21 常见函数值域或最值的经典求法-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学经费雅方清中学生最理化 常见函数值域或最值的经典求法 ■宋吝 求函数的值域或最值，关键是依据解析 的二次函数，结合配方法求值域。∫(x)= 式的结构特征，选择合理的思维方法，常见的 (x十1)(x+2)(x十3)(x+4)=(x十1)(x+ 求法有观察法、单调性法、配方法、基本不等 4)(x+2)(x+3)=(x2+5x十4)(x2+5x+ 式法、分离常数法、换元法和判别式法等。下 6)=(x2+5x)2+10(x2+5x)+24=(x2+ 面归纳提炼之。 5.x+5)2-1。 方法一：观察法 Vx∈R,因为x2+5x+5=(x+8)/ 例1函数f(x)=√一x十2x十3的值 域是()。 号≥-号，所以(x+5x+5)≥0，所以 A.[0,2] B.[0,4] (x2十5x十5)2-1≥-1，所以函数f(x) C.(-∞，2] D.(-∞，4] (x十1)(x十2)(x十3)(x十4)的值域是[-1， 解析：因为一x2十2x十3=一(x一1)2十 十∞)0 4≤4，所以0≤√一x”十2x十3≤2，即函数 体验：形如y=ax2十bx十c(a≠0)或 f(x)的值域为[0,2]。应选A。 y=a[f(x)]+bf(x)+c(a≠0)的函数均 体验：观察法求值域时，先观察函数的解 可用配方法求值域。 析式，利用函数的有界性，再结合不等式求出 方法四：基本不等式法 函数的值域。 例4 已知函数f(x)=x一1 x”+x (x>1), 方法二：单调性法 例2函数f(x)=一x十2√I一x的值 则函数∫(x)的值域是 域是。 解析：函数f(x)=工一1 x2十x 解析：（方法1）由题意得函数f(x)的定 x-1 义域为（一∞，1]。因为函数f(x)=一x十 (x-1)2+3(x-1)+2 2√1一x在（一∞，1]上为减函数，所以f(x) 1 ≥f(1)=-1,所以函数f(x)=一x十 2 x-1)+(x=D+3 2√I一x的值域是[-1，十∞)。 因为x>1,所以x一1>0，所以(x一1) (方法2)设√1一x=t,则x=1一t2,t≥ 2 2 0,所以原函数等价于函数y=t2一1十2t= x2D+3≥2√(x-D·xD+3= (t十1)2一2(t≥0)。因为函数y=(t十1)2 2在[0，十∞)上单调递增，当t=0时，可得 2万+3当且仅当x-1=名，即x=1十 y=一1，所以函数f(x)=一x十2√1一x的 √2时取等号，所以函数f(x)= 值域为[一1，十∞)。 1 1 =3-2√2。 体验：形如y=ax十b一√cx+d(ac x=1D)士21D+32v②+3 0)的函数可用函数的单调性求值域。 方法三：配方法 因为x>1,所以f(x)=工已>0，所以函 x?+x 例3定义在R上的函数f(x)=(x十 数f(x)的值域为(0,3-2√2]。 1)(x十2)(x十3)(x十4)的值域是。 体验：形如y= e.x十f 解析：构建关于整体变量(x2+5x十5) ax'+bx+c 或y= 39 中学生数理化高数学2025年10月 经典题突破方法 ax+bx十c的函数，先将函数的解析式配凑 值为a,最小值为b,则a十b=()。 ex+f A.4B.6C.7D.8 成y=ax十的形式，再利用基本不等式即 解析：此函数的定义域为R,可用判别式 法求函数的最大值和最小值。设y= 可求出函数的值域。 方法五：分离常数法 3x2十x+3,即yx2+y=3x2+x十3，则方程 x2十1 5西数fx)-x∈[0,2的 (y-3)x2一x十y一3=0有实数根。当x=0 值域是 时，可得y=3,满足有实数根；当y≠3时，由 解析：函数f(x)=2x十3=2x十4-1 x∈R,可得(y一3)x2-x十y一3=0有实数 x+2 x十2 根，所以△=1-4(y-3)≥0，解得2≤y≤ 2 1 x十2。 因为x∈[0,2]，所以十2 ，所以2≤y≤名且y≠8。 7 .7 [片】所以2-2∈[登，]，所以所 1 综上可得，≤y≤名，即函数f(x)的 求函数的值域为[受] 最大值是子，最小值是号，其和为6。应选B。 体验：求分式类函数的值域，当分子和分 母同次时，利用部分分式法化为常数加真分 体验：利用判别式法求函数的值域，常用 式的形式，可探究真分式的值域。 于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法 方法六：换元法 要特别注意自变量的取值范围。 例6函数f(x)=2x十√-2x的值域 感悟牙 为()。 函数f(x)=x2一1的定义域为[0,4]， A.(-1,1) B.[-1,1] 则函数y=f(x)十[f(x)]的值域 c(,) (- 为( )。 解析：研究变量之间的二次关系，利用 [-992 A. [-24 换元法化归为二次函数在区间上的最值问 题求解。令√1-2x=t≥0，则2x=1一t c. D[4-2] (t≥0)，所以原函数等价于函数y=一t2十 提示：已知f(x)=x2一1的定义域为 t+1(t≥0)。 [0,4],在函数y=f(x2)+[f(x)]中，由 因为函数y=一t2十t十1(t≥0)的对称 10≤x2≤4， 解得0≤x≤2，即函数y=∫(x2) 轴为t= 1 2≥0，且图像的开口向下，所以y 0≤x≤4， 十[f(x)]的定义域为[0,2]。令t=x2,则 -y -()广++1，所以函数 t∈[0,4]，所以y=f(x2)+[f(x)]=x 1十(x2一1)2=2x1一2x2,所以此函数等价于 f(x)=2x十V-2的值域为（，]。 应选D。 函数g)=24-24=2(-2） - 体验：形如y=ax十b士√cx+d(a,b, [0,4]。当1=2时，g)=-2;当1=4 c,d均为常数，a≠0，c≠0)的函数值域，可利 时，g(t)mx=24。所以y=f(x2)十[f(x)] 用“√cx十d=t”换元求解。 方法七：判别式法 的值域为[-号，24]。应选B 作者单位：江苏省通州高级中学 例7 若函数f(x)=3十x十3 x2+1 的最大 (责任编辑郭正华) 40