精品解析：辽宁省沈阳市第七中学2025-2026学年九年级上学期阶段作业调研数学试卷

2025-2026学年度上学期九年级第一次阶段性检测 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间110分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由比例的内项积等于外项积得到，代入，即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2. 判断一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 不确定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 矩形都相似 B. 菱形都相似 C. 平行四边形都相似 D. 正方形都相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，利用相似多边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、所有的矩形的对应角相等但对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； B、所有的菱形的对应边成比例但对应角不一定相等，故不相似，不符合题意； C、所有的平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不相似，不符合题意； D、所有的正方形的对应角相等，对应边成比例，相似，符合题意； 故选：D． 4. 下列四条线段中，成比例线段的是（ ） A. B. C. ，，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据成比例线段的概念，对选项一一分析，排除错误答案．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 【详解】解：A、∵， ∴四条线段不成比例； B、∵， ∴四条线段成比例； C、∵， ∴四条线段不成比例； D、∵， ∴四条线段不成比例； 故选：B． 5. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两组对边是否分别平行 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 6. 如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 7. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当时，，即该函数图象过点，故选项A正确，不符合题意； 该函数图象在第二、四象限，故选项B正确，不符合题意； 当时，，故选项C错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 9. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当时，求出对应v的值即可． 【详解】解：最快移动速度是载重后总质量的反比例函数， ∴设v与M的函数关系式为（k为常数，且）， 将，代入得：， ， ∴v与M的函数关系式为， 时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故选：D． 10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵DH垂直平分AC， ∴DA=DC，AH=HC=2， ∴∠DAC=∠DCH， ∵CD∥AB， ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠DAN=∠BAC， ∵∠DHA=∠B=90°， ∴△DAH∽△CAB， ∴， ∴， ∴y=， ∵AB<AC， ∴x<4， ∴图象是D． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题 11. 如图，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 12. 一次聚会上，每两位参会者都互赠一份礼物，经统计所有人一共送出72份礼物，求共有多少人参加聚会．设共有x个人参加聚会，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程， 根据题意可知每人送出份礼物，再用人数乘以每人送出礼物数等于总的礼物数列出方程即可. 【详解】解：共有x个人参加聚会，每人送出份礼物，得 . 故答案为：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【详解】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 某小剧场共有96个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少4，则每行的座位数是_________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每行的座位数是x个，则共有行，根据行数×每行座位数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设每行的座位数是x个，则共有行， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 即每行的座位数是8个， 故答案为：8． 15. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点H，交边于点F，，则的值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据题意及矩形的性质证明，得到比例式，设，表示出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， 故答案为：7． 16. 如图，小颖正在使用手电筒进行物理光学实验，墙和手电筒位于平面镜的两侧，手电筒的灯泡位于点D处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，灯泡到墙的水平距离，灯泡到平面镜的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D，E在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 17. 如图，在中，，以C为直角顶点作，其中点D在边上，点B，E分别在的两侧，且，取中点F，连接，当时，的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、中位线定理等内容，由可知，过B作于点G，则易证，得，取的中点M，连接，则易得，且，进而通过手拉手证，即可得解． 【详解】解：如图，过B作于点G， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取中点M，连接， ∵F是中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵M是中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，再提公因式，得到两式的积为0，每一个因式为0，进行解方程即可． （2）先把方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴，． 19. 某超市经销一种优质蔬菜，进货价为30元/千克． （1）当售价为40元/千克时，经过连续两次降价后售价为25.6元/千克，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率． （2）经市场调查发现，当蔬菜售价为38元/千克时，每天可售出400千克，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）4元或8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为m，根据经过两次降价后的价格=原价每次下降的百分率，列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值； （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克，根据现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每千克应涨价4元或8元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出使的x取值范围； （3）是x正半轴上的一个动点，作轴，交反比例函数图象于点N，当时，求出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键． （1）把点代入得，求得点，把点代入即可得到结论； （2）把代入得到，根据函数的图象即可得到结论； （3）根据，轴，交反比例函数图象于点N，得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵把点代入得， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴的x取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵，轴，交反比例函数图象于点N， ∴，， 在中，令，则， ∴， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 21. 【问题提出】 如图1，某社团计划开垦一个面积为的封闭矩形地块种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用木栅栏围住，若木栅栏总长为，能否围出符合要求的矩形基地？如果能，请求出此时和的长度；如果不能，请说明理由． 【问题分析】 小明同学利用所学方程知识来解决这个问题：设为，则的长为，依题意得… 小亮同学则尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标，如图2；由木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象在第一象限内的交点坐标． 【问题解决】 （1）请把小明同学的解答过程补充完整； （2）请根据小亮同学的分析思路，在图2中画出一次函数的图象，并借助图象判断是否能围出符合要求的矩形基地？如果能，请直接比较结果与（1）中的结论是否相同；如果不能，请说明理由． 【答案】 （1）由题意得，， ∴， 解得或， ∴，或，， ∴能围出符合要求的矩形地块实践基地，此时，或，； （2）能，能围出符合要求的矩形基地，并且与（1）中结果相同 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能根据题意画图函数图象是关键． （1）由题意得，，进而求解即可； （2）画出直线的图象，依据图象是否有交点判断即可． 【详解】解：（1）略 （2）图象如下， 因为两个图象交于点，， ∴能围出符合要求的矩形基地，并且与（1）中结果相同． 22. 如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． （1）四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； （2）当是直角三角形时，求出t的值． 【答案】（1）能成为菱形，； （2）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的性质和相似三角形的判定与性质，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． （1）根据题意证明四边形是平行四边形，当时，四边形能够成为菱形，进而可以解决问题； （2）分两种情况讨论：当，当，列出方程即可求出t的值． 【小问1详解】 解：四边形能够成为菱形，理由如下： 根据题意得，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形能够成为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形； 【小问2详解】 解：若时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，为直角三角形． 23. （1）如图1，在正方形中，E为的中点，作交于点F，连接． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，点E，F分别在边上，，，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②求的长． 【答案】 （1）证明：①∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵正方形中，E为的中点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 如图，作交于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）①根据正方形的性质及角的等量代换即可证明； ②根据正方形的性质及题意，设，则，证明，作，得到，进而证明，即可得证； （2）①证明，列出比例式即可解答； ②作交于点H，证明，列出比例式即可解答． 【详解】解：（1）证明：①略 ②略 （2）解：①略 ②如图，作交于点H， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级第一次阶段性检测 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间110分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 2. 判断一元二次方程的根的情况正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 不确定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 矩形都相似 B. 菱形都相似 C. 平行四边形都相似 D. 正方形都相似 4. 下列四条线段中，成比例线段的是（ ） A. B. C. ，，， D. 5. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两组对边是否分别平行 C. 测量是否有三个角是直角 D. 测量对角线是否互相垂直 6. 如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 7. 关于反比例函数的描述错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、第四象限 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而增大 8. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB//CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( ) A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题 11. 如图，，若，则____________． 12. 一次聚会上，每两位参会者都互赠一份礼物，经统计所有人一共送出72份礼物，求共有多少人参加聚会．设共有x个人参加聚会，则可列方程为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为________． 14. 某小剧场共有96个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少4，则每行的座位数是_________个． 15. 如图，在矩形中，E是边的中点，于点H，交边于点F，，则的值为_________． 16. 如图，小颖正在使用手电筒进行物理光学实验，墙和手电筒位于平面镜的两侧，手电筒的灯泡位于点D处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，灯泡到墙的水平距离，灯泡到平面镜的水平距离．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D，E在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为________． 17. 如图，在中，，以C为直角顶点作，其中点D在边上，点B，E分别在的两侧，且，取中点F，连接，当时，的长度为_________． 三、解答题 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 某超市经销一种优质蔬菜，进货价为30元/千克． （1）当售价为40元/千克时，经过连续两次降价后售价为25.6元/千克，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率． （2）经市场调查发现，当蔬菜售价为38元/千克时，每天可售出400千克，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天售出这种蔬菜盈利3840元，那么每千克应涨价多少元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于点和，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，请直接写出使的x取值范围； （3）是x正半轴上的一个动点，作轴，交反比例函数图象于点N，当时，求出m的取值范围． 21. 【问题提出】 如图1，某社团计划开垦一个面积为的封闭矩形地块种植农作物，地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用木栅栏围住，若木栅栏总长为，能否围出符合要求的矩形基地？如果能，请求出此时和的长度；如果不能，请说明理由． 【问题分析】 小明同学利用所学方程知识来解决这个问题：设为，则的长为，依题意得… 小亮同学则尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标，如图2；由木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象在第一象限内的交点坐标． 【问题解决】 （1）请把小明同学的解答过程补充完整； （2）请根据小亮同学的分析思路，在图2中画出一次函数的图象，并借助图象判断是否能围出符合要求的矩形基地？如果能，请直接比较结果与（1）中的结论是否相同；如果不能，请说明理由． 22. 如图，在中，，，，D是边上的一个动点，从点A出发以的速度向终点B运动，同时点E从点B出发，以的速度向终点C运动，过点D作于点F，连接，设运动时间为． （1）四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由； （2）当是直角三角形时，求出t的值． 23. （1）如图1，在正方形中，E为的中点，作交于点F，连接． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，点E，F分别在边上，，，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $