8 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

整薇学奥题夹酸方清中学生款理化 圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 ■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其 在直线与圆的位置关系问题中，圆上的 直线1的距离d<r-2=2,即|2k+2k 2, 点到直线的距离个数问题值得同学们关注。 √1十k? 下面以2025年高考试题为例进行说明。 引例：(2025年新高考I卷第7题)若圆 解得一< 3 x2+(y+2)=r(r>0)上到直线y=√3x十 ,点评：本题的参数是直线的斜率，而直线 2的距离为1的点有且仅有2个，那么r的取 (经过定点（一2,0），要使圆上有4个点到直 值范围固是()。 线1的距离为2，于是利用数形结合，把问题 A.(0,1) B.(1,3) 转化为圆心C到直线L的距离小于2。 C.(3,十∞) D.(0,+∞) 变式2：已知圆C:(x一2)十(y一1)2= 解析：由题设知该圆的圆心为(0，一2)， 36和不过第三象限的直线l:4x十3y一a= 半径为r,直线y=√x十2的一般式为 0,若圆C上恰有3个点到直线l的距离为 3,则实数a=( )。 √3x一y十2=0，圆心(0，一2)到该直线的距 A.2B.4C.26 D.41 离d= |0+2+2 =2 /(5)2+(-1) 解析：易知圆C:(x一2)2十(y一1)2=36 由图1可知要使圆 的圆心为C(2,1),半径r=6。 上的点到直线的距离为1 因为圆C上恰有3个点到直线！的距离 的点有且仅有2个，则必 为3，所以圆心C(2,1)到直线（的距离d= 须满足r一1<2<r十1， 4×2+3×1-a =3。 解得1<r<3,故选B。 √4+3 点评：本题主要考查 解得a=-4或a=26。 直线与圆的位置关系和 因为直线l:4x十3y一a=0不过第三象 点到直线的距离公式的 图1 限，所以号≥0，解得a≥0 应用，属于中档题。求解的关键是利用数形 因此a=26,选C。 结合，根据图形的动态变化列出关于参数的 ,点评：由直线和圆的位置关系知，到直线 不等式，进而求得参数的取值范围。 (的距离为3的两条平行线中一条与圆相交， 下面我们来看引例的几个变式。 一条与圆相切，从而得到圆心到直线之间的 变式1：已知圆C:x2一4x十y2-12=0 距离，进而可求出a的值，再由直线不过第三 上有且仅有4个点到直线l:kx一y+2k=0 象限求出a的取值范围，即可得解。 的距离为2，则实数k的取值范围是一。 变式3：已知圆C:(x+1)2+y2=32,直 解析：圆C的标准方 线1与第一、三象限的角平分线垂直，且圆C 程为(x一2)2十y2=16,它 的圆心为(2,0)，半径为4， 上恰有3个点到直线！的距离为2√2，则直 如图2所示。 线1的方程为()。 因为圆C上有且仅 A.y=-x-5 有4个点到直线！的距 B.y=-x十3 图2 离为2，所以圆心C到 C.y=一x-5或y=-x+3 D.不能确定 19 中学生表理化然氨学品聚破方待 解析：因为直线！与第一、三象限的角平分 于1，故选项C正确。 线垂直，所以设直线1的方程为y=一x十b。 易知圆C:(x+1)2+y2=32的圆心为 C(-1,0),半径r=42。 因为圆C上恰有3个点到直线1的距离 为2√2，所以圆心C(一1,0)到直线l:y= 一x十b的距离为2√2。 图4 图5 因此d= 1+b=22。 故选CD。 √2 点评：先求出圆心O到直线l的距离d, 解得b=3或b=一5。 再根据选项中参数b的取值范围求得d的取 所以直线1的方程为y=一x一5或y= 值范围，结合图形，即可一一判断。 -x十3。选C。 巩固练习： 点评：本题利用两条直线垂直的条件及 1.已知圆x2十y2-2x一2y一7=0，直线 点到直线的距离公式即可求解，本题与变式 l:y=x十m,设圆上恰有2个点到直线l的 2的解题思路相同。 距离等于1，则m的取值范围是()。 变式4：（多选）已知圆O:x2十y2=4,直 A.m<-2√2或m>2√2 线l:y=x十b,下列说法正确的是()。 B.-4√2<m<√2 A.当b<-2√2或b>2√2时，圆O上没 C.√2<m<22或-22<m<-√2 有点到直线l的距离等于1 B.当b=士1时，圆O上恰有3个点到 D.2√2<m<4√2或-4√2<m<-2√2 直线l的距离等于1 2.已知圆O:x2十y2=1上恰有2个点 C.当b=士√2时，圆O上恰有3个点到 到直线1：y=kx十1的距离为2，则直线1的 直线l的距离等于1 倾斜角的取值范围为( )。 D.当b=士1时，圆O上恰有4个点到 直线l的距离等于1 A.[0,)u(g,) 解析：由题设条件知，圆的半径为2，圆 B0,)U() 心0到直线L:x一y十b=0的距离d= √2 c(g,u(,） 对于选项A,当b<一2√2或b>2√2时， 1b|>2√2，则d>2。 D.(g,)u(x) 当b=3√2时，由图3 y=x+万 3.已知圆C1:x2-2ax+y2=0(a>0), 知，圆O上有1个点到直 直线l:x十√3y=0,圆C1上恰有3个点到直 线（的距离等于1，故选项 线1的距离等于1，则圆C1与圆C2:(x一1) A错误。 十(y一√2)2=1的位置关系是( )。 对于选项B,D,当b= A.内切 B.相交 土1时，d= 2 <1。由图4 C.外切 D.相离 图3 4.已知直线l:y=x十b,圆O:x2十y2= 知，圆O上恰有4个点到直线l的距离等于1， 4,圆O上恰有4个点到直线（的距离为1， 故选项B错误，选项D正确。 则b的取值范围为一。 对于选项C,当b=±√2时，d=1。由图 参考答案：1.D2.B3.B4.(-√2， 5知，圆O上恰有3个点到直线（的距离等 √2) (责任编辑徐利杰) 20