第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

章末综合提升 　 第二章　一元二次函数、方程和不等式 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 探究点一　不等式及其性质 (1)若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是 A.a＋x＜b＋y B.ax＞by C.｜a｜x≥｜a｜y D.(a－b)x＜(a－b)y 典例1 因为当a≠0时，｜a｜＞0，由x＞y，得｜a｜x＞｜a｜y；由a＝0时，｜a｜x＝｜a｜y.因此｜a｜x≥｜a｜y.选项A，B，D均不满足不等式性质，不正确.故选C. √ (2)已知0＜a＜，且M＝－，N＝－，则M，N的大小关系是 A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定 因为0＜a＜，所以1＋a＞0，1＋b＞0，ab＜1.M－N＝－－( －)＝＋＝＞0，所以M＞N.故选A. √ 规律方法 1.作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. 2.运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题. 对点练1．(1)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是 A.＜b B.a2＞b2 C. D.a｜c｜＞b｜c｜ 取a＝1，b＝－1，排除选项A，B；取c＝0，排除选项D；显然＞ 0，所以成立.故选C. √ (2)已知2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6. ①求x的取值范围； 因为2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6， 所以5＜2x＜11，则＜x＜. ②求的取值范围； 因为2＜x＋y＜5，3＜x－y＜6， 所以＜＜，所以＜＜3. ③求2x－3y的取值范围. 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，m，n∈R， 则2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y， 所以 所以2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)， 因为2＜x＋y＜5， 所以－＜－(x＋y)＜－1，① 因为3＜x－y＜6， 所以＜(x－y)＜15，② ①＋②得5＜－(x＋y)＋(x－y)＜14. 即5＜2x－3y＜14. 探究点二　利用基本不等式求最值 (1)已知x＞1，则3x＋的最小值是__________. 典例2 2＋3 因为x＞1，所以x－1＞0， 所以3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立， 所以3x＋的最小值是2＋3. (2)已知a＞0，b＞0，若a2＋9b2＋3ab＝27，则a＋3b的最大值为____. 因为a2＋9b2＋3ab＝(a＋3b)2－3ab≥(a＋3b)2－＝(a＋3b)2， 当且仅当a＝3b时，等号成立， 所以(a＋3b)2≤27， 则0＜a＋3b≤6，所以a＋3b的最大值为6. 6 规律方法 利用基本不等式求最值的三种解题技巧 1.凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值. 2.凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值. 3.换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后把式子转化为多项式(或将分母换元后把式子转化为多项式)，再利用基本不等式求最值. 对点练2．(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为_______. 因为x＋y＝1，所以x＋y＋1＝2，则＋＝×(x＋y＋1)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝2－2，y＝3－2时等号成立，所以＋. (2)已知x＞1，y＞1，则＋的最小值为____. 由题意得x－1＞0，y－1＞0，令m＝x－1，n＝y－1，则＋＝＋≥＋＝8≥8×2＝16，当且 仅当m＝n＝2时，两个等号同时成立，所以当x＝y＝3时，＋有最小值，为16. 16 探究点三　一元二次不等式的解法 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)＞0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＞0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小： ①当a＋1＞2(a－1)，即a＜3时，x＞a＋1或x＜2(a－1). ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4. ③当a＋1＜2(a－1)，即a＞3时，x＞2(a－1)，或x＜a＋1. 综上：当a＜3时，解集为{x｜x＞a＋1，或x＜2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x｜x≠4}， 当a＞3时，解集为{x｜x＞2(a－1)，或x＜a＋1}. 典例3 规律方法 一元二次不等式的解法 1.解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 对点练3．(1)不等式≥1的解集是 A.{x｜x≥0} B.{x｜x≥1，或x≤0} C.{x｜x＞1，或x≤0} D.{x｜0≤x＜1} 不等式≥1可化为≥0， 则解得x≤0，或x＞1，所以不等式≥1的解集为{x｜x ＞1，或x≤0}.故选C. √ (2)已知不等式ax2＋5x－2＞0的解集是M. ①若2∈M，求a的取值范围； 因为2∈M，所以a×22＋5×2－2＞0，解得a＞－2，即a的取值范围为{a｜a＞－2}. ②若M＝，求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集. 因为M＝， 所以a＜0，且，2是方程ax2＋5x－2＝0的两 个根， 由根与系数间的关系得 解得a＝－2，所以不等式ax2－5x＋a2－1＞0即为－2x2－5x＋3＞0，即2x2＋5x－3＜0， 对于方程2x2＋5x－3＝0，因为Δ＞0，所以它有两个不等的实数根，解得x1＝－3，x2＝， 所以不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为. 探究点四　不等式恒成立问题 已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求实数a的取值范围； 解：当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， 故实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}. 典例4 (2)当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，求实数x的取值范围. 解：将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即⇒ 解得x≤－3－，或x≥－3＋， 故实数x的取值范围是{x｜x≤－3－，或x≥－3＋}. 规律方法 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 1.利用一元二次不等式判别式与图形相结合. 2.分离参数法. 3.转化为最大(小)值问题. 对点练4．已知x＞0，y＞0，且＋＝2，若x＋2y＞m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是 A.m≤－1，或m≥4 B.m≤－4，或m≥1 C.－1＜m＜4 D.－4＜m＜1 由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋，所 以x＋2y＝x＋＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成 立，所以(x＋2y)min＝3，所以x＋2y＞m2－3m－1恒成立，可化为3＞m2－3m－1，即m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4.故选C. √ 探究点五　不等式在解决实际问题中的应用 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y(单位：万元)与投入成本增加的比例x的关 系式； 解：由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0＜x＜1). 典例5 (2)为使本年度的年利润与上年度相比有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：要保证本年度的年利润与上年度相比有所增加，则y－(12－10)×10 000＞0(0＜x＜1)， 即－6 000x2＋2 000x＞0(0＜x＜1)， 解得0＜x＜，所以投入成本增加的比例x的取值范围是. 规律方法 解决实际问题的关注点 1.审题要准，初步建模. 2.设出变量，列出函数关系式. 3.根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 对点练5．现要围建一个面积为360 m2的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)， 其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一 个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)用x表示y； 解：设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知得xa＝360，得a＝. 所以y＝225x＋－360＝225x＋－360(x＞0). (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：因为x＞0， 所以225x＋≥2＝10 800， 所以y＝225x＋－360≥10 440，当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立. 故当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元. 返回 考 教 衔 接 返回 (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.取x＝，y＝－，则x2＋y2＝，故C正确，D错误.故选BC. √ 真题1 √ 溯源：(教材P58复习参考题2T5)若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 点评：该高考题与教材复习题都是条件求最值问题，都涉及到x＋y与xy的转化及不等关系，考查内容及解题方法均相同. (1)(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为____. ＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当 ＝，即(a＋b)2＝16，即a＋b＝4时取等号.又因为ab＝1，所以 时取等号，所以＋＋的最小值为4. 真题2 4 (2)(2019·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为______. 因为x＋2y＝5，x＞0，y＞0，所以＝＝＝2＋≥2 ＝4，当且仅当时，等号成立，即原式取得最小值4. 4 溯源：(教材P46练习T2)已知x，y都是正数，且x≠y，求证： (1)＋＞2；(2)＜. 点评：以上两道高考题考查利用基本不等式求最值以及等号成立的条件，与教材习题非常类似 . 返回 单 元 检 测 卷 返回 不等式(x＋1)(x－3)＜0的解集为{x｜－1＜x＜3}.故选A. √ 1.不等式(x＋1)(x－3)＜0的解集为 A.{x｜－1＜x＜3} B.{x｜－3＜x＜1} C.{x｜x＜－1，或x＞3} D.{x｜x＜－3，或x＞1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 2.已知－b＜a＜0，则下列不等式中正确的是 A. B.a2＞b2 C. D.｜a｜＞b 因为－b＜a＜0，所以b＞0＞a，所以＜，故A错误；当a＝－，b＝1 时，a2＜b2，故B错误；因为a－b＜a＜0，所以，故C正确；当a＝－1，b＝2时，｜a｜＜b，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.已知m＜8，则m＋的最大值为 A.4 B.6 C.8 D.10 因为m＜8，则m－8＜0，可得－＝＋－8≥ 2－8＝－4，即m＋≤4，当且仅当8－m＝，即 m＝6时，等号成立，所以m＋的最大值为4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果a克糖水中含有b克糖(a＞b＞0)，再添加n克糖(n＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是 A. B. C.≥ D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可知，加入n克糖(n＞0)后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：；所以.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 5.已知关于x的不等式x2－ax＋b≤0的解集为，则关于x的不等式x2－bx＋a＜0的解集为 A. B. C. D. 根据题意，方程x2－ax＋b＝0的两根为2和3，则a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，则x2－bx＋a＜0为x2－6x＋5＜0，其解集为.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 6.设m＝，n＝，命题p：a＞b，命题q：ab＜mn，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 由题意ab＜mn⇔ab＜·＝⇔6a2＋6b2＋13ab＞ 25ab⇔＞0⇔a≠b，即命题q：ab＜mn的充要条件为a≠b，所以命题p：a＞b是命题q：ab＜mn的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为x＞0，y＞0且＋＝1，所以x＋＝·＝2＋＋≥2 ＋2＝4.当且仅当＝，即y＝4x＝8时等号成立，所以m2－3m ＞4，即＞0，解得m＜－1，或m＞4.故选D. 7.若存在正实数x，y满足于＋＝1，且使不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是 A.－4＜m＜1 B.－1＜m＜4 C.m＜－4，或m＞1 D.m＜－1，或m＞4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.若关于x的不等式x2－x＋2m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 A.－2≤m＜－1，或5＜m≤6 B.－2≤m＜－1，或3＜m≤6 C.－3≤m＜－1，或3＜m≤6 D.－3≤m＜－1，或4＜m≤6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由x2－x＋2m＜0，得＜0，当m＝2时，不等式的解集为⌀，不符合题意，舍去；当m＜2时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则解集中的三个整数分别为1、0、－1，则需－2≤m＜－1；当m＞2时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则解集中的三个整数分别为3、4、5，则需5＜m≤6，综上：所以－2≤m＜－1或5＜m≤6.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.下列不等式中，推理正确的是 A.若x＞y＞z，则 B.若＜＜0，则ab＞b2 C.若a2x＞a2y，则x＞y D.若a＞b＞0，c＞0 ，则a－c＞b－c √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A中，例如1＞－2＞－3，此时＜，故A错误；对于B中，若＜＜0，可得b＜a＜0，则ab＜b2，故B错误；对于C中，由a2x＞a2y，可得a2(x－y)＞0，可得x－y＞0，即x＞y，故C正确；对于D中，a＞b＞0，c＞0 ，由不等式的性质，可得a－c＞b－c，故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知函数y＝ax2＋bx－3，则下列结论正确的是 A.关于x的不等式ax2＋bx－3＜0的解集可以是 B.关于x的不等式ax2＋bx－3＜0的解集可以是，或 C.函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴有一个交点时，b2＋12a可能大于0 D.“关于x的方程ax2＋bx－3＝0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a＜0” √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，当a＝0，b＝－1时，－x－3＜0，解集为x＞－3，故A正确；对于B，当a＝－，b＝时，－x2＋x－3＜0，解得x＞2或x＜1，故B正确；对于C，当a＝0，b＝1时，函数y＝x－3的图象与x轴有一个交点，此时b2＋12a＝1＞0，故C正确；对于D，由题意可得两根之积小于0，即＜0，解得a＞0，故“关于x的方程ax2＋bx－3＝0有一个正根和一个负根”的充要条件不是a＜0，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 11.已知正数a，b满足＝1，则下列选项正确的是 A.＋＝1 B.＋2b≥5 C.a＋b≥4 D.a2＋b2≤8 对于A，由题可得ab＝a＋b，即＋＝1，故A正确；对于B，因为a＝＋1＝＞0，所以b＞1，所以＋2b＝＋2b＝＋2(b－1)＋2≥2＋2，当且仅当b＝1＋时，等号成立，故B不正确；对于C，a＋b＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故C正确；对于D，a2＋b2≥≥＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故D不正确.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.实数a，b满足4≤a＋b≤7，2≤a－b≤3.则3a－2b的取值范围是______ ___________. 7≤3a －2b≤11 设3a－2b＝x＋y，所以即3a －2b＝＋， 因为2≤a－b≤3，所以5≤， 又4≤a＋b≤7，所以2≤， 所以7≤3a－2b＝＋≤11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是 _____________. 当m＝0时，不等式为－5x≤0⇒x≥0，显然不符合题意；当m≠0时，因为关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，所以有 ⇒m≤－，所以实数m的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知实数a，b满足a＞1，b＞0且2a＋2b－ab－2＝0，那么a＋2b的最小值是____. 10 实数a，b满足a＞1，b＞0且2a＋2b－ab－2＝0，所以＋＝1，所以a＋2b＝a－1＋2b＋1＝(a－1＋2b)＋1＝＋＋6≥2＋6＝10.当且仅当＝，即a＝4，b＝3时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)(1)解不等式：－x2＋14x－45＞0； 解：不等式－x2＋14x－45＞0， 即＜0，解得5＜x＜9， 故不等式的解集为. (2)解关于x的不等式≥1. 解：不等式≥1变形为－1＝≥0，则 解得3≤x＜5， 故不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知函数y＝x2－(3a－1)x－a. (1)若a＝，求不等式y＞0的解集； 解：a＝时，x2－x－＞0，解得x＞1，或x＜－， 原不等式的解集为，或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若函数y＝x2－(3a－1)x－a的图象与x轴交于A，B两点，求的最小值. 解：令x2－x－a＝0， 由Δ＝＋4a＞0得9a2－2a＋1＞0， 故x1＋x2＝3a－1，x1x2＝－a， 故＝ ＝＝ ＝， 当a＝时，取得最小值，最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100(km/h)，若货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度v的平方的倍，固定成本为a元. (1)将全程运输成本y(元)表示为速度v的函数，并指出这个函数的定义域； 解：由题意得可变成本为元，固定成本为a元，所用时间为， 则y＝＝1 000，定义域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 解：由(1)得y＝1 000≥1 000×2＝1 000，当且仅当v＝，即v＝2时取等号， 又0＜v≤100， 所以当0＜a≤7 500时，货车以v＝2km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当a＞7 500时，货车以100 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2. (1)若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； 解：由y≥－2恒成立得：mx2＋(1－m)x＋m≥0对一切实数x恒成立. 当m＝0时，不等式为x≥0，不合题意； 当m≠0时，解得m≥； 综上所述：实数m的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)在(1)的条件下，求的最小值； 解：因为m≥，所以m＋1≥， 所以＝＝m＋1＋ ≥2＝4， (当且仅当m＋1＝，即m＝1时取等号)，所以的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)解关于x的不等式y＜m－1. 解：由mx2＋(1－m)x＋m－2＜m－1得：mx2＋(1－m)x－1＝(mx＋1)(x－1)＜0； ①当m＝0时，x－1＜0，解得：x＜1，即不等式解集为{x｜x＜1}； ②当m≠0时，令mx2＋(1－m)x－1＝0，解得：x1＝1，x2＝－； 1)当－＜0，即m＞0时，不等式解集为； 2)当0＜－＜1，即m＜－1时，不等式解集为； 3)当－＝1，即m＝－1时，不等式可化为x2－2x＋1＝(x－1)2＞0， 所以x≠1，所以不等式解集为{x｜x≠1}； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4)当－＞1，即－1＜m＜0时，不等式解集为； 综上所述：当m＝0时，不等式解集为{x｜x＜1}； 当m＞0时，不等式解集为； 当m＜－1时，不等式解集为； 当m＝－1时，不等式解集为{x｜x≠1}； 当－1＜m＜0时，不等式解集为{x｜x＜1，或x＞－}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； 解：根据题设中的定义可得点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知点是点的“上位点”，判断点P是否是点的“下位点”，证明你的结论； 解：点P的“下位点”， 证明：因为点的“上位点”， 所以， 又因为a，b，c，d均大于0， 所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以－＝＝＜0，即，即， 所以点P是点的“下位点”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)设正整数n满足以下条件：对集合内的任意元素m ，总存在正整数k，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由. 解：可证点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 证明：因为点是点的“上位点”， 所以， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为a，b，c，d均大于0，所以ad＞bc， 所以ad－bc＞0， 所以－＝＝＝＞0， 即，所以点P是点的“上位点”， 同理可得－＝＝＜0，即， 所以点P是点的“下位点”， 所以点P既是点的“上位点”，又是点的“下位点”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对m∈时恒成立， 根据上述的结论可知，当n＝2 024＋2 025＝4 049，k＝2m＋1时，满足 条件. 故n＝4 049. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回 $