专题27.3 垂径定理（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题27.3 垂径定理 教学目标 1. 了解垂径定理的内容及证明； 2. 掌握从垂径定理的推论及证明； 3. 学会有关垂径定理的作图；会解有关实际应用题． 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理的内容及证明；垂径定理的推论及证明； （2）垂径定理，“知二求二”； （3）利用垂径定理求解圆中的几何问题。 2.难点 （1）垂径定理与锐角的三角比综合； （2）垂径定理的综合应用。 知识点1 垂径定理 一、垂径定理 我们得到了圆的一个性质定理： 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦(弧). 二、垂径定理的推论1 由此归纳得到以下结论： 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧， 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 三、垂径定理的推论2 问题中的条件有“弧相等”,可知它们“所对的弦相等”,如图27-22,分别联结AD、BD,得AD=BD,则△DAB是等腰三角形，再利用等腰三角形的“三线合一”性质，(1)可由AM=BM,推出 CD⊥AB;(2)可由CD⊥AB,推出AM=BM.这时还可以进一步看到，CD垂直平分弦AB,因此CD一定经过圆心0. 由此得到以下结论： 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某 条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立， 四、垂径定理的有关作图 例 已知,用直尺和圆规平分这条弧. 作法 如图27-24, 1.联结AB. 2.作线段AB的垂直平分线MN,垂足为点C,MN交于点D. 被点D平分. 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 2．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一根排水管的横截面如图所示，已知排水管的横截面圆的半径，圆心到水面的距离是3，则水面的宽是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（      ）． A． B． C．3 D．或 5．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2． 6．已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（　　） A． B． C． D．4 题型01 垂径定理有关说法辨析 【典例1】．下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【变式1】．下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【变式2】．下列命题中，假命题是（　　） A．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 B．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 C．如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心 D．如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦 题型02 利用垂径定理及推论求解Ⅰ 【典例1】．如图， 在中，，，，则 的长为（       ） A．5 B．3 C．4 D．6 【变式1】．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式3】．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型03 利用垂径定理及推论求解Ⅱ 【典例1】．如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【变式1】．如图，的直径垂直弦于点E，且，，则弦 ． 【变式2】．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．      题型04 垂径定理的实际应用 【典例1】．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 【变式1】．如图，一根排水管的横截面如图所示，已知排水管的横截面圆的半径，圆心到水面的距离是3，则水面的宽是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　）    A． B． C． D． 【变式3】．如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（    ） A． B． C． D． 题型05 垂径定理综合辨析 【典例1】．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【变式1】．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【变式2】．如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型06 垂径定理在平面直角坐标系的应用 【典例1】．如图，在直角坐标系中，以点为圆心的弧与轴交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【变式1】．在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为，点A的坐标为，那么点B的坐标为 ． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（    ） A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4） 题型07 平行弦问题 【典例1】．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式1】．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 题型08 利用垂径定理解其他问题 【典例1】．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（      ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1】．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 题型09 解答题 【典例1】．如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【变式1】．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【变式2】．如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【变式3】．如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：． 【变式4】．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【变式5】．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【变式6】．已知：如图，的半径为5，弦的长等于8，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，． (1)求的长； (2)求的长． 【变式7】．如图，在⊙O中，直径垂直于弦于点H． (1)联结，求证：； (2)若四边形是菱形，求的值． 【变式8】．如图，是的直径，点C，D在上，平分. (1)求证：； (2)延长交于点E，连接交于点F，若，求的正切值. 一、单选题 1．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中假命题是（    ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（    ） A．4 B．5 C．6 D．6 4．如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 5．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 6．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（    ） A． B．3 C． D． 9．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（    ） A． B．8 C． D． 10．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（  ） A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关 C．只与，的值有关 D．只与，的值有关 二、填空题 11．如图，在中，于点的长为，则弦的长为 ． 12．在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为 ． 13．⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ 度． 14．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 15．在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径 ． 16．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是 ． 17．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是 cm．    18．如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ． 三、解答题 19．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 20．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 21．如图，是中的一条弦．在上求作一点C，使得的长等于圆心O到的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22．已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 23．如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 24．已知，如图，在矩形中，以A为圆心，为半径作圆并交边、与M、E，的延长线交于点F，且， (1)求的半径； (2)联结，求弦的长． 25．已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）． (1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数； (2)如图2，当时，求的正切值； (3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 垂径定理 教学目标 1. 了解垂径定理的内容及证明； 2. 掌握从垂径定理的推论及证明； 3. 学会有关垂径定理的作图；会解有关实际应用题． 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理的内容及证明；垂径定理的推论及证明； （2）垂径定理，“知二求二”； （3）利用垂径定理求解圆中的几何问题。 2.难点 （1）垂径定理与锐角的三角比综合； （2）垂径定理的综合应用。 知识点1 垂径定理 一、垂径定理 我们得到了圆的一个性质定理： 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 要点：垂径定理指出了圆的直径与弦及弦所对的弧之间的关联，即由直径“垂直”于弦得到“平分”弦(弧). 二、垂径定理的推论1 由此归纳得到以下结论： 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧， 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。 在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径，由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上.于是得到： 如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧. 三、垂径定理的推论2 问题中的条件有“弧相等”,可知它们“所对的弦相等”,如图27-22,分别联结AD、BD,得AD=BD,则△DAB是等腰三角形，再利用等腰三角形的“三线合一”性质，(1)可由AM=BM,推出 CD⊥AB;(2)可由CD⊥AB,推出AM=BM.这时还可以进一步看到，CD垂直平分弦AB,因此CD一定经过圆心0. 由此得到以下结论： 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦。 如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。 总结上面的讨论，可以概括为： 在圆中，对于某 条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立， 四、垂径定理的有关作图 例 已知,用直尺和圆规平分这条弧. 作法 如图27-24, 1.联结AB. 2.作线段AB的垂直平分线MN,垂足为点C,MN交于点D. 被点D平分. 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧 D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦 【答案】D 【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意； C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，由垂径定理知垂直平分，则，在中，由勾股定理得求的值，根据求出的值即可． 【详解】解：如图，连接 由垂径定理知垂直平分 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于熟练掌握垂径定理． 3．如图，一根排水管的横截面如图所示，已知排水管的横截面圆的半径，圆心到水面的距离是3，则水面的宽是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理得出，再由勾股定理计算出，即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：圆心到水面的距离是3， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 4．已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于点M，若OM：OA=3：5，则弦AC的长度（      ）． A． B． C．3 D．或 【答案】D 【分析】分两种情形：当点M在线段OA上或点M在线段AO的延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：如图1，∵AB=10，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=8， ∴CM==4， ∴AC==4； 如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM：OA=3：5， ∴OA=OC=5，OM=3，AM=2， ∴CM==4， ∴AC==2， 综上所述：弦AC的长为4或2． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 5．如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 cm2． 【答案】108 【分析】过点A作于点M，连接OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出OM的值，从而可知AM的值，进而面积可求. 【详解】如图，过点A作于点M，连接OC， AB=AC且BC=12 cm． BM=CM=BC=6 cm． ∵圆的半径等于10 cm． cm． cm． cm． cm2． 故答案为108 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键. 6．已知弦与弦是内两条互相垂直的弦，相交于圆内一点P，圆的半径为5，弦与弦长均为8，则的长是（　　） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用垂径定理先求出，，进而证得四边形是正方形，再利用勾股定理可以求出的长． 【详解】解：作于M，于N，连接，    ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴四边形是正方形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 题型01 垂径定理有关说法辨析 【典例1】．下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂径定理及其推论，熟练掌握定理是解题的关键．根据垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个，逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直平分弦的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直这条弦， 故该选项为假命题，符合题意； C、平分弦和弦所对弧的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； D、平分弦所对弧的直径垂直这条弦，故该选项为真命题，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列命题中正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分这条弦 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．平分弧的直线垂直于弧所对的弦 D．平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，垂径定理的运用，理解垂径定理及其推论是解题关键．根据垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，逐项分析即可． 【详解】解：A、垂直于弦的直线不一定平分这条弦，原命题是假命题，不符合题意； B、平分弦的直径不一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意； C、平分弧的直线不一定垂直于弧所对的弦，原命题是假命题，不符合题意； D、平分弦所对的两条弧的直线平分这条弦，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式2】．下列命题中，假命题是（　　） A．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 B．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 C．如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心 D．如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆的相关概念，根据垂径定理、圆的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意； B、当弦本身是另一条直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，故原说法错误，是假命题，符合题意； C、如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心，说法正确，是真命题，不符合题意； D、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 题型02 利用垂径定理及推论求解Ⅰ 【典例1】．如图， 在中，，，，则 的长为（       ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：A． 【变式1】．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，由垂径定理知垂直平分，则，在中，由勾股定理得求的值，根据求出的值即可． 【详解】解：如图，连接 由垂径定理知垂直平分 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于熟练掌握垂径定理． 【变式2】．如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键；由及勾股定理得，，从而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴由勾股定理得，， ∴； 故选：C． 【变式3】．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型03 利用垂径定理及推论求解Ⅱ 【典例1】．如图，在圆中，直径，弦交于点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，得到是解答的关键；连接，先根据垂径定理的推论得到，再利用勾股定理即可解答； 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径，直径, ∴, ∵， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．如图，的直径垂直弦于点E，且，，则弦 ． 【答案】8 【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长． 【详解】解：∵CE=2，DE=8， ∴OB=5， ∴OE=3， ∵AB⊥CD， ∴在△OBE中，得 ∴AB=2BE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 【变式2】．如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是 ．      【答案】 【分析】延长交圆于点，作于点，连接，根据相交线定理首先求得圆的半径，然后在中，利用勾股定理求得的长．本题考查了垂径定理和相交弦定理，根据定理求得圆的半径长是关键． 【详解】解：延长交圆于点，作于点，连接．    则，， ， ， 解得：， 则， ， ， 在中，． 故答案为：． 题型04 垂径定理的实际应用 【典例1】．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 【变式1】．如图，一根排水管的横截面如图所示，已知排水管的横截面圆的半径，圆心到水面的距离是3，则水面的宽是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，根据垂径定理得出，再由勾股定理计算出，即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：圆心到水面的距离是3， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 【变式2】．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为，过点作于点，交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设圆心为，过点作于点，交于点，连接，   四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，， 在中， 即： 解得：， 故选：B． 【变式3】．如图的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的圆形铁片（如图所示）放入槽内，若同时有三个接触点，则该圆形铁片的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识．设圆心为O点，连接，交于C，则，由垂径定理得，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆心为O点，连接、、，交于C，如图， 由题意得：，，E为的中点， 则， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即该球的半径是． 故选：A． 题型05 垂径定理综合辨析 【典例1】．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【变式1】．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 【变式2】．如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理可得：，，，，无法得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的直径，为弦，于点E， ，，， ∴，， B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，不符合题意， ∵无法判断， D选项结论不成立，不符合题意， 故选：B． 题型06 垂径定理在平面直角坐标系的应用 【典例1】．如图，在直角坐标系中，以点为圆心的弧与轴交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接PA、PB，作于点F，再根据圆的垂径定理即可得出答案． 【详解】如图，连接PA、PB，作于点F，根据题意可知OF=1，再由垂径定理可知，AF=BF=AO+OF=2，所以OB=OF+BF=1+2=3，即B点坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． ． 【点睛】本题考查垂径定理．作出，再结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解答本题的关键． 【变式1】．在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为，点A的坐标为，那么点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理； 如图，过点P作轴于C，则，求出，根据垂径定理可得的长，然后可得点B的坐标． 【详解】解：如图，过点P作轴于C，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（    ） A．（－2，﹣4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（－1.5，﹣4） 【答案】A 【分析】作AB⊥MN于B，连接AM，如图，设⊙A的半径为r，先根据切线的性质得OA=r，则点A的坐标为（-r，0），再利用垂径定理得BM=BN，利用MN∥x轴，M（-8，-4），得到B点坐标为（-r，-4），然后在Rt△ABM中，根据勾股定理得，解得r=5，则BM=BN=3，易得N点坐标为（-2，-4）． 【详解】解：作AB⊥MN于B，连接AM，如图， 设⊙A的半径为r， ∵⊙A与y轴相切于原点O， ∴OA=r， ∴点A的坐标为（-r，0）， ∵AB⊥MN， ∴BM=BN， ∵MN∥x轴，M（-8，-4）， ∴B点坐标为（-r，-4）， 在Rt△ABM中，AB=4，AM=r，BM=8-r， ∵， ∴，解得r=5， ∴BM=3， ∴BN=3， ∴N点坐标为（-2，-4）， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解． 题型07 平行弦问题 【典例1】．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式1】．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 【变式2】．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 题型08 利用垂径定理解其他问题 【典例1】．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（      ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据垂径定理可知，，得出，即可得证四边形OEAD是矩形． 【详解】 D，E分别为AB，AC的中点， ， ， 四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 【点睛】本题考查垂径定理及矩形判定定理的理解和应用，解决本题的关键是对垂径定理的熟练应用． 【变式1】．如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 题型09 解答题 【典例1】．如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵为直径， ∴ 由勾股定理得： 答：圆的半径为5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【变式1】．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【变式2】．如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再通过垂径定理可得，从而可证． 本题考查等腰三角形的三线合一性质及圆的垂径定理，掌握相关定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【分析】连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可． 【详解】连结OP，因P为弦AB的中点， 则OP⊥AB， 又， ∠PCA=∠OPA=90º， ∠PAC=∠OAP， △PAC∽△OAP， ， ， P为弦AB的中点， AP=PB， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键． 【变式4】．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【答案】(1)5 (2)8 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ． 【变式5】．已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再证明即可得出． 【详解】证明：∵，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴， ∴． 【变式6】．已知：如图，的半径为5，弦的长等于8，，垂足为点，的延长线与相交于点，点在弦的延长线上，与相交于点，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、锐角三角函数定义等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． （1）如图：连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求解即可； （2）如图：作垂足为点H，根据，求出，进而求得，再在中解直角三角形求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴． （2）解：如图：作垂足为点H， ∵，， ∴，即，解得：， ∵， ∴， 又∵，， ∴，即，解得：， ∴． 【变式7】．如图，在⊙O中，直径垂直于弦于点H． (1)联结，求证：； (2)若四边形是菱形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理、菱形的性质等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到垂直平分，即可证明结论成立； （2）根据菱形的性质得到，勾股定理证明，即可得到结论． 【详解】（1）解；如图， ∵直径垂直于弦于点H． ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 【变式8】．如图，是的直径，点C，D在上，平分. (1)求证：； (2)延长交于点E，连接交于点F，若，求的正切值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三线合一，垂径定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. （1）连接交于，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三线合一可得，根据平行线的判定定理可得得到结论 （2）证得 ，根据相似三角形的性质得到 ，设 根据三角形的中位线定理可求得，然后根据勾股定理求出长，根据求解即可. 【详解】（1）证明： 如图， 连接交于， ∵是的直径， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ， 设， ， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 一、单选题 1．如图，在中，于点C，若的半径为10，，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，由垂径定理知垂直平分，则，在中，由勾股定理得求的值，根据求出的值即可． 【详解】解：如图，连接 由垂径定理知垂直平分 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于熟练掌握垂径定理． 2．下列命题中假命题是（    ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论分别进行判断． 【详解】A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题； B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题； C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题； D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质． 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（    ） A．4 B．5 C．6 D．6 【答案】D 【详解】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， 在中,由勾股定理得： 故选：D. 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握这两个定理的内容. 4．如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 过P点作于H点，根据垂径定理得，然后利用P点坐标得到，从而得到． 【详解】解：过P点作于H点，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解． 【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， ∵OB=5，BM= ， ∴OM= ∵AB=CD=8， ∴ON=OM=4， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB=90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP=∠ONP=90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM=ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP=3． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 6．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 7．如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM 变化过程中的最小值，由垂径定理可求得M 'B，再由勾股定理可求得OM '，另可知OM变化过程中的最大值等于圆半径，如此问题可以得解． 【详解】解：如图，过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM变化过程中的最小值， 由垂径定理可知M 'B=4， ∵OB=5，∴OM '=3， 又有OM变化过程中的最大值等于圆半径5， ∴3≤OM≤5， 故选D． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理、勾股定理及垂线段的性质是解题关键 ． 8．如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设OE=x，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD， ∴， ∵AC＝4，BC＝2， ∴BA=6， ∴AE=BE=3， ∴CE=1， 设OE=x， ∴， ∵CD⊥OC， ∴， ∴或（舍去）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 9．如图，是半圆的直径，，弦，是上的点，连结，．若，，则的长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】过点O作OM⊥CD，过点E作EN⊥AB，连接OC，设EC=3x，则ED=13x ,先证明四边形MONE是矩形，求出x的值，再根据勾股定理求出OM及OE的值． 【详解】解：过点O作OM⊥CD，过点E作EN⊥AB，连接OC，垂足分别为点M、N， ∵， ∴设EC=3x，则ED=13x , ∴CD=16x， ∵OM⊥CD， ∴CM=DM=8x， ∴ME=CM-CE=8x-3x=5x， ∵OM⊥CD，，EN⊥AB， ∴∠MON=∠OME=∠ONE =90°， ∴四边形MONE是矩形， ∴ON=ME=5x， ∵AB=20， ∴OB=10， ∵，EN⊥AB， ∴ON=BN=5， ∴5x=5，即x=1， ∴CM=8， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的性质，灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，是的弦（非直径），点是弦上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，弦的长为，，则弦的长（  ） A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关 C．只与，的值有关 D．只与，的值有关 【答案】D 【分析】连接AD、BE，先由垂径定理得，再根据得，用和表示出CE的长，即可得到DE的长． 【详解】解：如图，连接AD、BE， ∵DE为的弦，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故DE的长只与和的值有关． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用垂径定理和相似三角形的性质和判定定理． 二、填空题 11．如图，在中，于点的长为，则弦的长为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了垂径定理．根据垂径定理即可求解． 【详解】解：∵于点的长为， ∴． 故答案为：． 12．在半径为的圆中，的圆心角所对的弦长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形性质、解直角三角形，解题的关键是掌握垂径定理．设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则由垂径定理得到，再利用等腰三角形的三线合一得到 ，在中，利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：设圆心为，的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，如图，过O作于C，则， 由题意，，， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 13．⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ 度． 【答案】120 【分析】设圆的半径为a，由AC＝3BC可求出OE=OB=2OC，因此∠OEC=30°；再根据垂径定理便可解答； 【详解】解：如图， 设圆的半径为a，则2a=AC+BC=4BC，BC=a， ∴OC=BC=a， ∵OE=OB=2OC，∠OCE=90°， ∴∠OEC=30°， ∴∠COE=60°， 由垂径定理可得：∠EOF=2∠COE=120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形；垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；掌握垂径定理是解题关键． 14．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 【答案】10 【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， ∵C为弧的中心，， ∴延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图， ∴， 由勾股定理，得：， 即：， 解得：； ∴圆形瓦片所在圆的半径为：； 故答案为：10． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 15．在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，进而根据垂径定理及勾股定理解答即可． 【详解】如图， ，， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解． 16．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是 ． 【答案】1cm 【分析】首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． 【详解】解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E， ∵分直径成1cm和5cm两部分， ∴AB＝6cm， ∴OA＝AB＝3cm， ∴OE＝OA﹣AE＝2cm， ∵∠OEF＝30°， ∴OF＝OE＝1（cm）． 故答案为：1cm． 【点睛】此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 17．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是 cm．    【答案】6 【分析】过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案． 【详解】解：过点作于，连，如图    则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 则． 故答案为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键． 18．如图在圆O中，是直径，弦与交于点，如果，，，点是的中点，连接，并延长与圆交于点，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键． 连接，，根据点是的中点，证，得为直角三角形，根据已知条件求出半径，进而求得，根据，利用勾股定理求出，即可得到。 【详解】 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，，是直径， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在中，是直径，是弦，，垂足为P，若．求的长． 【答案】8 【分析】连接，求出的长，再根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 20．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【答案】的直径为26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长． 【详解】证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 21．如图，是中的一条弦．在上求作一点C，使得的长等于圆心O到的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作垂线，垂径定理得推论，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 作出弦的垂直平分线，由垂径定理的推论可知其垂直平分线过圆心，平分弧，故的长即圆心O到的距离． 【详解】解：如图，点即为所作： 22．已知：如图，的弦的延长线相交于点，且．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的综合题，垂径定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，构造辅助线是解题的关键．连接，分别过点作，，垂足分别为， 根据垂径定理得，再证明，得出，再根据角平分线的判定定理即可证得结论． 【详解】解：如图，连接，分别过点作，，垂足分别为， ，， 又， ， ， ， ， 点在的平分线上． 23．如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点作于，由垂径定理得，由等腰三角形三线合一得，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， 即． 24．已知，如图，在矩形中，以A为圆心，为半径作圆并交边、与M、E，的延长线交于点F，且， (1)求的半径； (2)联结，求弦的长． 【答案】(1)的半径为 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，由题意得出，代入计算即可得解； （2）作于，由矩形的性质结合勾股定理得出，证明，求出，再由垂径定理即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵以A为圆心，为半径作圆并交边、与M、E， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为； （2）解：如图，作于， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且过圆心， ∴． 25．已知在中，，是边上的中线．以点B为圆心，为半径的圆交线段于点E（点E不与点C、点D不重合）． (1)如图1，如果与边交于点F，，求的度数； (2)如图2，当时，求的正切值； (3)如图3，以点E为圆心，为半径的与相交，其中一个交点P在边上．如果，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由弧等得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，然后根据等边对等角以及三角形的外角性质得到，最后在中，由三角形内角和定理建立方程求解； （2）过点作于点，由垂径定理得到，设，则， 那么，则，故，由勾股定理得，再由正切的定义即可求解； （3）连接，先证明，再证明，则，设，则，代入解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：如图： ∵， ∴， 设， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，即； （2）解：过点作于点， ∵过圆心， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， 由上知， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆心角和弧之间的关系，圆与圆的位置关系，垂径定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并运用圆的相关性质是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $