： …8分 设AC为xcm,则0C=(45-x)cm, …2分 :点C(-1,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内， 由勾股定理可知OB+OC=BC …3分 ∴.3b-2=4,解得b=2. 又0A=45cm,0B=15cm, .9-2b=5. 代人关系式得152+(45-x)2=x2, …4分 点D的坐标为(5，-5). 解得x=25. 6分 点D到x轴y轴的距离都是5. 答：机器人行走的路程BC是25cm …7分 ∴，点D是“角平分线点” ……12分 八年级数学（北师大）参考答案第1页（共2页）】 八年级数学（北师大）参考答案第2页（共2页）姓名 准考证号 9.小兰匀速地向一个容器装水，直至装满容器，若在装水的过程中，水面高度h随时间t的变化规 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 律如图所示，则这个容器的形状可能是 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全韩在答题卡上完成，答在本议卷上无效。 10.乐乐一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油.下表记录了行驶路程 4.考试站来后，将本议和答题卡一并交回。 x(km)与油箱余油量y(L)之间的部分数据： 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必迪究法律青任！ 行驶路程x(km) 0 50 100 150 200 第I卷选择题（共30分） 油箱余油量y(L) 45 41 37 33 29 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 下列说法不正确的是 在每小题列出的四个选项中，只有，项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题 A.该车的油箱容量为45L 卡相应位置涂黑。 B.该车每行驶100km耗油8L 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，以 C.油箱余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=45-8x 下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是 D.当乐乐一家到达景点时，油箱中剩余5L油 A.1,1,1 B.2,3,4 C.1,2,3 D.1,2,3 2.如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，若S,=30,S,=40,则S,等于 第Ⅱ卷非选择题（共90分）》 A.40 B.50 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） C.60 D.70 3.下列计算正确的是 1山.比较大小，7+1 9 5 -10 A.√5-√3=√2 B.2W2×3w2=12C.W9÷√3=3 D.4/2+3v/2=14 12.在平面直角坐标系中，如果P(m+3,2m+4)在y轴上，那么点P的坐标是 4.如图，小手盖住的点的坐标可能是 13.如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16高BC=12,P为BC的中点，一只蚂蚊从A点出发沿 A.(-1,-3) 着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 B.(-1,3) C.(1,3) D.(1,-3) 5.若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在下面数轴的 ① ② (第13小题图) (第14小题图)】 0 2 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边 A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上 AB上的点C处，则CD的长为 6.已知点A(-3,y),B(2,y)都在正比例函数y=-5x的图象上，则 15.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B+C+A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP A.1<y2 B.y1>y32 C.y=Y D.y%≥y2 的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分是轴对称图形，M为曲线部分的最低点，则 7.已知点P在第二象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 △ABC的面积是 A.(-5,3) B.(3,-5) C.(-3,5) D.(5,-3) 8.如图网格中每个小正方形边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交网格线于点D,ED= A.√5 B.√6 C.2 D.2√2 图1 图2 八年级数学（北师大）第1页（共4页） 八年级数学（北师大）第2页（共4页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 21.(本题10分)阅读与思考 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 由（√7+√5）（√-√5）=（√7）-（√5）2=2可以看出，如果两个含有二次根式的代数 16.(本题10分)计算： 式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式 (1)8x√12÷ 2 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号 (2)(√3+2)(3-√2)-(5-1) √7-√5 17.(本题8分)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4). 例知：万+5(7+5)(7-5) -W7-W5 2 请完成下列问题： (1)√3-√2的有理化因式是 3 (2)化去式子分母中的根号 3-√6 (3)利用你发现的规律计算： 1 1 1 +1+万+a+4+5++2s+2m)×W205+ 22.(本题12分)综合与实践 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A,B,C,: 某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据 (2)写出△A,B,C,三个顶点坐标分别为：A, B .C 活动 (3)点M(a,b)为△ABC内的一点，则与它对应的△AB,C,中点M,的坐标为 探究风筝离地面的垂直高度 课题 18.(本题7分)在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲所示，明明据此构造出该岛的一 个数学模型（如图乙四边形ABCD),AC(可看作一条线段）是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 测 ∠B=90°，AB=BC=5千米，CD=√2千米，AD=4W3千米，求： 量 示 意 图 说明：点B,D在同一水平线上，点A,B,C在同一铅垂线（垂直于地面）上 图中 图乙 ①放风筝组员的手（点D)离地面的高度为1.6米： (1)小溪流AC的长： 测量 ②水平距离BD的长为8米： (2)四边形ABCD的面积.（结果保留根号） 数据 ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线AD的长为17米 19.(本题7分)如图，∠A0B=90°，0A=45cm,0B=15cm,一机 器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚 根据以上信息，完成下列任务： 向点O,机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球， (1)求出风筝离地面的垂直高度AC的长； 恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行 (2)若实践探究小组将风筝沿AC方向下降了9米，BD的长度不变，求放风筝组员应该回收多 走的速度相等，求机器人行走的路程BC的长.（机器人和小 少米的风筝线？ 球的大小忽略不计)】 (3)若实践小组将风筝线继续放出8米，距离地面的垂直高度AC保持不变，求放风筝组员需要 20.(本题9分)如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘.德国心理学家艾宾浩 向后移动多少米？ 斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是 23.(本题12分)综合与探究 艾宾浩斯遗忘曲线.观察图象，回答下列问题： 记忆留存率y(%》 (1)自变量是」 100 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到 (2)由图象知，遗忘速度先 后 x轴、y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点” 忆留存率随学习后时间的增长而逐渐 (1)点(4.6)的“长距”为 (3)请说明图中点B的实际意义； (2)若点B(5-3a,-3)是“角平分线点”，求a的值 (4)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98% 24* (3)若点C(-1,36-2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9-2b,-5).请判断点 由此，你对数学学习有什么感悟？ 季习后的时间x(时) D是否为“角平分线点”，并说明理由 八年级数学（北师大）第3页（共4页） 八年级数学（北师大）第4页（共4页）2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 20、解：(1)（学习后的）时间： …2分 (2)由图象可知，遗忘速度先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐降低，故答案 八年级数学（北师大版）参考答案 为：快，慢，降低： …5分 (3)结合图象可知图中B点表示的意义是：学习1小时后记忆留存率约为44.2%；…7分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） (4)合理即可 …9分 1-5 C D BA B 6-10 B C A B C 21、解：(1)示例：(3+√2)(W3-√2)=(W3)2-(W2)2=3-2=1, 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） √3-√2的有理化因式是：√3+√2， 11、> 12、(0,-2) 13、10 14 15、12 故答案为：√3+√2（不唯一） …2分 3 3(3+√/6) 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） (2) 3(3+y6)=3+6, 3-√6(3*√6)(3-√6)9-6 16解：v8xm+号=22×25x后=8v2 …4分 故答案为：3+√6： …4分 √3 (3)原式= √2-1 √3-√2 4-√3 (2)(W3+√2)(W3-√2)-(5-1)H (√2+1)（√2-1）（√3+√2）(W3-2)(√4+√3)(4-√3) =(√3)2-（√2）2-(5-2W5+1) √2025-√2024 =3-2-6+2√5 十…+ ]×(V2025+1) (√2025+√2024）（√2025-√2024） =2W/5-5. …10分 =(-1+√2-√2+√3-√3+√4-…-W2024+√2025)×(W2025+1) 17、解：(1)如图，△AB,C即为所求： =(√/2025-1)×(2025+1) =(√2025)2-12 =2025-1 =2024. …10分 22、解：(1)由图易知，在△ABD中，∠ABD=90°，BD=8米，AD=17米，BC=1.6米， .AB=√AD2-BD=15米. 4-5-2 ∴.AC=AB+BC=16.6(米). 答：风筝离地面的垂直高度AC的长为16.6米. …4分 (2)风筝沿AC方向下降了9米后，AB=15-9=6米， …3分 此时风筝线的长为√AB2+BD=√62+82=10（米）， (2)(-11)(-4,2)(-3,4) …6分 17-10=7(米). (3)M,(-a,b) …8分 答：放风筝组员应该回收7米的风筝线. …8分 18、解：(1)∠B=90°，AB=BC=5千米， (3)将风筝线放出8米后，AD=17+8-25米， AC=√AB+BC=√5+了=5V2(千米)： …2分 此时水平距离BD的长为√252-152=20（米）， (2)AC=(5√2)2=50，CD+AD=(√2)2+(4W3)2=50. 20-8=12(米). .AC=CD+AD,则∠D=90° 答：放风筝组员需要向后移动12米。 …12分 S西站wAaD=SAC十SAACD 23、解：(1)根据题意，得点(4,6)到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， …2分 =2x5x5+5×2×4W3 .点A的“长距”为6.故答案为：6： (2):点B(5-3a,-3)是“角平分线点” =(受+26)平方千米 ∴5-3a=|-3. …7分 .5-3a=3或5-3a=-3, 19、解：·小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且机器人恰好在点C处截住了小球， 解得a=号或a=8 …7分 ,∴，机器人和小球运动的时间和路程相等，即BC=CA: …1分 (3)点D是“角平分线点”，理由如下： …8分 设AC为xcm,则0C=(45-x)cm, …2分 :点C(-1,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内， 由勾股定理可知OB+OC=BC …3分 ∴.3b-2=4,解得b=2. 又0A=45cm,0B=15cm, .9-2b=5. 代人关系式得152+(45-x)2=x2, …4分 点D的坐标为(5，-5). 解得x=25. 6分 点D到x轴y轴的距离都是5. 答：机器人行走的路程BC是25cm …7分 ∴，点D是“角平分线点” ……12分 八年级数学（北师大）参考答案第1页（共2页）】 八年级数学（北师大）参考答案第2页（共2页）2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 八年级数学（北师大版）参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1-5 CD BAB 6一10 B CAB C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11、> 12、(0,-2) 13、10 14 15、12 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16,解：)8×W2+号=2w2x2W3×=8/2 …4分 3 (2)(W3+√2)(3-√2)-（√5-1）2 =(3)2-(√2)2-(5-2W5+1) =3-2-6+2√5 =2W5-5. …10分 17、解：(1)如图，△ABC1即为所求； 54-3-2-1912345 …3分 (2)(-1,1)(-4,2)(-3,4) …6分 (3)M(-a,b) …8分 18、解：(1).∠B=90°，AB=BC=5千米， AC=√AB2+BC=√52+5=5√2（千米）； …2分 (2):AC=(5√2)2=50，CD2+AD2=(W2)2+(4W3)2=50, AC=CD2+AD2,则∠D=90° .S四边形ABCD=S△ABc+S△ACD =x5x5+分 ×√2x4/3 =(+26平方千米 …7分 19、解：，小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且机器人恰好在点C处截住了小球， .∴机器人和小球运动的时间和路程相等，即BC=CA. …1分 设AC为xcm,则0C=(45-x)cm, …2分 由勾股定理可知OB2+OC2=BC2 …3分 又，0A=45cm,0B=15cm, 代入关系式得152+（45-x)2=x2, …4分 解得x=25. …6分 答：机器人行走的路程BC是25cm. …7分 八年级数学（北师大）参考答案第1页（共2页） 20、解：(1)（学习后的）时间； …2分 (2)由图象可知，遗忘速度先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐降低.故答案 为：快，慢，降低； …5分 (3)结合图象可知图中B点表示的意义是：学习1小时后记忆留存率约为44.2%；…7分 (4)合理即可. ………9分 21、解：(1)示例：(3+√2)（√3-√2）=（√3）2-(2)2=3-2=1， √3-√2的有理化因式是：√3+√2， 故答案为：√3+√2（不唯一）； …2分 (2)3 3(3+6)=3(3+√6)=3+√6， 3-√6(3+√6)(3-√6)9-6 故答案为：3+√6； …4分 W3-√2 √4-√3 (3)原式=[ W2-1 (√2+1)（√2-1）（√3+√2）（√3-√2）（√4+√3）（√4-√3） √2025-√2024 +…+ -]×(W2025+1) (√2025+√2024)（√2025-√2024） =(-1+√2-W2+√3-W3+W4-…-√2024+√2025)×(W2025+1) =(W2025-1)×(√2025+1) =(√2025)2-12 =2025-1 =2024. …10分 22、解：(1)由图易知，在△ABD中，∠ABD=90°，BD=8米，AD=17米，BC=1.6米， AB=√AD2-BD2=15米」 .∴.AC=AB+BC=16.6(米). 答：风筝离地面的垂直高度AC的长为16.6米. …4分 (2)风筝沿AC方向下降了9米后，AB=15-9=6米， 此时风筝线的长为√AB2+BD2=√62+82=10（米）， 17-10=7(米). 答：放风筝组员应该回收7米的风筝线 …8分 (3)将风筝线放出8米后，AD=17+8=25米， 此时水平距离BD的长为√252-152=20（米）， 20-8=12(米). 答：放风筝组员需要向后移动12米。 …12分 23、解：(1)根据题意，得点(4,6)到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， ∴.点A的“长距”为6.故答案为：6； …2分 (2)点B(5-3a,-3)是“角平分线点”， ∴|5-3a=-3, ∴.5-3a=3或5-3a=-3, 解得a=号或a- …7分 (3)点D是“角平分线点”，理由如下： …8分 点C(-1,3b-2)的长距为4，且点C在第二象限内， ∴.3b-2=4,解得b=2. .9-2b=5. ∴.点D的坐标为(5，-5). ∴.点D到x轴、y轴的距离都是5. ∴点D是“角平分线点”. …12分 八年级数学（北师大）参考答案第2页（共2页）