9 剖析隐圆中最值与范围问题-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

整薇学典腰聚破方清中学生表理化 剖析隐圆中最值与范围问题 ■河北省张家口市第一中学 张璐 隐圆问题是指在一些几何问题中，没有 1)2+y8,|PB12=(x。-1)2+y。 直接给出圆的相关信息，但通过分析题目条 |PA12+|PB|=(x。-1)2+y8+ 件，可以发现某些点的运动轨迹符合圆的定 (x。十1)2十y8=x8-2xo十1十y8十x6+2x0 义，从而将问题转化为与圆有关的问题来解 +1+y8=2.x8+2y8+2=2(x+y)+2。 决。在隐圆问题中，求最值是常见的题型，关 分析可知当OP取得最小值时，|PA 键在于找出隐圆的圆心和半径，然后结合几 十PB|2取得最小值。 何图形的性质来确定最值情况。下面借助隐 由圆C:(x十1)2+(y一2)2=1知圆心 圆的几种定义，剖析隐圆中的最值与范围问 C(-1,2),半径r=1。 题，希望对同学们的学习有所帮助。 易知|OP|mim=|OC|一r=√/1+4一1= 一、定点定长型 5-1,则dm=2×(5-1)2十2=14一 例1如果圆(x-2a)2+(y-a-3) 45。 =4上总存在两个点到原点的距离为1，那么 点评：本题先求|PA|2十|PB|2的表达 实数a的取值范围是 式，再分析取最小值的情况，然后利用定，点到 解析：由题意知，到原点距离为1的点的 圆上一动，点的距离关系求出最值。 轨迹是以原点为圆心的单位圆。 三、动点P对两定点A,B的张角为90 因为圆(x-2a)2十(y-a-3)2=4上总 存在两个点到原点的距离为1，所以此单位 (kpA·kPB=一1或PA·PB=0)型 圆与已知圆相交。 例3已知圆C:(x-3)2十(y一4)= 易知圆(x一2a)2十(y一a-3)2=4的圆 1,点A(一m,0),点B(m,0),m>0。若圆C 心坐标为(2a,a十3)，半径为2。 上存在点P,使得∠APB=90°，则m的取值 所以2-1<√(0-2a)+(0-a-3)' 范围是一。 解析：由∠APB=90°，可得点P在以 <2+1,解得-号<a<0。 AB为直径的圆上，其方程为x2十y2=m2,且 ,点评：利用圆的定义（到定，点的距离等于 与圆C:(x一3)2+(y-4)2=1有公共点。 定长的点的轨迹)确定隐圆，本题利用到原，点 因为两圆的圆心距为5，所以|m一1|≤ 的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单 5≤m+1,解得4≤m≤6。 位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解。 例4已知M是圆O:x2+y2=1上一 二、到两定点距离的平方和型 个动点，且直线l1:mx一ny一3m十n=0与 例2已知圆C:(x+1)+(y-2)'= 直线l2:nx+my-3m-n=0(m,n∈R, 1,点A(-1,0),B(1,0)。设P是圆C上的 m十n2≠0)相交于点P,则|PM|的取值范 动点，令d=PA2十|PB12,则d的最小值 围是()。 为 A.[√3-1,2√3+1] 解析：设P(x。,yo),则PA2=(x。+ B.√2-1,3√2+1] 21 中学生款理化餐整盘学经典翠破方清 C.[2-1,2√2+1] 3),B产=(x-6,y+3)。 D.[2-1,35+1] 代入AP·BP+2入=0，得(x-2)(x 解析：直线11的方程可化为m(x一3) 6)十(y-3)(y+3)+2入=0。 整理得(x-4)2十y2=13一2λ。 n(y-1)=0,由 x-3=0 y-1=0 可得3， y=1。 所以13-2以>0，即A<号 所以直线l1过定点A(3,1)。 由题意知，圆与直线3x一4y十3=0相 直线L2的方程可化为n(x一1)十m(y x-1=0, x=1, 交，圆心到直线的距离d=2-0+3=3。 5 -3)=0,由 ”可得 y-3=0, y=3。 所以3<√13一2入，解得入<2。 所以直线l2过定点B(1,3)。 实数入的取值范围为（一∞，2）。 对于直线l1、l2,因为mn一nm=0,且m 点评：A,B是两个定点，动点P满足 +n2≠0，所以l1⊥l2,即PA⊥PB。 PA·PB=入（入为常数），先利用向量法求出 线段AB的中点为C(2,2),设点P(x, 隐圆的方程，再利用直线与圆的位置关系及 y)。 点到直线的距离公式，求出参数的取值范围。 由直角三角形的几何性质可得|PC1 五、到两个定点距离之比为定值型 21AB=含×V0-0+(31)=E。 例6已知圆C:(x-1)+(y-1)= 1,点P是圆C上的动点，B(2,0),O是坐标 故|PC|=√(x-2)+(y-2)=√E, 原点，则√2|PO|十PB|的最小值为 整理可得(x一2)2十(y一2)2=2。 解析：设B(m,n),P(x,y),使得|PB 因此点P的轨迹为圆C:(x一2)2十 =√21PB|,则(x一2)2十y2=2[(x-m)2+ (y-2)2=2。 (y-n)]。 因为1O℃|=√(2-0)2+(2-0)严= 整理得x2一4(m一1)x十y2-4ny+ 2√2>√2十1，所以圆C与圆O外离。 2(m2十n2-2)=0。 因此|PM|mx=|OC|+√2+1=3√2+ 即[x-2(m-1)]+(y-2n)2=2m2+ 1,|PM|mm=|OC|-√2-1=√2-1。 2n2-8m+8=2(m-2)2+2n2。 |PM的取值范围是[√2一1,3√2+1]， 分析可知2(m一1)=1,2n=1,从而 故选B。 B(受2） 点评：本题中两条直线都有参数，每一条 验证可知直线BB'与圆C相交。 直线都可以通过“直线系”得到直线过定点， 从而√2|PO|+|PB|=√2(|PO|十 并且两条“动态”直线垂直。本题中两条直线 垂直，连接两个定点构成线段，分析可知两条 1Pg)≥E1OB1-E×√层+ 直线的交点必在该线段为直径的圆上，这是 解题的关键。 四、A,B是两个定点，动点P满足PA· 所以√2|PO川十|PB|的最小值为5。 P方=入（入为常数）型 点评：本题考查点与圆的位置关系。设 例5已知点A(2,3),点B(6,-3), B'(m,n),使得|PB=√2|PB'|,利用两点 点P在直线3.x一4y十3=0上，若满足等式 间的距离公式及点P满足的条件可求得 A户·B元十2入=0的点P有两个，则实数入 的取值范围是 B(侵，2），得到直线BB'与国C相交，则 解析：设P(x,y),则A户=(x-2,y √2|PO|+IPB|=√2(|PO|+|PB'I)≥ 22 整薇学典题聚破方清中学生表理化 √2|OB'|,从而可求得其最小值。 解析：设M(x,y),因为MA|2+|MO 例7在平面直角坐标系xOy中，点 =10,所以x2+(y-2)2+x2十y2=10,即 A(0,3),直线l:y=2x一4。设圆C的半径 x2+(y-1)2=4。 为1，圆心在直线l上。若圆C上存在点M, 因为圆C上存在点M,满足「MA2+ 使MA|=2|MO,则圆心C的横坐标a的 |MO|2=10,所以两个圆有公共点，即2一 取值范围为( )。 1≤√a十(a-3)≤2十1，解得0≤a≤3。 3.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与 欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数 c[ .o. 学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研 究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲 解析：圆心C的横坐标为a,则圆心C的 线论》一书中。阿波罗尼斯圆是他的研究成 坐标为(a,2a一4)。 果之一，指的是：已知动点M与两定点A,B 则圆C的方程(x一a)2十(y一2a十4) 的距离之比为入（入>0，入≠1），那么点M的轨 =1。 迹就是阿波罗尼斯圆。如动点M与两定点 设M(x,y),由|MA|=2|MO|,可得 √x+(y-3)=2√x+y,整理得x'十 A(号，0，B(5,0)的距离之比为时的阿波 (y+1)2=4。 罗尼斯圆为x2十y=9。下面我们来研究与 因为圆(x一a)2+(y一2a十4)2=1与圆 此相关的一个问题：已知圆O:x2十y=4上 x2+(y十1)2=4有公共点，所以2一1≤ 的动点M和定点A(一1,0)，B(1,1),则 √(0-a)十(-1-2a+4)72+1,即1≤ 2MA|+|MB|的最小值为( )。 5a-12a十9≤9，解得0≤a<号。故选D。 A.2+0 B.√2I C.√26 D.√29 点评：先求得圆C的方程，再利用MA 解析：如图1， =2|MO|求得，点M满足的圆的方程，进而利 点M在圆O:x2+ 用两个圆有公共点列出关于的不等式，解 y2=4上，取点 得a的取值范围即可。 N(一4,0)，连接 变式训练： MIO,MN,有ON 1.直线l1:kx一y十2=0与直线l2:x十 =21OM=4。当 ky一2=0交于点P,当k变化时，点P到直 点O,M,N不共线 图1 线x一y一4=0的距离的最大值是 OM JONI 解析：直线l1过定点A(0,2),直线L2过 时，OAT OM 定点B(2,0),且直线l1与直线l2垂直。 =2。又∠AOM=∠MON,故△AOMC 所以点P在以AB为直径的圆上，圆心 C(1,1),半径r=√2，其方程为(x一1)2十 △MN,则x--2 (y-1)2=2。 当点O,M,N共线时，有MN 7MA=2。 因为圆心C到直线x一y一4=0的距离 则|MN|=2|MA|。 d=4=22,所以点p到直线x一y-4=0 因此2|MA|+|MB|=|MN|+|MB|≥ √2 |BN|=√(-4-1)+1平=√26，当且仅当点 的距离的最大值为2√2十√2=3√2。 M是线段BN与圆O的交点时取等号，所以 2.圆C:(x-a)2十(y-a十2)2=1，点 A(0,2),在圆C上存在点M,满足|MA|2+ 2|MA+|MB|的最小值为√26。选C。 |MO2=10,则a的取值范围是。 (责任编辑徐利杰) 23