专题12.4 等腰三角形（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.4 等腰三角形 1.等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定定理（等角对等边）的理解与应用（重点） 2.等腰三角形分类讨论的基本思路：已知角时分 “顶角 / 底角”，已知边时分 “腰 / 底边”，并能验证结果的合理性（内角和、三边关系）（重点） 3.等腰三角形与等边三角形的关系：明确等边三角形的特殊性，掌握等边三角形的判定条件（重点） 4.“三线合一” 的正确应用：学生易忽略 “针对底边和顶角” 的前提，将 “腰上的线”“底角的平分线” 误当作三线合一的对象。（难点） 5.“等角对等边” 中 “同一三角形” 前提的理解：学生易将不同三角形的等角与等边关联（难点） 6.等腰三角形性质与判定的综合应用：在复杂图形（如含多个等腰三角形、结合全等）中，难以找到 “边 / 角的等量关系”，无法灵活运用性质和判定解题（难点） 知识点1 等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 几何语言言:如图，在中为等腰三角形 2.相关概念 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 1.确定等腰三角形的两条腰时，,应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关 2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角 知识点2 等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 2.性质1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”) 几何语言:如图在中 3.辅助线 在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.辅助线通常作成虚线 适用条件：必须在同一个三角形中 “等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便， 4.性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.简写成“等腰三角形的三线合一 几何语言:如图在中 适用条件：1.必须是等腰三角形:2.必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才重合 作用：是证明线段相等、角相等、线段互相垂直的重要依据 知识点3 等边三角形的定义及性质 1.定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形也称为正三角形. 2.性质(1)等边三角形的三条边都相等 (2)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于6 0° (3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线 (4)等边三角形务边上的高、中线、对应的角平分线重合且长度相等 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质:任意两边都可以作为腰;任意一个角都可以作为顶角 知识点4 等腰三角形的判定 1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边。” 几何语言:如图在中， 2.等腰三角形的性质与判定的异同 相同点:使用的前提都是“在同一个三角形中” 不同点:性质:两边相等一这两边所对的角相等判定:两角相等一这两角所对的边相等 等腰三角形的定义也是一种判定方法，判定定理就是转化为定义再判断，也是证明在同一个三角形中两条线段相等的方法 知识点5 等边三角形的判定 1.判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形 几何语言:如图在中，是等边三角形. 2.判定定理2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言:如图在中，∵（或 或 是等边三角形． 1.在等腰三角形中，只要有一个角是600，无论这个是顶角还是底角，判定定理2 都成立 2.等边三角形的判定方法: (1)若已知三边关系，一般选用定义判定; (2)若已知三角关系，一般选用判定定理1 判定: (3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2 判定 1.从角的角度证明三角形是等边三角形，一是证明三角形的三个内角相等:二是求出三角形的三个内角度数都是60° 2.在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形，原等边三角形的三个内角都是60°，为求新三角形的内角度数提供了条件 题型一、等腰三角形的定义 1．（25-26八年级上·甘肃·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，等腰三角形中两个底角相等，此题中一个角是，有可能是顶角，也有可能是底角，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：当为顶角时，底角的度数即为， 当为底角时，底角的度数， 综上所述，它的底角是或， 故选：C． 2．等腰三角形底边长为4，其中一腰的长为9，它的周长是（    ）． A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和周长的计算，由等腰三角形的定义可知，另一个腰长也为9，然后三边相加即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的周长为：， 故选：B 3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解题的关键是读懂题意和分类讨论的数学思想． 根据腰长为8和底边为8，分类进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为8时，底边长为：，此时，三角形的三边为4，8，8，能构成三角形， 则它的“优美比”为； 当底边长为8时，腰长为：，此时，三角形的三边为6，6，8，能构成三角形， 则它的“优美比”为； 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）一个等腰三角形的周长为21，腰长是底边长的3倍，则底边长为 ． 【答案】3 【知识点】等腰三角形的定义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要的知识点是：一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，可设底边长为，则腰长为，则周长为：，从中解出的值，即可求解． 【详解】解：设底边长为，则腰长为， 则周长为：， 解得：， 所以该三角形的三边长为：． 故答案为：3． 题型二、等边对等角 5．在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和直角三角形的性质，由垂直平分线的性质可得，则，再求出，，在中利用直角三角形的性质即可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）已知如图中，，，，已知，则 【答案】/55度 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理求得，再证明得到，利用三角形的外角性质可得． 【详解】解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，在上截取一点，使得，连接，证明，所以，故有， 然后通过等边对等角得， 最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ． 【答案】/36度 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型三、三线合一 9．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一、垂线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 10．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示) 【答案】 【知识点】三线合一、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作于，先根据三角形内角和定理，得出，再得出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，作于， 在中， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、三线合一、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，为的角平分线．，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、三线合一、用SAS证明三角形全等（SAS）、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，再根据即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后根据等腰三角形“三线合一”可得，然后运用角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， 在和中， ， ． （2）解：，为的角平分线， ， ∵． ， ， 为的角平分线， ． ． 题型四、根据等边对等角证明 13．（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等边对等角证明、利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得，，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】根据等边对等角证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，即可根据“等角对等边”证明． 【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据等边对等角证明、直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）先由直角三角形两锐角互余得出，再根据垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，最后根据求解即可； （2）设，则，直接根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，即． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等边对等角，角的和差，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型五、根据三线合一证明 17．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，，是的角平分线，点、分别在、边上，连接、、，若，则下列结论： ①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质， ①证明，证明进而判断③，进而根据三角形三边关系即可判断②，根据三角形的面积关系即可判断④． 【详解】解：∵，，是的角平分线， ∴，，， ∴， ∴，， 在和中， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确． ∵题干中没有条件可证明， ∴无法证明，故②错误． ∵， ∴， ∴ ，故④正确． 综上：①③④正确， 故答案为：①③④． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、根据三线合一证明 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； （2）解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ．    题型六、格点图中画等腰三角形 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； ∵，，， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； 综上所述，点有4个， 故选：D ． 22．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】坐标与图形、格点图中画等腰三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到8个． 故选：D． 23．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 24．在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】画旋转图形、格点图中画等腰三角形、平移(作图) 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求作的三角形；    （2）如图，即为所求作的三角形，    【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 题型七、找出图中的等腰三角形 25．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 26．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 27．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 28．如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、找出图中的等腰三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 题型八、根据等角对等边证明等腰三角形 29．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，、分别平分的内角，外角，连接．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形． 其中正确的结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、角平分线的判定定理、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关判定和性质并进行正确推理是解题的关键． 过点作于，作于，作于，先证明平分，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出即可证明①；利用平行线和角平分线，再结合即可证明②；根据角平分线定义，由②知，结合平角定义即可证明③；根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明，，即可证明④． 【详解】解：①如图，过点作于，作于，作于，    ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， 即， 故②正确； ③∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 31．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，点，在边上，． 求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质与证明，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与证明是解题的关键； 根据等角对等边得出，再根据“”证，即可得出结论； 【详解】证明：在中，， ． 在和中， ． ． 32．如图所示，在中，平分， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟记等腰三角形的判定是解本题的关键； （1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ， ， ， ． 题型九、根据等角对等边证明边相等 33．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．    【答案】10 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将周长转换为是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化为，求出即可． 【详解】解：为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， 周长为， 故答案为：10 34．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 35．如图，D为内一点，平分，，若，则 ．    【答案】5 【知识点】三线合一、根据等角对等边证明边相等 【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 36．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 题型十、根据等角对等边求边长 37．如图，在中，，，，，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 38．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 39．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 40．如图，中，，于D，平分分别与交于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据等角对等边求边长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形； （2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，由此可得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 题型十一、直线上与己知两点组成等腰三角形的点 41．如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点． 则符合条件的点共有5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题关键． 42．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 43．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【知识点】等边对等角、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、三角形的外角的定义及性质 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 44．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 【答案】4 【知识点】坐标与图形、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个； 若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个； 线段的垂直平分线与x轴有1个交点； ∴符合条件的C点有：（个）， 故答案为：4． 题型十二、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 45．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定、坐标与图形综合、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的判定，利用圆的定义作图，掌握等腰三角形的作图是解题的关键．由题意知，是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是，画出图形即可得到结论． 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图： 当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 综上所述，共计有5个符合条件的点C， 故选：B． 46．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、等腰三角形的定义、格点图中画等腰三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图所示： 分三种情况： ①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，， ③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，， 综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键． 47．如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、勾股定理与网格问题 【分析】首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从BA=BC，AB=AC，CA=CB去分析求解即可． 【详解】∵AB=，如图所示： ∴①若BA=AC,则符合要求的有：C1，C2共2个点； ②若CB=AC,则符合要求的有：C3，C4共2个点； ③若CA=CB,则符合要求的有：C5,C6,C7,C8,C9,C10共6个点, 这样的C点有10个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，画“两圆一中垂”即可做到不重不漏，解题关键是分类讨论的数学思想． 48．在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有 个． 【答案】4 【知识点】坐标与图形、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据题意，分三种情况讨论：①为腰且；②为腰且；③ 为底边且，确定符合条件的点个数，再根据，便可得到答案． 【详解】解：如图 ① 为腰且时，可得， ② 为腰且时，可得 ， ③ 为底边且 时，可得 ， ∵ ∴和不符合题意，其它4个都符合题意 故答案为4 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 题型十三、等腰三角形的判定和性质 49．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 50．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 【答案】2 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 51．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型十四、大边对大角问题 52．如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0） 【答案】B 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题应该分几种情况讨论，已知边AB可能是底边，也可能是腰，当AB是底边时，就有两个满足条件的三角形．当AB是腰时再分点A是顶角顶点或点B是顶角顶点两种情况讨论． 【详解】解：由题意得OA＝， 当AB为底边时，B点为（1，﹣1），B点不在x轴上，故不存在； 当AB为腰时，有三种情况，当B点为（-，0），（1，0），（2，0）． 故选B． 【点睛】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 53．已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长． 【答案】周长为16或17. 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、等腰三角形的定义 【分析】由于没有明确腰以及底边，所以从若底边长为5，腰长为6与若底边长为6，腰长为5，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当底边为5，两腰为6时； 周长为：5+6+6＝17 ②当底边为6，两腰为5时； 周长为：5+5+6＝16 故答案为16或17. 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 54．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【知识点】含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、等边三角形的性质、大（小）边对大（小）角定理 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 十五、等边三角形的性质 55．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 56．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得， ，    ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 57．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可． 【详解】证明：为等边的中线，   ， ， ， 【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键． 58．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 十六、等边三角形的判定 59．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定、因式分解的应用 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 60．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵在中，是高，点是边的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． 61．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【知识点】等边三角形的判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 62．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定、根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 十七、等边三角形的判定和性质 63．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ∵是等边三角形，， ， ∴，， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 64．如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O．    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 65．在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【详解】（1）， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 66．【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 2 / 59 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.4 等腰三角形 1.等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）与判定定理（等角对等边）的理解与应用（重点） 2.等腰三角形分类讨论的基本思路：已知角时分 “顶角 / 底角”，已知边时分 “腰 / 底边”，并能验证结果的合理性（内角和、三边关系）（重点） 3.等腰三角形与等边三角形的关系：明确等边三角形的特殊性，掌握等边三角形的判定条件（重点） 4.“三线合一” 的正确应用：学生易忽略 “针对底边和顶角” 的前提，将 “腰上的线”“底角的平分线” 误当作三线合一的对象。（难点） 5.“等角对等边” 中 “同一三角形” 前提的理解：学生易将不同三角形的等角与等边关联（难点） 6.等腰三角形性质与判定的综合应用：在复杂图形（如含多个等腰三角形、结合全等）中，难以找到 “边 / 角的等量关系”，无法灵活运用性质和判定解题（难点） 知识点1 等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 几何语言言:如图，在中为等腰三角形 2.相关概念 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 1.确定等腰三角形的两条腰时，,应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关 2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角 知识点2 等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 2.性质1 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”) 几何语言:如图在中 3.辅助线 在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.辅助线通常作成虚线 适用条件：必须在同一个三角形中 “等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便， 4.性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.简写成“等腰三角形的三线合一 几何语言:如图在中 适用条件：1.必须是等腰三角形:2.必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才重合 作用：是证明线段相等、角相等、线段互相垂直的重要依据 知识点3 等边三角形的定义及性质 1.定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形也称为正三角形. 2.性质(1)等边三角形的三条边都相等 (2)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于6 0° (3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线 (4)等边三角形务边上的高、中线、对应的角平分线重合且长度相等 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质:任意两边都可以作为腰;任意一个角都可以作为顶角 知识点4 等腰三角形的判定 1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边。” 几何语言:如图在中， 2.等腰三角形的性质与判定的异同 相同点:使用的前提都是“在同一个三角形中” 不同点:性质:两边相等一这两边所对的角相等判定:两角相等一这两角所对的边相等 等腰三角形的定义也是一种判定方法，判定定理就是转化为定义再判断，也是证明在同一个三角形中两条线段相等的方法 知识点5 等边三角形的判定 1.判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形 几何语言:如图在中，是等边三角形. 2.判定定理2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言:如图在中，∵（或 或 是等边三角形． 1.在等腰三角形中，只要有一个角是600，无论这个是顶角还是底角，判定定理2 都成立 2.等边三角形的判定方法: (1)若已知三边关系，一般选用定义判定; (2)若已知三角关系，一般选用判定定理1 判定: (3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2 判定 1.从角的角度证明三角形是等边三角形，一是证明三角形的三个内角相等:二是求出三角形的三个内角度数都是60° 2.在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形，原等边三角形的三个内角都是60°，为求新三角形的内角度数提供了条件 题型一、等腰三角形的定义 1．（25-26八年级上·甘肃·期中）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A． B． C．或 D．或 2．等腰三角形底边长为4，其中一腰的长为9，它的周长是（    ）． A．17 B．22 C．17或22 D．13 3．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（    ） A． B． C．或2 D．或 4．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段练习）一个等腰三角形的周长为21，腰长是底边长的3倍，则底边长为 ． 题型二、等边对等角 5．在中，已知，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，，则的长是（    ） A． B． C． D．无法计算 6．（25-26八年级上·重庆·期中）已知如图中，，，，已知，则 7．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为 ． 8．如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ． 题型三、三线合一 9．如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示) 11．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，为的角平分线．，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型四、根据等边对等角证明 13．（2024·四川广安·中考真题）如图，在菱形中，点在上，点在上，且，连接，求证：． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证： (1)； (2)． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型五、根据三线合一证明 17．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，中，，，是的角平分线，点、分别在、边上，连接、、，若，则下列结论： ①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在；中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 20．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 题型六、格点图中画等腰三角形 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 23．如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 题型七、找出图中的等腰三角形 25．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 26．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 27．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 28．如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 题型八、根据等角对等边证明等腰三角形 29．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，、分别平分的内角，外角，连接．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形． 其中正确的结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（23-24八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，点，在边上，． 求证：．    32．如图所示，在中，平分， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 题型九、根据等角对等边证明边相等 33．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．    34．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 35．如图，D为内一点，平分，，若，则 ．    36．已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 题型十、根据等角对等边求边长 37．如图，在中，，，，，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4 38．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 40．如图，中，，于D，平分分别与交于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 题型十一、直线上与己知两点组成等腰三角形的点 41．如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 42．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 43．如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    44．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 题型十二、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 45．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 46．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（   ）个． A． B． C． D． 47．如图的网格中，点、在格点上，在网格上找到点，使为等腰三角形，这样的点共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 48．在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有 个． 题型十三、等腰三角形的判定和性质 49．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 51．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 题型十四、大边对大角问题 52．如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0） 53．已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长． 54．如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 十五、等边三角形的性质 55．如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 56．如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    57．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    58．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 十六、等边三角形的判定 59．已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 60．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 61．如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． (1)求证：． (2)若，猜想的形状并证明． 62．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 十七、等边三角形的判定和性质 63．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（    ） A． B． C． D． 64．如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 65．在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F．    (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 66．【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．    【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 2 / 59 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $