精品解析：陕西省西安高新唐南中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学第一次月考试题 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 我校高个子的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合概念逐一判断即可. 【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误； 对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确； 对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误. 故选：B 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，即可得答案. 【详解】不等式即为不等式, 则解集为或， 故选：D 5. 已知集合，，，则集合的真子集共有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 5个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】先求两个集合的交集，再求其真子集的个数. 【详解】因为，所以P的真子集有：，，，共3个. 故选：B. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件即可. 【详解】因为等价于，所以命题“，”为真命题等价于， 由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为的真子集，符合条件. 故选：B 7. 设集合，U为整数集，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由整数可分成被3整除、被3除余1和被3除余2，再结合补、并运算即可求解. 【详解】因为整数集，， 所以． 故选：A． 8. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断BC的正误，利用作差法结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 设集合，，如果，则可能的取值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ①当，即时，得，，无解. ②当，即， ③当，即，，无解， ④当，即，. 所以的取值范围为. 故选：AB 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 三、填空题（每题4分，共12分） 12. 若，，则M、N的大小关系是M______N 【答案】 【解析】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【详解】令，则，， ， 所以. 故答案为： 13. 已知集合，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 14. 已知，，，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据基本不等式列出与的关系，结合，得到关于的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题（共58分） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补的定义即可求解， （2）根据子集关系即可求解. 【小问1详解】 由于或，， 故，， ， 【小问2详解】 ∵，∴ 16. 如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】先设鱼池的一边长为，则另一边唱为，则鱼池与路的占地面积，再根据均值不等式可得总面积最小值. 【详解】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 17. 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集. （2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围. 【小问1详解】 由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 18. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【小问1详解】 由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． 【小问2详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． 【小问3详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式； （3）求证：且. 【答案】（1）； （2）证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （3）证明如下： 由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【小问1详解】 提炼出的不等式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学第一次月考试题 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 我校高个子的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有7个元素 D. 由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知集合，，，则集合的真子集共有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 5个 D. 7个 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A. B. C. D. 7. 设集合，U为整数集，（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设集合，，如果，则可能的取值是（ ） A. B. C. 0 D. 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 三、填空题（每题4分，共12分） 12. 若，，则M、N的大小关系是M______N 13. 已知集合，且，则________． 14. 已知，，，则的最小值为______． 四、解答题（共58分） 15. 设全集为，或，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 17. 已知函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式； （3）求证：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $