1.1 第1课时 集合的概念-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 　 第一章　单元学习一　集合 本章内容属于“预备知识”，集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.基于上述因素，本章共分两个单元整体设计：“集合”与“常用逻辑用语”，学习计划10课时.在此过程中，进一步提升学生的数学抽象、数学运算的核心素养. 本单元集合知识是现代数学和高中数学的基础，通过实例学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；学会用集合的语言简洁地、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流数学问题，学习课时5课时. 单元整体设计 本单元内容重点是元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合；集合间包含与相等的含义，并集与交集的含义，用集合语言表达数学对象或数学内容.难点是用描述法表示集合；对相似概念及符号的理解，例如区别元素与集合、属于与包含等概念及其符号表示；补集的含义.在研究过程中，积累抽象思维的经验，提升数学抽象、数学运算的核心 素养. 单元整体设计 学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，培养数学抽象的核心素养. 2.利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系，培养逻辑推理的核心素养. 3.识记常见数集的表示符号. 任务一　元素与集合 1 任务二　集合中元素的特征 2 任务三　元素与集合的关系 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　元素与集合 返回 问题导思 (阅读教材P2，完成探究问题1) 问题1．看下面的几个例子： ①平面内到定点O的距离等于2的所有的点； ②方程x2－1＝0的所有实数根； ③1～10之间的所有偶数； ④地球上的四大洋. (1)以上各语句中所研究的对象分别是什么？ 提示：以上各语句中所研究的对象分别为：平面内到定点O的距离等于2的所有的点的轨迹；±1；2，4，6，8，10；太平洋，印度洋，大西洋，北冰洋. (2)以上各语句中的研究对象确定吗？研究的对象有相同的吗？ 提示：研究对象确定.研究的对象没有相同的. 新知构建 1.元素 2.集合 研究对象 总体 微提醒 (1)集合中的元素可以为数、点、图形、人或物等.(2)组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个，含有有限个元素的集合为有限集，含有无限个元素的集合为无限集. 对于A，因为北京大学2025级大一新生是确定的，所以能构成集合，故A正确；对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，故B正确；对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，故C错误；对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，故D正确.故选ABD. √ (多选)下列各组对象能构成集合的有 A.北京大学2025级大一新生 B.我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C.体型庞大的海洋生物 D.唐宋八大家 典例1 √ √ 选项A中的“难题”的标准不明确，不能组成集合；选项C中“性格开朗”的标准不好确定，不能组成集合.其他选项都能构成集合.故选BD. √ √ 对点练1．(多选)下列元素的全体能组成集合的是 A.某套适应性测试卷中的所有难题 B.中国文学四大名著 C.学校里性格开朗的学生 D.我国的直辖市 返回 任务二　集合中元素的特征 返回 问题导思 (阅读教材P2—4，完成探究问题2、3) 问题2．单词“deepseek”(深度求索)中的字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，该集合中有几个元素？ 提示：能组成一个集合.集合中的元素有6个. 问题3．分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？ 提示：两个集合相等.集合中的元素没有先后顺序. 新知构建 1.集合中元素的特征：________、互异性与________. 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是________，则称两个集合相等. 确定性 无序性 一样的 (1)已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 典例2 √ 因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两互不相等.故选D. (2)集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与集合Q是相等的，则a＝______. ±2 由题意得a2＝4，a＝±2. 变式探究　(变条件、变设问)若将本例(2)条件改为“若集合Q中含有两个元素1和a2”，则a的取值范围为________. a≠±1 由集合中的元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1. 规律方法 判断两个集合相等的注意点 　　若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等. 对点练2．设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝____. 由题意知，a≠0，所以a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所 以a＋2b＝1. 1 返回 任务三　元素与集合的关系 返回 问题导思 (阅读教材P2—3，完成探究问题4) 问题4．若李明是高一(1)班的一名同学，刘多多是高一(2)班的一名同学.那么这两名同学与高一(1)班这个班集体之间分别有什么关系？ 提示：因为李明是高一(1)班的同学，所以他属于高一(1)班这个班集体；刘多多是高一(2)班的同学，所以他不属于高一(1)班这个班集体. 新知构建 1.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A _______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A _______ a不属于集合A a∈A a∉A 微思考 如果平面直角坐标系内所有的点组成的集合为A，那么2∈A，(1，2)∈A都成立吗？ 提示：不都成立.构成集合A的元素是点，不是数，故2∉A，(1，2)∈A. 2.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 微提醒 (1)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向. (2)集合N中的元素是0和正整数，集合N*或N＋中的元素是正整数. (1)(链教材P5练习T2)下列说法正确的有 ①1∈N；② ∉N*；③∈Q；④3＋∈R；⑤π∈Q A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 典例3 1是自然数，故1∈N，故①正确；不是正整数，故∉N*，故②正确；是有理数，故∈Q，故③正确；3＋是实数，故3＋∈R，故④正确；π是无理数，故π∉Q，故⑤错误.所以正确的说法有①②③④共4个.故选D. √ (2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为_____. －1 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素1，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. 变式探究　(变条件)若去掉本例(2)中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为集合A中含有两个元素a和a2， 所以a≠a2，即a≠0且a≠1. 规律方法 判断元素和集合之间关系的方法 1.直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可. 2.推理法：首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可. 因为2＝，所以2∉B.因为1＋＜3＜，所以1＋∈B. 对点练3．用符号“∈”或“∉”填空： (1)设集合B是小于的所有实数组成的集合，则2_____B，1＋_____B； ∉ ∈ 因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1不是有序实数对，所以－1∉D.因为(－1)2＝1，所以(－1，1)是满足方程y＝x2的有序实数对，所以(－1，1)∈D. (2)设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1____D，(－1，1)_____D. ∉ ∈ 因为2∈A，所以2×2＋a＞0，即a＞－4. 对点练4．已知集合A中元素x满足2x＋a＞0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围是__________. a＞－4 课堂小结 任务再现 (1)元素与集合的概念.(2)集合中元素的特征.(3)元素与集合的关系.(4)常用数集的记法 方法提炼 直接法、推理法、分类讨论 易错警示 自然数集N中易遗忘元素0 返回 随堂评价 返回 对于A，比较出名的标准不清，故不能构成集合；对于B，x－2＝0⇒x＝2，方程根确定，可构成集合；对于C，所有的自然数可构成自然数集N；对于D，所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选BCD. √ √ √ 1.(多选)下列对象中能构成一个集合的是 A.某校比较出名的教师 B.方程x－2＝0的根 C.所有的自然数 D.所有锐角三角形 根据常见数集的表示可知，∈Q，∉Q，0∉N*，－5∈Z，故A，D正 确，B，C错误.故选AD. √ √ 2.(多选)下列结论正确的是 A.∈Q B.∈Q C.0∈N* D.－5∈Z 这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.故选C. √ 3.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 因为集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－或a＝±1.当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足集合中元素的互异性，舍去.综上，实数a的值为－或1. 4.已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为____ _____. － 或1 返回 课时分层评价 返回 对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合；对于B，π的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合；对于C，(2 024，2 025)和(2 025，2 024)表示两点，且其坐标不一样，能构成一个集合；对于D，“2024年参加巴黎奥运会的全体运动员”可以组成集合.故选B. √ 1.下列对象不能组成集合的是 A.不超过20的质数 B.π的近似值 C.(2 024，2 025)和(2 025，2 024)可以构成一个集合 D.2024年参加巴黎奥运会的全体运动员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是 A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，｜－｜构成的集合 B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是 A.1∈M B.0∈M C.－1∈M D.－2∈M 由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故－1∈M.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选C. √ 4.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是 A.2∈A，且2∈B B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B C.2∈A，且(3，10)∈B D.(3，10)∈A，且2∈B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)下列说法正确的是 A.N*中最小的数是1 B.若－a∉N*，则a∈N* C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 因为N*表示正整数集，容易判断A，C正确；对于B，若a＝，则满足－ a∉N*，但a∉N*，故B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以解集中只有1个元素，故D错误.故选AC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值组成的集合A，下列判断正确的是 A.－2∈A B.0∉A C.－4∈A D.4∈A 依题意，当x，y，z都为正数，代数值等于4；当x，y，z中只有一个负数两个正数，代数值为0；当x，y，z中只有一个正数两个负数，代数值为0；当x，y，z都为负数，代数值为－4.故C，D正确，A，B错误.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为x∈N，且∈N，则x＝1. 7.若x∈N，且∈N，则x＝____. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(多空题)集合A中的元素x满足x＝m＋n(m，n∈Z).x1＝－，x2＝，x3＝(1－2)2与集合A的关系分别为x1_____A，x2_____A，x3_____A.(填“∈”或“∉”) x1＝－＝0＋(－1)×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x2＝＝ ＝1＋，因为1∈Z，∉Z，所以x2∉A；x3＝(1－2)2＝9－4＝9＋(－4)×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A. ∈ ∉ ∈ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 026＋b2 025的值为____. 由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以＝0，所以b＝0，所 以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 026＋b2 025＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合. (1)0是否是集合A中的元素？ 解：将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素. (2)若－5∈A，求实数a的值. 解：若－5∈A，则有(－5)2－(－5)a－5＝0，解得a＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.由实数x，－x，｜x｜，，－所组成的集合，其元素的个数最多为 A.2 B.3 C.4 D.5 当x＞0时，x＝｜x｜＝，－＝－x，此时集合中共有2个元素； 当x＝0时，x＝｜x｜＝＝－＝－x＝0，此时集合中共有1个元素；当x＜0时， ＝｜x｜＝－＝－x，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2个元素.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.由a2，2－a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是 A.－1 B.1 C. D.2 由题意由a2，2－a，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为a2＝2－a＝3无解，故由a2，2－a，3组成的集合A的元素个数为3，故a2≠2－a≠3，即a≠－2，a≠1，a≠－1，a≠±，即a可取2，即A，B，C错误，D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知集合A中元素满足2x－a＞0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为__________. 2≤a＜4 因为1∉A，2∈A，所以即2≤a＜4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)(开放题)集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值；若不能，则说明理由. 解：因为9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去. 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去. 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意. 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断中，正确的有 A.－1∉A B.∈A C.若x，y∈A，则xy∈A D.若x，y∈A，则x－y∈A √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，假设－1∈A，则令x＝y＝－1，则＝1∈A，令x＝－1，y＝1， 则x＋y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，所以－1∉A， 故A正确；对于B，由题意，1∈A，则1＋1＝2∈A，2＋1＝3∈A，…， 2 024∈A，2 025∈A，所以∈A，故B正确；对于C，因为1∈A， x∈A，所以∈A，因为y∈A，∈A，所以＝xy∈A，故C正确；对于 D，因为1∈A，2∈A，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1∉A，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)(新定义)已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A. (1)若a＝－3，求出A中其他所有元素； 解：由题意，可知－3∈A， 则＝－∈A，＝∈A，＝2∈A，＝－3∈A， 所以A中其他所有元素为－，，2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A，再求出A中的所有 元素？ 解：假设0∈A，则＝1∈A， 而当1∈A时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素. 取a＝3，则＝－2∈A，＝－∈A，＝∈A，＝3∈A， 所以当3∈A时，A中的元素是3，－2，－，. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)根据(1)(2)，你能得出什么结论？ 解：猜想：A中没有元素－1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数. 由(2)知0，1∉A， 若－1∈A，则＝0∈A，与0∉A矛盾， 则有－1∉A，即－1，0，1都不在集合A中. 若实数a1∈A，则＝a2∈A，a3＝＝＝－∈A， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a4＝＝＝＝－∈A，a5＝＝＝a1∈A. 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素a1，a2，a3，a4且a1a3＝－1，a2a4＝－1. 显然a1≠a2，否则a1＝， 即＝－1，无实数解. 同理，a1≠a4，即A中有4个元素. 所以A中没有元素－1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第一章　集合与常用逻辑用语 返回 $