2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等 式的应用 　 第二章　单元学习五　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法. 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系. 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题，培养数学建模的核心素养. 任务一　 1 任务二　 2 任务三　 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　解分式不等式 返回 解下列不等式： (1)≥0； 解：不等式≥0等价于 解不等式组得－1≤x＜3. 故原不等式的解集为{x｜－1≤x＜3}. 典例1 (2)＞4. 解：不等式＞4等价于－4＞0， 即＞0，整理得＞0. 即解不等式得x＜－1，或x＞3. 故原不等式的解集为{x｜x＜－1，或x＞3}. 规律方法 简单分式不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 对点练1．解下列不等式： (1)＜0； 解：＜0⇔(2x＋1)(1－x)＜0， 不等式等价于(x＋)(x－1)＞0， 解得x＞1，或x＜－. 故原不等式的解集为. (2)≤1. 解：因为≤1，所以－1≤0， 所以≤0， 则(4－x)(2x－3)≤0且2x≠3， 所以(x－4) ≥0且x≠， 从而x＜或x≥4. 故原不等式的解集为. 返回 任务二　二次函数与一元二次方程、不等式 间的关系及应用 返回 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 解：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6，故＝－， 又由a＜0知c＜0，故不等式cx2＋bx＋a＜0， 即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜，或x＞， 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为. 典例2 变式探究　1.(变设问)若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集. 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a＜0. 所以c＜0，＝－，故不等式cx2－bx＋a＞0， 即x2－x＋＜0，即x2＋x＋＜0， 解得－＜x＜－， 故原不等式的解集为. 2.(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x ＜3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”.求不等式 cx2＋bx＋a＜0的解集. 解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0，且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以(－)×2＝＜0，－＋2＝－.所以b＝－a，c＝ －a， 所以不等式cx2＋bx＋a＜0变为(－a)x2＋(－a)x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0. 又因为a＜0，所以2x2＋5x－3＜0， 故所求不等式的解集为. 法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝知c＞0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－，－＝＝＝－，所以x1＝－3，x2＝. 所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为. 规律方法 　　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0，a≠0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： 1.根据解集来判断二次项系数的符号. 2.根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. 3.约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 对点练2．关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是____________. {m｜m＜0} 因为不等式(mx－1)(x－2)＞0的解集为，所以方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，所以m的取 值范围是{m｜m＜0}. 返回 任务三　一元二次不等式的实际应用 返回 某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时，而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.[注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)] (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式； 解：依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75). 典例3 (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20％？ 解：依题意有(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20％)，且0.55≤x≤0.75， 整理得解得0.6≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20％. 规律方法 解不等式应用题的步骤 对点练3．某施工单位在对一个长800 m、宽600 m的空地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 解：设花坛的宽度为x m，则绿草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m. 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0，0＜x＜300， 解得x≥600(舍去)，或x≤100， 由题意知x＞0，所以0＜x≤100，所以当x在0＜x≤100取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 所以花坛宽度的取值范围为{x｜0＜x≤100}. 返回 课堂小结 任务再现 (1)简单的分式不等式的解法.(2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.(3)一元二次不等式的实际应用 方法提炼 转化法、恒等变形法 易错警示 (1)解分式不等式要等价变形.(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 随堂评价 返回 1.不等式≥0的解集为 A.{x｜0≤x≤1} B.{x｜0＜x≤1} C.{x｜x≤0，或x≥1} D.{x｜x＜0，或x≥1} √ 原不等式可化为故其解集为{x｜0＜ x≤1}.故选B. 2.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，那么不等式cx2－ax＋b＞0的解集为 A. B. C. D. √ 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，且－2和1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实根，所以－2＋1＝－，－2×1＝，即c＝－2a，b＝a，所以不等式cx2－ax＋b＞0可化为－2ax2－ax＋a＞0，因为a＜0，所以2x2＋x－1＞0，即(2x－1)(x＋1)＞0，解得x＞，或x＜－1.故选D. 3.若不等式ax2－3x－b＜0的解集为{x｜－1＜x＜4}，则＋＝___. 由题意得x＝－1，x＝4是方程ax2－3x－b＝0的两个根，所以 ⇒a＝1，b＝4，所以＋＝1＋＝. 4.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为_________ ______________. z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范围为{t｜10≤t≤15，t∈N}. {t｜10≤ t≤15，t∈N} 返回 课时分层评价 返回 1.不等式≥1的解集是 A. B. C. D. ≥1⇔≥0，所以(4x－3)(x－2)≤0且x≠2，解得≤x＜2，则原不等式的解集为.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x｜x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为 A.{x｜x＞1，或x＜－2} B.{x｜1＜x＜2} C.{x｜x＞2，或x＜－1} D.{x｜－1＜x＜2} √ 因为ax－b＞0的解集为{x｜x＞1}，所以a＞0，且a＝b.故＝＞ 0，等价于(x＋1)(x－2)＞0，所以x＞2，或x＜－1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x；生产x件的成本r＝(500＋30x)元，为使月获利不少于8 600元，则月产量x需满足(假设生产的风衣均能销售完) A.55≤x≤60 B.60≤x≤65 C.65≤x≤70 D.70≤x≤75 √ 由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若a＞0，b＞0，则不等式－b＜＜a的解集为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原不等式可化为故 不等式的解集为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若一元二次不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x｜x≠m}，则m＋k的值为 A.－1 B.0 C.－2 D.2 √ 因为不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x｜x≠m}，所以解得k＝－1，m＝－1，故m＋k＝－2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x＜－1，或x＞3}，则下列结论正确的是 A.a＜0 B.c＜0 C.a＋b＋c＜0 D.cx2－bx＋a＜0的解集为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，即a＜0，故A正确；又x＝－1，x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以 故c＞0，故B错误；a＋b＋c＝a－ 2a－3a＝－4a＞0，故C错误；cx2－bx＋a＜0，即－3ax2＋2ax＋a＜0，即3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)＜0，得－＜x＜1，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为___. 由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若集合A＝{x｜ax2－ax＋1＜0}＝⌀，则实数a的取值范围是_____________. ①若a＝0，则1＜0不成立，此时不等式ax2－ax＋1＜0的解集为空集； ②若a≠0，则解得0＜a≤4.综上，实数a的取值范围是 {a｜0≤a≤4}. {a｜0≤a≤4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为_____. 由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2＞12，s乙＝0.05x＋0.005x2＞10.分别求解，得x甲＜－40或x甲＞30，x乙＜－50或x乙＞40.由于x＞0，从而得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任. 乙车 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为. (1)求a，c的值； 解：由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为， 由根与系数的关系，得 解得a＝－6，c＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以所求不等式的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如果关于x的不等式＞0的解集是{x｜－1＜x＜3}，则不等式＜0的解集是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＞0等价于(ax－1)(x＋b)＞0，而(ax－1)(x＋b)＝0的两根为，－b，因为不等式解集为{x｜－1＜x＜3}，故可得a＜0，且＝－1，－b＝3，则a＝－1，b＝－3，则＜0即＜0，等价于(2x＋3)(2x－1)＞0，故所求不等式的解集为.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.关于x的不等式x[x－(a＋1)]＜0的解集是{x｜－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是 A.{a｜0≤a≤2} B.{a｜－2≤a＜－1，或－1＜a≤0} C.{a｜0≤a＜1，或1＜a≤2} D.{a｜－2≤a≤0} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＋1＝0，即a＝－1时，x2＜0的解集为⌀，⌀⊆{x｜－1≤x≤1}，符合条件.当a＋1＞0，即a＞－1时，不等式x[x－(a＋1)]＜0的解集为{x｜0＜x＜a＋1}，所以{x｜0＜x＜a＋1}⊆{x｜－1≤x≤1}，所以 解得－1＜a≤0.当a＋1＜0，即a＜－1时，不等式x[x－(a ＋1)]＜0的解集为{x｜a＋1＜x＜0}，所以{x｜a＋1＜x＜0}⊆{x｜－ 1≤x≤1}，所以解得－2≤a＜－1.综上，－2≤a≤0.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x％，八月份的销售额比七月份增加x％，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为____. 20 由题意得七月份的销售额为500(1＋x％)万元，八月份的销售额为500(1＋x％)2万元，所以3 860＋500＋2[500(1＋x％)＋500(1＋x％)2]≥7 000， 即25(1＋x％)2＋25(1＋x％)－66≥0，解得1＋x％≤－(舍去)，或1＋x％≥，即x％≥20％，所以x的最小值为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入(单位：万元)的函数为R＝5x－x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量(单位：百台). (1)把利润表示为产量的函数； 解：设利润为y万元，当0≤x≤5时，y＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋x－， 当x＞5时，y＝5×5－×52－0.25x－0.5＝12－x，故y＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)产量为多少时，企业才不亏本(不赔钱). 解：要使企业不亏本，则y≥0. 即解得0.11≤x≤5，或5＜x≤48，即0.11≤x≤48. 即产量在11台到4 800台之间时，企业不亏本. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)设集合A＝，集合B＝{x｜x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D.{a｜a＞1} √ 由题知，方程x2－2ax－1＝0(a＞0)的两根异号，且两根之积为－1. ①若A∩B中恰有两个整数为2，3，则有≤a＜； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②若A∩B中恰有两个整数为－1，2，则有此时a无实数解； ③若A∩B中有两个整数为－1，－2，则有又a＞0，故 此时a无实数解. 综上可得a∈.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)某自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，其中0≤t≤24. (1)供水几小时后，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ 解：设蓄水池中存水y吨， 则y＝400＋60t－120＝60(－)2＋40(0≤t≤24)，当t＝6时，y的值最小，为40， 故供水6小时后，蓄水池中的存水量最少，最少水量为40吨. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在24小时内，有几个小时出现供水紧张现象？ 解：令＝x，则x2＝6t，则y＝400＋10x2－120x. 由400＋10x2－120x＜80，得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8，即4＜＜8，＜t＜. 又－＝8， 所以24小时内有8个小时出现供水紧张现象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回 $