1.4.2 充要条件-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“充要条件”，通过问题导思分析命题及逆命题真假，衔接充分、必要条件知识，引导学生逐步理解充要条件的概念，构建逻辑用语的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过三角形边角关系、方程根的判断等实例，结合定义法、集合法培养数学思维，强调充要条件双向证明的严谨性。分层练习设计助学生巩固，教师可高效检测学情，提升教学效果。

1.4　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件 　 第一章　单元学习二　常用逻辑用语 学习目标 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　充要条件 1 任务二　充要条件的证明 2 任务三　充分、必要、充要条件的应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　充要条件 返回 (阅读教材P20—23，完成探究问题) 问题．给出以下两个“若p，则q”形式的命题： ①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. ②若m≤，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根. (1)你能判断这两个命题的真假吗？ 提示：①、②都是真命题. 问题导思 (2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？ 提示：①逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题. ②逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根，则m≤，是真 命题. (3)你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 1.逆命题 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为______条件. 新知构建 p⇒q q⇒p p⇔q 充要 对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”.(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件. 微提醒 若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则集合A与集合B有什么关系？ 提示：A＝B. 微思考 (链教材P21例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ (1)p：｜x｜＝｜y｜，q：x3＝y3； 典例1 解：当｜x｜＝｜y｜时，x＝±y x3＝y3， 但x3＝y3⇒x＝y⇒｜x｜＝｜y｜， 故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件). (2)p：在△ABC中，AB＞AC，q：在△ABC中，∠C＞∠B； 解：在△ABC中，大边对大角， 则AB＞AC⇔∠C＞∠B， 则p是q的充要条件. (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B. 解：若A⊆B，则A∪B＝B， 反之若A∪B＝B，则A⊆B， 所以p是q的充要条件. 规律方法 判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. 2.集合法：即利用集合的包含关系判断. 3.等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. 对点练1．(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是 A.ab＝0 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0 a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D. √ (2)以下选项中，p是q的充要条件的是 A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件.故选D. 返回 √ 任务二　充要条件的证明 返回 (链教材P22例4)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 典例2 证明：充分性：即证明关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足a－b＋c＝0⇒方程有一个根为－1， 由a－b＋c＝0，得b＝a＋c， 代入方程得ax2＋(a＋c)x＋c＝0， 则(ax＋c)(x＋1)＝0， 所以x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. 必要性：即证明x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的根⇒a－b＋c＝0， 将x＝－1代入方程ax2＋bx＋c＝0， 即有a－b＋c＝0. 综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 规律方法 充要条件的证明策略 1.要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，即证明p与q的解集相同. 注意 证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 对点练2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 证明：充分性：若A＝B，则a＝b， 所以a2－b2－ac＋bc＝0成立. 必要性：因为a2－b2－ac＋bc＝(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a＋b－c)＝0， 且在△ABC中，a＋b－c＞0，所以a－b＝0， 所以a＝b，所以A＝B. 综上，a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 返回 任务三　充分、必要、充要条件的应用 返回 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 典例3 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 变式探究　1.(变条件)若将本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以A⫋B. 所以解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m｜m≥9}. 2.(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m，使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0). 若p是q的充要条件，则m不存在. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 规律方法 充分条件与必要条件的应用与求解 1.应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. 2.求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 对点练3．(1)若“－1＜x＜1”是“1＜－2x＋m＜5”的充要条件，则实数m＝________. 由1＜－2x＋m＜5得1－m＜－2x＜5－m，故(m－5)＜x＜(m－1)，因为“－1＜x＜1”是“1＜－2x＋m＜5”的充要条件，所以 解得m＝3. 3 (2)设集合A＝{x｜x2＋x－6＝0}，B＝{x｜mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是 A.m∈ B.m∈ C.m∈ D.m∈ A＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}， 若m＝0，则B＝⌀，B⫋A；若m＝1，则B＝{2}⫋A；若m＝－，则B＝{－3}⫋A，所以B⫋A的一个充分不必要条件是m∈.故选B. √ 返回 课堂小结 任务再现 (1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充分、必要、充要条件的 应用 方法提炼 等价转化 易错警示 条件和结论辨别不清 随堂评价 返回 1.“｜x｜＝1”是“x2＝1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由｜x｜＝1可得x＝±1，即x2＝1；由x2＝1可得x＝±1，即｜x｜＝1，所以“｜x｜＝1”是“x2＝1”的充要条件.故选C. 2.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是 A.x＜0，y＜0 B.x＜0，y＞0 C.x＞0，y＞0 D.x＞0，y＜0 因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0.故选B. √ 3.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是__________. 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称. m＝－2 4.已知“p：x＞m＋3或x＜m”是“q：－4＜x＜1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________________. {m｜m≤－7，或m≥1} 因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1，所以实数m的取值范围是{m｜m≤－7，或m≥1}. 返回 课时分层评价 返回 1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知甲：m2(b－a)＞0，乙：b＞a，则甲是乙的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由甲：m2(b－a)＞0，可得m2＞0，所以b＞a.可得乙成立.反之不成立，m＝0时，由乙推不出甲.则甲是乙的充分不必要条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知命题p：－1＜x＜1，命题q：x≥－2，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 依题意可知p⇒q成立，反之不成立.即p是q的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是 A.n＝4 B.n＝－5 C.n＝－1 D.n＝－12 √ 函数y＝x2＋4x＋n的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解，则满足02＋4×0＋n＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数解的充分不必要条件可以是B，C，D.故选BCD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列结论中正确的是 A.“｜x｜＞2”是“x＜－2”的必要不充分条件 B.在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要 条件 C.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＜－2⇒｜x｜＞2，但｜x｜＞2⇔x＞2或x＜－2.故A正确；AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B或C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误；a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确；当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件. 充要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若a，b是实数，则“a＋b＞0，且ab＞0”的充要条件为_____________. 当ab＞0时可得a，b符号相同.又因为a＋b＞0，所以a＞0，b＞0.当a＞0，且b＞0时，a＋b＞0，且ab＞0显然成立.故“a＋b＞0，且ab＞0”的充要条件为a＞0，且b＞0. a＞0，且b＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空. (1)“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的_________； 设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件. 充要条件 (2)“x＜2 026”是“x＜2 025”的_________________. 必要不充分条件 设A＝{x｜x＜2 026}，B＝{x｜x＜2 025}，因为B⫋A，所以“x＜2 026”是“x＜2 025”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是 A.a，b都为1 B.a，b都不为1 C.a，b中至少有一个为1 D.a，b都不为0 √ 由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设全集为U，则下列选项中，是B⊆A的充要条件的有 A.A∪B＝A B.(∁UA)∩B＝⌀ C.(∁UB)⊆(∁UA) D.A∪(∁UB)＝U √ √ √ 对于A，当A∪B＝A时，B⊆A，当B⊆A时，A∪B＝A，所以A∪B＝A是B⊆A的充要条件，故A正确；对于B，当(∁UA)∩B＝⌀时，B⊆A，当B⊆A时，(∁UA)∩B＝⌀，所以(∁UA)∩B＝⌀是B⊆A的充要条件，故B正确；对于C，当(∁UB)⊆(∁UA)时，A⊆B，故C错误；对于D，当A∪(∁UB)＝U时，B⊆A，当B⊆A时，A∪(∁UB)＝U，所以A∪(∁UB)＝U是B⊆A的充要条件，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多空题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是_________； ①②③ ①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0 或④ab＞0⇔则a，b都不为0. “a，b都为0”的必要条件是①②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)“a，b都不为0”的充分条件是____； ④ ①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0 或④ab＞0⇔则a，b都不为0. “a，b都不为0”的充分条件是④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是_______. ① ①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0 或④ab＞0⇔则a，b都不为0. “a，b至少有一个为0”的充要条件是①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知P＝，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}. (1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：要使x∈P是x∈S的充要条件，需使P＝S， 即此方程组无解， 故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S⊆P. 当S＝⌀时，1－m＞1＋m，解得m＜0，满足题意； 当S≠⌀时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S⊆P，则有解得m≤0，所以m＝0. 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新定义)设m，n∈R，当mn≥0时，mⓧn＝m＋n；当mn＜0时，mⓧn＝｜m＋n｜.例如：－6ⓧ4＝2，则“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“aⓧb＝－1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0时，ab＝0.由mn≥0时，mⓧn＝m＋n知，aⓧb＝－1＋0＝－1.当aⓧb＝－1时，根据定义可知ab≥0，所以a＋b＝－1，故只要满足ab≥0且a＋b＝－1即可，所以“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“aⓧb＝－1”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°. 证明：充分性： 因为A＝90°， 所以方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0， 所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0， 所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0， 所以该方程有两个根：x1＝－(a＋c)， x2＝－(a－c)， 同理，另一个方程x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0， 所以x2＋2cx＋(c＋a)(c－a)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以该方程有两个根：x3＝－(a＋c)， x4＝－(c－a)， 可以发现x1＝x3， 所以这两个方程有公共根. 必要性： 设α是两方程的公共根， 则 由①＋②得2α2＋2α(a＋c)＝0. 若α＝0，由①式得到b2＝0，即b＝0，矛盾， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 所以α≠0， 所以α＝－(a＋c)， 代入①式得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，整理得c2＋b2＝a2，所以A＝90°. 综上，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第一章　集合与常用逻辑用语 返回 $