1.1 第2课时 集合的表示-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.1　集合的概念 第2课时　集合的表示 　 第一章　单元学习一　集合 学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合，提升数学抽象与数学运算的核心素养. 任务一　列举法 1 任务二　描述法 2 任务三　集合与方程的综合问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　列举法 返回 (阅读教材P3—5，完成探究问题1) 问题1．观察下面两个集合： ①中国的“五岳”组成的集合M； ②小于6的正整数构成的集合N. (1)上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？ 提示：能.集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5. 问题导思 (2)上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？ 提示：列举法.M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}；N＝{1，2，3，4，5}. 1.列举法 把集合的所有元素__________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做________. 2.用列举法表示的集合的结构 新知构建 一一列举 列举法 一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 提示：不用考虑元素的顺序. 微思考 用列举法表示集合的关注点 (1)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，也可以用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.(2)集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 微提醒 (链教材P3例1)用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； 解：不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10， 所以A＝{0，2，4，6，8，10}. (2)小于8的质数组成的集合B； 解：小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}. 典例1 (3)方程x2＝x的实数根组成的集合C； 解：由x2＝x，得x＝0或x＝1， 所以方程x2＝x的实数根组成的集合C＝{0，1}. (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解：由 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}. 规律方法 用列举法表示集合的步骤 第一步：求出集合的元素； 第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 第三步：用花括号括起来. 注意　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}. 对点练1．用列举法表示下列集合： (1)大于2且小于8的整数组成的集合A； 解：因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，所以集合A＝{3，4，5，6，7}. (2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B； 解：因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2， 所以集合B＝{1，2}. (3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C. 解：将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1. 所以直线与y轴的交点为(0，1)， 故集合C＝{(0，1)}. 返回 任务二　描述法 返回 (阅读教材P3—5，完成探究问题2) 问题2．你能用列举法表示不等式x－7＜3的解集吗？如果不能，该如何表示不等式x－7＜3的解集呢？ 提示：不等式x－7＜3的解是x＜10，因为满足x＜10的实数有无数个，所以x－7＜3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x＜10，把解集表示为{x∈R｜x＜10}. 问题导思 1.描述法 设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为_____________，这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线，写成______________或_____________. 新知构建 {x∈A｜P(x)} {x∈A：P(x)} {x∈A；P(x)} 2.用描述法表示的集合的结构 用描述法表示集合的注意点 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}.(2)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的.(3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应为{x∈Z｜x＝2m，m∈N*}.(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x｜x＜－1，或x＞1}. 微提醒 (链教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－7＜2 025的解集A； 解：解2x－7＜2 025得x＜1 016， 所以集合A＝{x｜x＜1 016}. (2)二次函数y＝x2＋1的函数值组成的集合B； 解：函数值组成的集合就是y的取值集合， 所以集合B＝{y｜y＝x2＋1，x∈R}. 典例2 (3)被3除余2的正整数的集合C； 解：被3除余2的正整数可以表示为3n＋2(n∈N)，所以集合C＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}. (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合D. 解：平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0，所以集合D＝{(x，y)｜xy＝0，x∈R，y∈R}. 规律方法 用描述法表示集合的两个步骤 对点练2．用描述法表示下列集合： (1)小于10的非负整数构成的集合； 解：小于10的非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z｜0≤x ＜10}. (2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； 解：数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x｜｜x｜＞3}. (3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； 解：平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)｜xy＜0}. (4)集合{1，3，5，7，…}. 解：集合{1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}. 返回 任务三　集合与方程的综合问题 返回 若集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A. 解：若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根. 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}. 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意. 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}. 典例3 变式探究 1.(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围. 解：由题意得 解得k＜1，且k≠0. 所以k的取值范围为{k｜k＜1，且k≠0}. 2.(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值集合. 解：①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没 有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解 得k＞1. 综上，实数k的取值集合为{k｜k＝0，或k≥1}. 规律方法 求解集合与方程的综合问题应关注三点 1.弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根. 2.当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论. 3.求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 对点练3．(双空题)已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝_____，b＝_____. 5 　6 由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系 得因此a＝5，b＝6. 返回 课堂小结 任务再现 (1)列举法.(2)描述法.(3)集合与方程的综合问题 方法提炼 分类讨论 易错警示 (1)列举法与描述法的乱用.(2)涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程 随堂评价 返回 1.集合的另一种表示形式是 A. B. C. D. √ 因为x∈N*，又x－2＜3，得x＜5，故x的可能取值为1，2，3，4.故选B. 2.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是 A.{x｜x≤－3，或x≥3} B.{x｜－3≤x≤3} C.{x｜x≤－3} D.{x｜x≥3} √ 在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足｜x｜≤3，即－3≤x≤3，因此所求的集合为{x｜－3≤x≤3}.故选B. 3.(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是 A.M＝，P＝ B.M＝，P＝ C.M＝，P＝{x＝t2＋1，t∈R} D.M＝，P＝{y＝x2－1，x∈R} 对于A，M＝是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；对于B，表示不同的点，故M≠P；对于C，M＝＝{y｜y≥1}，P＝＝{x｜x≥1}，故M＝P；对于D，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有y组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故M≠P.故选ABD. √ √ √ 4.(易错题)已知集合A＝{x｜(a－1)x2＋3x－2＝0}是单元素集，则实数a的 取值集合为__________. 由集合A＝{x｜(a－1)x2＋3x－2＝0}是单元素集，可得方程(a－1)x2＋3x－2＝0只有一个解，当a－1＝0，即a＝1时，方程为3x－2＝0，解得x＝，此时A＝，符合题意；当a－1≠0，即a≠1时，则满足Δ＝9－4(a－1)×(－2)＝0，解得a＝－，综上可得，实数a的取值集合为. 返回 课时分层评价 返回 1.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{x∈Z｜－3＜x＜11} B.{x｜－3＜x＜11} C.{x｜－3＜x＜11，x＝2k} D.{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} 由题意可知，满足题设条件的只有选项D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.方程组的解构成的集合是 A.(1，1) B.{1，1} C. D. √ 由方程组解得x＝1，y＝1.所以方程组 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知集合S＝，T＝{(x，y)｜x＋y＝0}，下列关系正确的是 A.－2∈S B.∉T C.－1∉S D.∈T √ 因为S＝＝，故A，C错误；因为2＋＝0，所以∈T，故B错误；又－1＋1＝0，所以∈T，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若集合A＝，B＝，则B中的元素个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 依题意可得B＝，则B中的元素个数为5.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)给出下列说法，其中正确的是 A.集合{x∈N｜x3＝x}用列举法表示为{0，1} B.实数集可以表示为{x｜x为所有实数}或{R} C.方程组的解组成的集合为 D.方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由x3＝x，得x＝0或x＝1或x＝－1，而－1∉N，因此集合{x∈N｜x3＝x}用列举法表示为{0，1}，故A正确；对于B，集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集可以表示为{x｜x为实数}或R，故 B不正确；对于C，方程组的解是有序实数对，而集合 表示两个等式组成的集合，故C不正确；对于D，由(x －2)2＋(y＋3)2＝0，得x＝2且y＝－3，则所有解组成的集合为{(2，－3)}， 故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)集合A＝，集合A还可以表示为 A. B. C. D. √ √ √ A＝＝.对于A，不符合；对于B，＝{x｜x(x－1)(x－2)＝0}＝，符合；对于C，符合；对于D，＝，符合.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.将集合{(x，y)｜2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________________ ________. 因为2x＋3y＝16，所以3y＝16－2x＝2(8－x)，且x，y∈N，所以y为偶数且0≤y≤5.当y＝4时，x＝2；当y＝2时，x＝5；当y＝0时，x＝8，所以集合用列举法表示为{(2，4)，(5，2)，(8，0)}. {(2，4)，(5，2)， (8，0)} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为____________________. 因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的集合用描述法可表示为{x｜x＝3k＋1，k∈N}. {x｜x＝3k＋1，k∈N} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若集合A＝中有两个元素，则实数m的取值范围 为_____________________. 依题意，方程mx2＋2x＋2＝0有两个不等的实根，则m≠0且Δ＝22－4m×2＞0，解得m＜且m≠0，所以实数m的取值范围为{m｜m＜，且m≠0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)用适当的方法表示下列集合： (1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合； 解：方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x(x2－2x－3)＝0}. (2)大于2且小于6的有理数组成的集合； 解：由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)图中阴影部分的点(含边界)的集合. 解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b｜a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为 A.5 B.6 C.8 D.9 √ A＝{1，2，3}，B＝{a－b｜a∈A，b∈A}.当a＝b时，则a－b＝0，当a＞b时，a－b＝1或a－b＝2，当a＜b时，a－b＝－1或a－b＝－2.所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知集合A＝，则A中元素的个 数为 A.4 B.5 C.8 D.9 √ 因为x2＋y2≤ ，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，原式为1＋y2≤，又y∈Z，所以y＝0；当x＝0时，原式为y2≤，又y∈Z，所以y＝－1或y＝0或y＝1；当x＝1时，原式为1＋y2≤，又y∈Z，所以y＝0.所以A＝，共有5个元素.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(新定义)定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}.设集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，则集合A☉B的所有元素的平均数为 A.14 B.15 C.16 D.17 √ 根据题意，A☉B＝{z｜z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，且集合A＝{0，3}，B＝{1，2}，当x＝0，y＝1或2时，都有z＝0；当x＝3，y＝1时，有z＝3×1×(3＋1)＝12；当x＝3，y＝2时，有z＝3×2×(3＋2)＝30，则A☉B＝{0，12，30}，其平均数为＝14.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知A＝{x｜3x2－mx＋2m＜0}. (1)若3∈A，求实数m的取值范围； 解：由3∈A，得27－3m＋2m＜0， 解得m＞27，所以实数m的取值范围为{m｜m＞27}. (2)若0∈A且1∈A，求实数m的取值范围. 解：因为0∈A，且1∈A， 所以解得m＜－3， 所以实数m的取值范围为{m｜m＜－3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)(新定义)设集合S中的元素均为实数，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集.下列命题正确的是 A.自然数集N为封闭集 B.整数集Z为封闭集 C.集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集 D.若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，取1，2∈N，则1＋2∈N，1－2＝－1∉N，故自然数集N不是封闭集；对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集；对于C，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2，a1，b1，a2，b2都是整数，则a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，故x＋y＝a1＋a2＋(b1＋b2)∈S，同理x－y＝a1－a2＋(b1－b2)∈S，xy＝(a1＋b1)(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，故集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集，故C正确；对于D，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，则0－1＝－1∈S，1＋2＝3∈S，依此类推可得所有整数都属于S，则S一定为无限集，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)(新定义)已知n元有限集A＝(n≥2，n∈Z)，若a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1×a2×a3×…×an，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； 解：不妨令A＝，此时3＋＝3×，满足要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 解：设正整数集A＝为“三元和谐集”，则a1a2a3＝a1＋a2＋a3， 不妨设a1＜a2＜a3，则a1a2a3＝a1＋a2＋a3＜3a3，解得a1a2＜3， 因为a1，a2∈N*，故只有a1＝1，a2＝2满足要求， 综上，A＝满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第一章　集合与常用逻辑用语 返回 $