5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦简单的三角恒等变换核心知识点，以二倍角公式为基础推导半角的正弦、余弦、正切公式，构建“二倍角公式变形→半角公式推导→三角函数式化简与证明→积化和差及和差化积公式应用”的学习支架，通过问题链引导学生逐步掌握公式推导逻辑与应用方法。 资料以任务驱动设计学习过程，通过“问题探究—公式推导—例题解析—方法提炼—分层练习”环节，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养。例如半角公式推导中运用换元思想转化角的关系，化简证明强调变角、变名、变式策略，课中辅助教师实施分层教学，课后通过课时分层评价帮助学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

5.5.2　简单的三角恒等变换 第1课时　简单的三角恒等变换(一) 学习目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. 2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题. 3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　半角公式 (阅读教材P225，完成探究问题1、2) 问题1.如何用cos 2α表示sin2α，cos2α，tan2α？ 提示：sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)，tan2α＝. 问题2.如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？ 提示：在上述问题1中，以角“”代替“α”，可得sin2＝(1－cos α)，cos2＝(1＋cos α)，tan2＝. 半角公式 学生用书⬇第180页 [微提醒]　半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. (链教材P226练习T2)已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值. 解：因为π＜α＜，sin α＝－，所以cos α＝－，且＜＜，所以sin ＝＝， cos ＝－＝－，tan ＝＝－2. 利用半角公式求值的思路 1.看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. 2.明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 3.选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算. 对点练1.已知sin α＝－，则tan ＝　　　　. 答案：－或－2 解析：因为sin α＝－，所以cos α＝±.若cos α＝，则tan ＝＝＝－；若cos α＝－，则tan ＝＝＝－2. 任务二　三角函数式的化简 已知π＜α＜，化简：. 解：由π＜α＜，得＜＜， 所以cos ＜0，sin ＞0. 故原式＝＝ ＝－(sin ＋cos )＝－sin(). 化简问题中的“三变” 1.变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. 2.变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. 3.变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等. 对点练2.化简：. 解：原式＝ ＝＝ ＝＝tan 2α. 学生用书⬇第181页 任务三　三角函数式的证明 (链教材P226练习T1)求证：tan －tan ＝. 证明：左边＝tan －tan ＝－＝ ＝＝ ＝＝＝右边. 所以原等式成立. 三角恒等式证明的常用方法 1.执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. 2.左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. 3.拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. 4.比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 5.分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 对点练3.求证：＝sin 2α. 证明：法一：左边＝ ＝＝ ＝＝cos αsin cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边. 所以原等式成立. 法二：左边＝＝cos2α·＝cos2αtan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边. 所以原等式成立. [教材拓展9]　积化和差、和差化积公式 1.积化和差 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 2.和差化积 sin θ＋sin φ＝2sincos； sin θ－sin φ＝2cossin； cos θ＋cos φ＝2coscos； cos θ－cos φ＝－2sinsin. 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，y，它们都体现了化归思想. 求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°－cos 2°； (2)cos＋cos－2sincos； (3)sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°. 解：(1)cos 29°cos 31°－cos 2° ＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2° ＝cos 60°＋cos(－2°)－cos 2°＝. (2)cos＋cos －2sincos ＝2cos·cos－cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0. (3)法一：sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° ＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋[sin 70°＋sin(－30°)] ＝(cos 100°－cos 40°＋sin 70°) ＝(－2sin 70°sin 30°＋sin 70°) ＝(－sin 70°＋sin 70°) ＝. 法二：sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° ＝(1－cos 40°)＋cos 50°(cos 50°＋sin 20°) ＝(1－cos 40°)＋cos 50°(sin 40°＋sin 20°) ＝(1－cos 40°)＋cos 50°·2sin 30°cos 10° ＝(1－cos 40°)＋cos 50°cos 10° ＝(1－cos 40°)＋(cos 60°＋cos 40°) ＝. 任务再现 (1)半角公式.(2)三角函数式的化简.(3)三角函数式的证明 方法提炼 转化与化归法、换元法、三角函数的证明方法 误区警示 半角公式符号的判断 学生用书⬇第182页 1.若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：由题意知∈(0，)，所以cos ＞0.所以cos ＝＝.故选C. 2.已知sin θ＝－，3π＜θ＜，则tan 的值为(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 答案：B 解析：因为3π＜θ＜，sin θ＝－，所以cos θ＝－，tan ＝＝－3.故选B. 3.若θ∈［，］，sin 2θ＝，则sin θ＝　　　　. 答案： 解析：由θ∈［，］可得2θ∈［，π］，易得cos 2θ＝－＝－.所以sin θ＝＝. 4.已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan ＝　　　　. 答案：2 解析：由题意，得(sin －cos )2＝，则1－sin α＝，所以sin α＝.因为450°＜α＜540°，所以cos α＝－.所以tan ＝＝＝2. 课时分层评价54　简单的三角恒等变换(一) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.已知cos α＝－，＜α＜π，则sin 等于(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：D 解析：由＜α＜π可知＜＜，故sin ＝＝＝.故选D. 2.化简的结果是(　　) A.－cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.－cos 1 答案：C 解析：由于0＜1＜，知cos 1＞0，原式＝＝＝cos 1.故选C. 3.已知sin 2α＝，则cos2(α－)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：cos2(α－)＝［1＋cos(2α－)］＝＝＝.故选D. 4.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 答案：B 解析：sin Asin B＝(1＋cos C)，即2sin Asin B＝1＋cos C＝1－cos(A＋B)，所以2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，故得cos(A－B)＝1.又因为A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形.故选B. 5.(多选)下列各式与tan α相等的是(　　) A. B. C. ·(α∈(0，π)) D. 答案：CD 解析：A不符合，＝＝＝｜tan α｜；B不符合，＝＝tan ；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；D符合，＝＝tan α.故选CD. 6.(多选)已知2sin α＝1＋cos α，则tan 的可能取值为(　　) A. B.1 C.2 D.不存在 答案：AD 解析：由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有cos (2sin －cos)＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在.故选AD. 7.sin＝　　　　. 答案： 解析：sin＝＝＝. 8.tan 20°＋4sin 20°＝　　　　. 答案： 解析：原式＝＋4sin 20° ＝＝ ＝ ＝＝. 9.若cos θ＝－，且θ∈(－π，0)，则cos ＋sin ＝　　　　. 答案：－ 解析：因为cos θ＝－，且θ∈(－π，0)，所以θ∈(－π，－)，则－＜＜－.故cos ＋sin ＝－＝－＝－. 10.(10分)已知＜α＜3π，试化简 ＋cos . 解：因为＜α＜3π，所以＜＜， 所以cos α＜0，sin ＜0. 故原式＝＋cos ＝＋cos ＝＋cos ＝－sin ＋cos . (11—13每小题5分，共15分) 11.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：因为α－β＝，所以α＝＋β.因为cos α＋cos β＝，所以cos(＋β)＋cos β＝，所以cos β－sin β＝.所以cos(α＋β)＝cos(＋2β)＝cos 2(β＋)＝2cos2(β＋)－1＝2(cos β－sin β)2－1＝2×()2－1＝－.故选D. 12.sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°的值为(　　) A.－ B. C. D.－ 答案：B 解析：sin 20°·cos 70°＋sin 10°·sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.故选B. 13.若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝　　　　. 答案： 解析：因为sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，所以2sin cos ＝×(－2)sinsin，所以tan ＝.又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以－＜＜，所以＝，即α－β＝. 14.(10分)已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值. 解：因为α为钝角，且sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 又β为锐角，且sin β＝， 所以cos β＝＝. 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－＝. 由于＜α＜π，0＜β＜，所以0＜α－β＜π， 所以0＜＜，则cos ＞0. 所以cos ＝＝＝. 15.(5分)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝6sin ·cos ＋2(2cos2－1)＝2，所以6sin cos ＋4cos2＝4，则3sin cos ＋2cos2＝2，所以＝＝2，解得tan ＝或tan ＝0(舍去).故选D. 16.(15分)已知sin A＋sin B＋sin C＝0，cos A＋cos B＋cos C＝0，求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝. 证明：由sin A＝－(sin B＋sin C)， cos A＝－(cos B＋cos C)， sin2A＋cos2A＝1， 所以(sin B＋sin C)2＋(cos B＋cos C)2＝1， sin2B＋2sin Bsin C＋sin2C＋cos2B＋2cos Bcos C＋cos2C＝1， 2＋2cos(B－C)＝1， 即cos(B－C)＝－， 所以cos 2A＋cos 2B＋cos 2C＝2cos2A－1＋cos 2B＋cos 2C ＝2cos2B＋2cos2C－1＋4cos Bcos C＋cos 2B＋cos 2C ＝2cos 2B＋2cos 2C＋4cos Bcos C＋1 ＝4cos(B＋C)cos(B－C)＋2[cos(B＋C)＋cos(B－C)]＋1 ＝－2cos(B＋C)＋2cos(B＋C)－1＋1＝0； 所以cos2A＋cos2B＋cos2C ＝ ＝(cos 2A＋cos 2B＋cos 2 C)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $