12 两圆方程相减一定是公共弦所在直线吗-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 中学生数理化 、两圆方程相减一定是公共弦所在直线吗 ■山西省平定县第一中学校 李素波 ■山西省平定县第二中学校 贾小利 一、提出问题 将两圆方程相减得，8.x十6y一29十r2= (人教A版《数学选择性必修第一册》第 0。由于该方程为二元一次方程，毋庸置疑， 98页练习第2题)已知圆C1:x’十y2十2x十 该方程必然表示一条直线，那么究竟是一条 3y+1=0,圆C2x2+y2+4x十3y+2=0, 怎样的直线呢？下面逐一讨论两圆在不同位 证明圆C1与圆C,相交，并求圆C1与圆C2 置关系下，该方程所表示的直线的含义。 的公共弦所在直线的方程。 1.两圆相交 把圆的一般式化为标准式，可得圆C,的 不妨设r=4,此时圆心距|CC2=5,半 圆心为(-1，-)，半径=之，圆C:的圆 3 径之和r1十r2=2十r=6,半径之差的绝对值 |r1一r2|=r-2|=2,满足|r1一r2< 心为(-2，-)半径厅=四 |C1C2|<r1十2，故两圆相交。 20 此时，不妨设两圆的交点为P,(x,y,) 因为圆心距 CC, (i=1,2),将其分别代人两圆方程得： √-1+2+(+】 =1,半径之和为 x+y=4, (x:-4)2+(y:-3)2=16。 r1十r2= 3十√7，半径之差的绝对值为 将两圆方程相减得8x,+6y:一13=0(i 2 =1,2)。 r1-r21=7-3 2 ,所以r1-r21<|C1C2 P1(x1,y1),P2(x2, y2)两点的坐标均满足 <r1十r2,即两圆相交。 方程8x+6y一13=0， 将两圆方程x”十y2十2x十3y十1=0与 此时二元一次方程8.x x十y十4红十y十2=0相减，可得1=一名，所 +6y-13=0代表了 一条直线，且经过 以两圆的公共弦所在直线的方程为x=一 2。 P1(x1,y1),P2(x2, 图1 在这里，可能有不少同学会产生困惑：为 y)两点，如图1所示，此时该方程表示两圆 什么当两圆相交时，两圆方程相减消去二次 公共弦所在直线的方程。 项所得方程表示公共弦所在直线的方程呢？ 2.两圆相切 当两圆不是相交关系时，两圆方程相诚得到 (1)两圆内切 的直线又代表什么含义？下面就让我们来探 不妨设r=7,此时圆心距|C1C,|=5,半 讨一下这个问题。 径之差的绝对值r1一r:=|r一2=5，满足 二、探究问题 |CC=|r1一r2|,故两圆内切 为方便同学们理解，我们可以从下面的 设两圆的切点为P(xo,yo),将其分别代 具体问题开始研究。 入两圆方程，得： 不妨设圆C1:x2十y2=4,圆C2:(x x8+y6=4, 4)十(y一3)=r2(r>0),这里易得圆C1的 (x-4)2+(yo-3)2=49。 圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C,的圆心为 将两圆方程相减得8x。十6y。十20=0。 C2(4,3),半径r2=r。 此时二元一次方程8x十6y+20=0表 29 中学生数理化 解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 示的直线经过切点P(xo,y。)。设两圆心 1x2+y2=4, C1(0,0)、C2(4,3)到直线8x+6y十20=0的 (x-4)2+(y-3)2=1。 距离分别为d1,d2,则： 将两圆方程相减得8x十6y一28=0。而圆 10+20 d1= =2=r1; 心C(0,0)到该直线的距离d=5 14 √82+6 >2=r1,圆 |32+18+201 d,= =7=r28 心C,(4,3)到该直线的距离d,= √82+6 >1=r,所 5 故直线8x十6y十20 以直线8.x十6y一28=0与两圆均相离。 =0分别与两圆相切，即 这里，我们来具体看一下直线8x十6y 直线8.x十6y+20=0为 28=0的演变过程。 两圆的公切线，此时两圆 x2+y2-4=0, 仅有一条公切线，且为外 (x-4)2+(y-3)2-1=0。 公切线（如图2所示）。 故x2+y2-4=(x-4)2+(y-3)2-1。 (2)两圆外切 设P(x,y)为直线8.x十6y-28=0上任 图2 不妨设r=3,此时 意一点，由直线与两圆均相离可知，x2十y 圆心距|C1C2|=5,半径之和r1十r2=2十r 4>0,且(.x-4)2+(y-3)2-1>0。 5,满足1C1C21=r1十r2,故两圆外切。 故两边开方得： 设两圆的切点为P(x。,yo),将其分别代 √x+y-4=√(x-4)+(y-3)2-1。 入两圆方程，得： 显然√x2+y-4=√TPC1-r,表 x8十y=4, 示从点P向圆C1引的切线长|PN|。 (x0-4)2+(y。-3)2=9。 同理可得√（x-4)十（y-3)一1= 将两圆方程相减得8.x。十6y。一20=0。 √个PC,一r,表示从点P向圆C。引的切 这说明切点P(xo,y)在直线8x十6y 线长|PM|。 20=0上。 此时两圆方程相减 设圆心C1(0,0)、C2(4,3)到直线8x十 得到的方程8x十6y一28 6y一20=0的距离分别为d1、d2,则： =0,所对应的直线是向 10-201 d1= =2=r1; √82+6 两圆所引切线长相等的 动点轨迹（如图4所示）。 32+18-20 d2= =3=r2 √8+6 (2)两圆内含 图4 故直线8.x十6y一20 不妨设r=8,此时 =0分别与两圆相切，即 圆心距|C1C,|=5,半径之差的绝对值r1 直线8x十6y一20=0为 r2=6,满足|CC2|<r1一r2|,故两圆内含。 两圆的一条公切线。此 x2+y2=4, 时直线8.x+6y-20=0 (x-4)2+(y-3)2=64。 代表两圆的内公切线（如 将两圆方程相减得8.x十6y十35=0。而圆 图3 图3所示)。 心C0,0)到该直线的距离d二乙>2=，圆 3.两圆相离 (1)两圆外离 心C4,3)到该直线的距离d,号>8=所 不妨设r=1,此时圆心距|C1C2|=5,半 以直线8.x十6y十35=0与两圆都相离。 径之和r1十r2=2十r=3,满足1C1C2>r1+ 类比两圆外离的情形，将两圆方程进行 r2,故两圆外离。 变形可得： 30 解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 中学生数理化 x2+y2-4=(x-4)2十(y-3)2-64。 D+E号-4F 。(*) 由直线与两圆都相离可知，对于直线8x+ 4 6y十35=0上任意一点P(x,y),均有x十y 不妨设P(x,y),则(*)式的含义可以 4=(.x-4)2十(y-3)2-64>0。两边开方得， 表示为PC2-r=|PC212-r。 √x+y-4=√(x-4)+(y-3)-64。 在数学中，如果一个圆的圆心为O,半径 上式的几何意义 为r,则称实数OP一r2为点P对圆的幂。 特别地，当|OP12一r2>0时，1OP12一r2表 仍为到两圆的切线长 相等的所有点的集合 示经过点P与圆O相切的切线段长的平方。 (如图5所示)。 从这个角度讲，根轴(D1一D,)x十 4.小结 (E:一E2)y十F,一F2=0是对两个圆的幂值 事实上，两圆的方 相等的点的轨迹。因此，根轴又称为等幂轴。 程相减所得的直线有一 再者，根轴(D1一D,)x十(E1一E2)y十 个专门的名字—根 图5 F1一F2=0的方向向量为W=(E1一E2,D, 一D1),两圆心所在直线C1C。的方向向量为 轴。以上我们讨论了直线与圆在不同的位置关 系下根轴的具体含义。 v=CC=(DD,EE),所以u·v 2一， 2 ①当两圆相交时，根轴为公共弦所在直 D,-D,)(E-E:2+D,-D)(E-E:2 线。②当两圆相切时，根轴表示过切点的公 2 2 切线。具体来讲，当外切时，为两圆的内公切 =0,即u⊥v。 线；当内切时，为两圆唯一的公切线（外公切 由此，易得根轴的两条基本性质： 线)。③当两圆相离时，根轴为到两圆的切线 ①根轴与两个圆心的连线垂直； 长相等的点的轨迹，且根轴与两圆都是相离 ②两圆外的根轴上任意一点到两圆的切 的关系。不同的是，当外离时，两圆位于根轴 线长相等。 的异侧；当内含时，两圆位于根轴的同侧。 三、小试牛刀 我们可以将以上各种情形统一起来看。 例1过点P(3,2)作圆C:(x-1)2+ 般地，设两圆的方程为： y=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线 圆C1:x2十y2十D1x十E1y十F1=0。① AB的方程为( )。 圆C2:x2十y2十D2x十E2y十F,=0。② A.2x+y-3=0 显然，圆C的圆心为C(2,-)半 B.2x-y-3=0 C.4x-2y-3=0 径，=√D+E-4 上，圆C的圆心为 D.4x+2y-3=0 2 解析：如图6所示， C(号，)*径D+E孤 A,B两点不仅在圆C 上，而且也在以点P为 由①一②得： 圆心，|PA|为半径的圆 (x2+y2+D1x十E1y十F1)-(x2+y 上，则直线AB即为两 +D2x十E2y十F2)=0。 圆公共弦所在的直线。 即x2+y2+D1x+E1y+F1=x2+y2十 在圆P中，半径 图6 D2x十E2y十F2。 |PA|=√PC'-CAP 变形得（女+2）+(+) =√8-一I=√7。因此圆P的方程为(x一3)十 D+EE-(女+B)'+(+) (y-1)2=7,即圆P:x2+y2-6x-2y十3=0。 而圆C:x2十y2一2x=0,将两圆的方程 31 中学生款理化解贺学态习翠探月 相诚可得，直线AB的方程为4.x十2y一3 0,故选D。 om>2,其中C(一1,2).C1,22）,两圆心所在 注：本题中，还有其他解法。由于∠PAC= 直线的斜率kcC,= m十2 4 由于m>2,则kcc,< ∠PBC=90°，故P,A,C,B四点共圆。直线AB也 一1，故kcG可取到一2，B选项正确。 可以视为以PC为直径的圆与圆C的公共弦所在 C选项：由根轴的性质知，根轴（必与两 直线，这里略去计算过程，同学们可自行完成。 圆心的连线C1C,垂直，C选项正确。 例2与圆x2+y2=4和圆(x一3)”十 D选项：由题意知|CC,1= (y一4)=9都相切的一条直线的方程 解析：圆x2十y2=4的圆心为O(0,0),半 1-+-√+ 2 径r1=2,圆(x一3)十(y一4)2=9的圆心为 m2-4 C(3,4),半径r2=3,所以C0|=5=r1十r2,故 两圆的半径之和1十r=1十√4 两圆外切。将两圆方程相诚，得到根轴3x十 1C1C212-(r1十r2)2 4y一10=0，即为两圆的内公切线。 注：根据题目要求， 41 写出其中一条公切线即 m+5-√m-4 可，而两圆外切，根据根 =√m'+10m十25-√m-4>0。 轴的意义，将两圆方程相 所以|CC,|>r1十r2,即两圆外离。 减所得直线方程即为其 如图8所示，由根轴 内公切线的方程，如图7 图7 的性质可知，当两圆外离 所示，这要比求两条外公 时，直线（与两圆都是相离 切线容易得多。 的关系，所以过直线（上任 例3（多选题）两圆方程C:x2十y十 意一点一定可作两圆的切 2x-4y+4=0,C2:x2+y2-2x+(m-2)y+3- 线，且切线长一定相等。D m=0(m>2)作差得到直线1的方程，则( 9 选项正确。 图8 A.直线1一定过点(-子) 故选BCD。 注：对于C选项，由根轴的性质①知，根 B.存在实数m>2,使两圆心所在直线 轴l必与两圆心的连线C1C2垂直。对于D 的斜率为一2 选项，由根轴的性质②知，两圆外的根轴上任 C.对任意实数m>2,两圆心所在直线 意一点到两圆的切线长相等。因为两圆外 与直线！垂直 离，此时根轴与两圆均相离，根轴上任意一点 D.过直线L上任意一点一定可作两圆的 都在两点的外部，所以过根轴1上任意一点 切线，且切线长相等 都可以作两圆的切线，并且切线长一定相等。 解析：A选项：由已知易得直线（的方程 四、结语 为4x一(m+2)y十m+1=0。 经过以上探讨，相信同学们对两圆方程 可变形为4x一2y十1+m(1-y)=0。 相减所得直线有了更深入的理解。著名的教 1 4.x-2y+1=0, 由《 0得工=’所以直线1恒 有家波利亚曾指出：“好问题同某种蘑菇一 1-y=0, y=1 样，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应 当在周围找找，很可能附近就有好几个。”希 过定点（仔，1。A选项错误。 望同学们在今后的学习过程中学会“采蘑 B选项：将两圆方程配方得，圆C:(x十1)十 菇”，主动思考，多探究，提升利用所学知识解 y=1.c-1+(22）-” 决问题的能力和数学素养。 4 (责任编辑徐利杰) 32