4 聚焦圆与圆的位置关系问题-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

中学生数理化高数学新202年10月 知识篇新高考名师护航 聚焦圆与圆的位置天系问题 ■上海戏剧学院附属舞蹈学校 韩耀芳 圆与圆的位置关系是解析几何内容的主 易知圆x十y2=1的圆心坐标为(0,0)， 要考点之一，主要涉及三类问题，下面举例说 半径r1=1。 明，供大家学习参考。 根据两点间距离公式，可得两个圆的圆心 一、圆与圆位置关系的判断与应用 距d=√(3-0)+(4-0)7=√9+16=5。 例1已知圆x2+y2-2x-2y十1=0 因为两个圆恰有一个公共点，所以两个 和圆x2+y2+4x+6y十9=0，则两个圆的位 圆内切或外切。 置关系是( )。 ①当两个圆外切时，d=r1十r2,可得 A.相切 B外离 5=1+√24+2m,解得m=-4。 C.内含 D.相交 ②当两个圆内切时，d=|r2一r1,可得 分析：将两个圆的方程化为标准形式，求 5=|√/24+2m-11。 出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大 小关系，判断圆与圆的位置关系即可。 当√24十2m一1=5时，解得m=6。 解：圆x2+y2-2x-2y十1=0，即(x 当1一√24+2m=5时，显然不成立。 1)2+(y一1)2=1，圆心为(1,1)，半径为1。 故m的值为一4或6。 圆x2+y2+4x+6y+9=0,即(x+2) ,点评：已知两个圆的位置关系求参数的 十(y十3)=4，圆心为（一2，一3），半径为2。 值或取值范围，只需根据位置关系，用参数将 圆心距为√(1十2)十(1+3)产=5。 两个圆的圆心距与两个圆半径的和差大小关 因为5>1十2，所以两个圆外离，选B。 系表示出来，然后解出参数的值或取值范围。 点评：圆与圆位置关系的判断，一般采用几 当两个圆相切时，需注意有内切与外切两种 何法，即用两个圆的圆心距与两个圆半径的和 情形。 差比较大小。设圆O1,O2的半径分别是R,r 二、两个圆的公共弦问题 (不妨设R>r),且圆心距为d,则：(1)R一r 例3(1)已知圆C1:x2十y2+2x十 dR十r曰两个圆相交；(2)d=R十r台两个圆 3y十1=0和圆C2:x2+y2+4x十3y+2=0, 外切；(3)d>R十r→两个圆外离；(4)d=R一 则两个圆公共弦所在直线的方程为 r台两个圆内切；(5)0≤dR一r台两个圆内含 (2)设P为直线l:2x+y+9=0上的任 (当d=0时，两个圆为同心圆)。 一点，过点P作圆x2十y=9的两条切线 例2若圆x2+y2=1与圆x2十y2 PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB恒过 6.x-8y一2m十1=0恰有一个公共点，则m 定点。 的值为 分析：(1)将圆C1:x2十y2+2x+3y+1 分析：根据两个圆的方程，分别得到圆心 =0和圆C2:x2十y2十4x十3y十2=0作差， 坐标和半径。两个圆相切，需讨论内切和外 即可得两个圆公共弦所在直线的方程。 切两种情况，才可得出正确结果。 (2)设点P的坐标，由切线的性质得到点A, 解：圆x2十y2一6x-8y-2m十1=0，该 B在以线段OP为直径的圆上，写出该圆的 圆的圆心坐标为(3,4)，半径r2=√24+2m 方程，由两个圆公共弦的求法得到直线AB (m>-12)。 的方程，再由直线方程得到定点的坐标。 10 学商意护芦中学生款理化 解：(1)圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0 r2=3。 和圆C2:x2+y2十4x+3y+2=0。 则两个圆公共弦的方程为x2十y2一 以上两式作差，得直线方程为2x十1= 2x+4y-4-(x2+y2+4x-2y-4)=0,即 0,经检验，直线方程2x十1=0满足题意。 x一y=0。 (2)因为P为直线l:2x十y+9=0上的 则圆心C1(1,一2)到直线x一y=0的距 任一点，所以设P(m,-2m-9)。 离d=11-（-2)132 因为圆x2十y2=9的两条切线PA, w1+(-1)2 20 PB,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥ 所以公共弦|AB|=2√r一d= PB。 则点A,B在以线段OP为直径的圆C 2×√3-(2 =3√2 2 上，即线段AB是圆O和圆C的公共弦。 ,点评：求两个圆公共弦长度的方法：(1)代 则图心C的坐标是（份，-"），且 数法，将两个圆的方程联立，解出交，点坐标，利 半径的平方2=m十(2m十9) 用两点间的距离公式求出弦长；(2)几何法，求 出公共弦所在直线的方程，利用半径r,圆心到 所以圆C的方程是(x-婴) 直线的距离d及弦长l具有的关系r2=d十 (+2m,+9)'-m2+(2m+9 () 求解，这也是求弦长的常用方法。 2 4 三、两个圆的公切线问题 又x2+y2=9,两式相减，得mx 例5写出与圆x2十y2=1和圆(x (2m+9)y-9=0。 4)十(y十3)2=16都相切的一条切线方程 故公共弦AB所在的直线方程是mx (2m十9)y一9=0，整理得m(x-2y)一 分析：如图1，根据圆与圆的位置关系， (9y+9)=0。 先确定出切线条数，其中，可直接根据位置 由/-2y=0, /x=-2, 解得 关系求得，根据？与圆心连线的位置关系及 9y+9=0, y=-1。 1?与⊙O相切可求l,的方程，然后根据直线 所以直线AB恒过定点（一2，一1）。 关于直线对称的求法解出，的方程。 点评：若圆C1:x2+y十D1x+E1y十 F1=0与圆C2:x2十y2十D2x十E2y十F2=0 相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为 (D1-D2)x十(E1-E2)y+F1-F,=0。 例4已知圆C1:x2+y2一2x+4y一 4=0与圆C2:x2+y2+4x一2y一4=0的交 点为A,B,则|AB|= 分析：首先将圆的一般方程化为标准方 图1 程，即可得到圆心坐标，再将两个圆的方程作 解：圆x2十y2=1的圆心为O(0,0),半 差求出公共弦方程，然后求出圆心到公共弦 径为1。圆(x一4)+(y十3)2=16的圆心为 的距离，最后由勾股定理可得|AB。 C(4,一3)，半径为4。 解：圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0,即 因为圆心距OC引=5，所以两个圆外切。 (x一1)2+(y十2)=9，则圆心C1(1,-2), 如图1所示，有三条切线1，l,,l,易得切线 半径r1=3。 l1的方程为y=1。 圆C2:x2+y2十4x-2y一4=0，即(x+ 2)十(y一1)2=9，则圆心C2(-2,1),半径 因为1⊥0C,且ke=-年，所以k,- 11 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高数学202年10月 3。 设l3:y= 3x+b,即4x-3y+3b=0, 分析：先判断圆C1与圆C2的位置关系， 即可得公切线情况，再利用几何关系求出公 则0(0,0)到直线，的距离d=13b-1,解 切线的长。 5 解：由题意得C1(0,0),C2(4,0),r1=2, 得6号（舍去）或-号 r2=1,|C1C2|=4>r1十r2,故两个圆相离， 所以直线l3:4x一3y一5=0。 有四条公切线。 又直线l1和直线l2关于OC:y=一 3 如图2，设四条公切线分别为直线AB, 直线AB1,直线MN,直线M1N1,且MN交 3 4 M1N1于点Q。 对称，联立 4x, 解得 3'且 y=1, =1, (冬)在直线1：上。 在直线l1上任取一点(0,1)，设其关于 OC的对称点为(x。,y)。 yo+1 3x0 2 则 ×(-)=-1 图2 由对称性可知|AB|=|A1B1|,|MN|= 24 x0=一 25 |M1N1I。连接AC1,过C2作PC2⊥AC1,垂 解得 7 足为P,连接BC,,则四边形PABC,为矩形。 yo=- 25 所以|AB|=|PC,|=√/TCC,-CPP 7 261 =√4-(2-1)7=√15。 则k,= 24,4 24,所以直线 7 十3 连接MC1,NC2,易知△CMQ∽ 25 MCMQICQ y-1=- 气x+),即24x+7+25=0. △CNQ,所以NC,=NQ=C,Q=2。 综上，切线方程为y=1或24x十7y+25 又cQ1+1CQ=4,故C,Q=号 =0或4x一3y-5=0,写一个方程即可。 点评：求两个圆公切线方程的方法如下。 所以在△C,NQ中，NQ=√()-】 (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线 方程为y=kx十b,由公切线的意义（两个圆 39 公共的切线)可知，两个圆心到直线y=kx十 则|MN=3|NQ=√7。 b的距离分别等于两个圆的半径，这样得到 故两个圆的一条公切线长为√5或7。 关于k和b的方程组，解这个方程组得到k, 故答案为√5或√7（填一个即可）。 b的值，即可写出公切线的方程。 点评：两个圆公切线长的求法：(1)连接 (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运 两个圆的圆心与两个切点，求外公切线长一 用数形结合的方法，观察并写出公切线的 般构造直角梯形，求内公切线长一般构造直 方程。 角三角形；(2)若为外公切线，则过一个圆心 例6圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x 作直角梯形的高，将梯形分成矩形和直角三 4)2十y2=1的一条公切线长度为（填人 角形，转化为解直角三角形的问题。 一个答案即可)。 (责任编辑徐利杰) 12