2.1 第1课时 不等关系与不等式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

第1课时　不等关系与不等式 　 第二章　单元学习三　等式性质与不等式性质 　　本章是高中数学必修课程中的“预备知识”，起着初高中数学的衔接与过渡作用.本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.基于以上内容，本章共分三个单元整体设计：“等式性质与不等式性质”“基本不等式”及“二次函数与一元二次方程、不等式”，学习计划7课时.在此过程中进一步提升逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养. 单元整体设计 　　本单元内容是本章的理论基础，在初中等式学习的基础上，类比等式的学习内容和方法，学习用不等式表示问题中的不等关系；学习不等式的性质，并用不等式性质证明简单命题.通过本单元的学习，掌握不等式的性质，提高对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力，学习计划2课时. 本单元内容重点是不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.难点是类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养. 单元整体设计 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，培养数学抽象的核心素养. 2.初步学会作差法比较两实数的大小，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　不等关系与不等式 1 任务二　实数大小比较的基本事实 2 任务三　重要不等式 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　不等关系与不等式 返回 (阅读教材P37—38，完成探究问题1) 问题1．生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志： (1)你知道各图标的标志有何作用？其含义是什么？ 提示：其作用及含义分别为： ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m. (2)你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m. 问题导思 1.不等式的概念 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 新知构建 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于， 少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a＞b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确. 微提醒 (链教材P40练习T1)(1)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是 A.80＋20n≥300 B.80＋20n≤300 C.80＋20(n－1)≤300 D.80＋20(n－1)≥300 经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1)，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300.故选D. √ 典例1 (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式(组)表示其中 的不等关系是____________________. 因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18.这时菜园的另一条边长为＝(15－)m，因此菜园的面积S＝x(15－)，依题意有S≥96，即x≥96.故该题中的不等关系可用不等式组表 示为 规律方法 用不等式(组)表示不等关系的步骤 第一步：审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. 第二步：适当地设未知数表示变量. 第三步：用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 注意　此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 对点练1．(1)下列说法正确的是 A.某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B.小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高可表示为“x＜y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，故A错误；小红的身高x cm，小明的身高y cm，则小红比小明高可表示为“x＞y”，故B错误；某变量x至少是a可表示为“x≥a”，故C正确；某变量y不超过a可表示为“y≤a”，故D错误.故选C. √ (2)李辉准备用自己存的零花钱买一台学习机，他现在已存60元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是_____________. 30x＋60≥400 由题意知，x个月后所存的钱数为(30x＋60)元，由于存的钱数不少于400元，故不等式为30x＋60≥400. 返回 任务二　实数大小比较的基本事实 返回 (阅读教材P38，完成探究问题2) 问题2．给定两个实数(或代数式)a，b，如何比较它们的大小？ 提示：可作差比较.若a－b＞0，则a＞b； 若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b. 问题导思 两个实数大小的基本事实 新知构建 依据 a＞b⇔_________ a＝b⇔_________ a＜b⇔_________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的____与0的大小 a－b＞0 a－b＝0 a－b＜0 差 (链教材P38例1)(1)设M＝5a2－a＋1，N＝4a2＋a－1，则 A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.M，N的大小关系不确定 典例2 M－N＝5a2－a＋1－(4a2＋a－1)＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1≥1＞0，所以M＞N.故选A. √ (2)已知a，b∈R，试比较a3－b3与ab2－a2b的大小. a3－b3－(ab2－a2b)＝a3－b3－ab2＋a2b＝a2(a＋b)－b2(a＋b)＝(a2－b2)(a＋b)＝(a－b)·(a＋b)2. 当a≥b时，a－b≥0，又(a＋b)2≥0， 故a3－b3≥ab2－a2b； 当a＜b时，a－b＜0，又(a＋b)2≥0， 故a3－b3≤ab2－a2b. 规律方法 作差法比较大小的步骤 注意　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等. 对点练2．(1)已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则m____n.(选填“＞”“＜”“≥”或“≤”) m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0，所以m≥n. ≥ (2)已知a∈R且a≠1，试比较与1＋a的大小. 两式作差得－(1＋a)＝. 当a＝0时，＝0，所以＝1＋a； 当a＜1，且a≠0时，a2＞0，1－a＞0，所以＞0，所以＞1＋a； 当a＞1时，a2＞0，1－a＜0，所以＜0，所以＜1＋a. 综上所述，当a＝0时，＝1＋a；当a＜1且a≠0时，＞1＋a；当a＞1时，＜1＋a. 返回 任务三　重要不等式 返回 (阅读教材P39，完成探究问题3) 问题3．如图①是在北京召开的第24届国际数学家 大会的会标，将其抽象成如图②的形式.设直角三 角形的两条直角边的长为a，b(a≠b)，那么正方形 的边长为. (1)你能比较大正方形ABCD的面积与四个相同直角三角形面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？ 提示：大正方形的边长为，这四个直角三角形的面积和为2ab，大正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于四个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b2＞2ab. 问题导思 (2)正方形ABCD的面积与四个相同直角三角形面积之和能相等吗？如果相等，应满足什么条件？ 提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab. 重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥_____，当且仅当______时，等号成立. 新知构建 2ab a＝b 已知a＞0，b＞0，证明：a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b) ＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b) ＝(a＋b)(a2－2ab＋b2). 因为a＞0，b＞0，且a2＋b2≥2ab， 所以a＋b＞0，a2＋b2－2ab≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 典例3 规律方法 1.比较两数的大小或证明不等式，最基本的方法是作差比较法，其关键是作差变形，判断差的符号. 2.a2＋b2≥2ab对于任意实数a，b均成立，当且仅当a＝b时，取“＝”. 对点练3．已知a＞0，求证：a＋≥2. 证明：法一：利用a2＋b2≥2ab.因为a＞0， 所以a＋＝()2＋2≥2· ＝2， 当且仅当a＝1时，等号成立. 法二：因为a＋－2＝()2＋2－2 ＝2≥0，所以a＋≥2. 返回 课堂小结 任务再现 (1)用不等式(组)表示不等关系.(2)作差法比较大小.(3)重要不等式 方法提炼 作差法、作商法 易错警示 易忽视实际问题中变量隐含的限制条件 随堂评价 返回 1.某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为 A.v≤120 km/h且d≥10 m B.v≤120 km/h，或d≥10 m C.v≤120 km/h D.d≥10 m √ v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.故选A. 2.已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是 A.M＜N B.M ＞N C.M＝N D.不确定 √ 由题意得0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)＞0，故M＞N.故选B. 3.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为_______. 令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，所以a＝2. a＝2 4.若实数a＞b，则a2－ab______ba－b2.(填“＞”或“＜”) 因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a＞b，所以(a－b)2＞0，即a2－ab＞ba－b2. ＞ 返回 课时分层评价 返回 1.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数字关系式可表示为 A.a＋b＋c＞130 B.a＋b＋c＜130 C.a＋b＋c≥130 D.a＋b＋c≤130 根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.不等式a2＋b2≥2｜ab｜成立时，实数a，b一定是 A.正数 B.非负数 C.实数 D.不存在 √ 原不等式可变形为a2＋b2－2｜ab｜＝｜a｜2＋｜b｜2－2｜ab｜＝(｜a｜－｜b｜)2≥0，对任意实数都成立.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若x∈R，y∈R，则 A.x2＋y2＞2xy－1 B.x2＋y2＝2xy－1 C.x2＋y2＜2xy－1 D.x2＋y2≤2xy－1 √ 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1＞0，所以x2＋y2＞2xy－1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是 A.M ＞N B.M ≥N C.M＜N D.M≤N 因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)·(a－3)＝a2＋a＋1＝(a＋)2＋＞0，所 以M ＞N.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为 A.x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0” B.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c、b＋c＞a且a＋c＞b” C.若某天的温度为t，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃” D.完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用数学表达式可表示为“400x＋500y≤20 000” √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，故B正确；对于C，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，故C正确；对于D，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元.又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列不等式中恒成立的为 A.a2＋3＞2a(a∈R) B.x2＋y2＞xy C.a2＋b2＞2(a－b－1) D.8xy≤4x2＋8y2 √ √ 因为a2＋3－2a＝(a－1)2＋2＞0，所以a2＋3＞2a，故A正确；x2＋y2－xy＝(x－)2＋y2≥0，故B错误；a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故C错误；4x2＋8y2＝(2x)2＋(2y)2≥2·2x·2y＝8xy，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是______________. 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t＜28 000. 4.5t＜28 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为_______. 因为P－Q＝(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.因为a2≥0，所以a2＋2＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q. P＞Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是____，当且仅当a＝b＝_____时取得最小值. 根据a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a－b＝0即a＝b＝±1时等号成立. 2 ±1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求所有可能的宿舍间数和学生人数. 解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人， 依题意，得 解得＜x＜. 因为x∈N*，所以x＝10，11或12， 学生人数分别为59，63，67. 故所有可能的宿舍间数和学生人数分别为10间，59人，11间，63人或12间，67人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知a1＞1，a2＞1，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为 A.P＞Q B.P＜Q C.P＝Q D.不确定 √ P－Q＝(＋)－(＋1)＝－＝＝. 因为a1＞1，a2＞1，所以a1－1＞0，1－a2＜0，a1a2＞0，所以P－Q＝＜0，所以P＜Q.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是 A.h2＞h1＞h4 B.h1＞h2＞h3 C.h3＞h2＞h4 D.h2＞h4＞h1 √ 根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4或h2＞h3＞h4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种 关系用含字母a，b的不等式表示出来：______________. (a2＋b2)＞ab 由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即(a2＋b2)＞ab. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)(一题多解)设a＞b＞0，试比较与的大小. 解：法一(作差法)：－ ＝ ＝＝， 因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0，2ab＞0，a2＋b2＞0， 所以＞0，所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二(作商法)：因为a＞b＞0， 所以＞0，＞0，2ab＞0， 故＝＝＝1＋＞1， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(数学文化)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为 A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)，因为0≤x≤78， 所以⇒⇒≤m≤，根据选项m＝8， x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售.现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾.某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？ 解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元， z元. 依题意，有y＝ z＝80×70％x＝56x(x≥1，x∈Z). 若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0， 所以y－z＞0，即y＞z. 当x＝6时，y－z＝0，即y＝z. 当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0， 所以y－z＜0，即y＜z. 若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x. 因为－16x＜0，所以y＜z. 综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回 $