5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦两角差的余弦公式，以圆的旋转对称性为几何基础，通过单位圆上点的坐标表示及距离关系推导公式，搭建从几何直观到代数运算的学习支架，为后续和差角公式学习奠定基础。 资料亮点在于采用问题链引导探究，如通过单位圆中点的坐标关系自主推导公式，培养数学眼光中的几何直观和数学思维中的逻辑推理。给值求角问题强调角的范围分析，提升数学运算素养，课中助力教师引导学生主动建构知识，课后分层评价帮助学生查漏补缺。

单元学习十五　三角恒等变换 　　[单元整体设计]　本单元内容是整个三角函数体系中的一个重要环节，三角恒等变换中的和、差角公式体现了圆的旋转对称性，即首先利用圆的旋转对称性质推导两角差的余弦公式，然后导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，进而导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，最后利用已有的11个公式进行简单的恒等变换以及三角恒等变换在数学中的应用.基于以上原因，本单元主要内容包括：两角和与差的正弦、余弦和正切公式，简单的恒等变换，学习计划6课时. 本单元内容重点是利用圆的旋转对称性推导两角差的余弦公式，两角和与差的三角函数的其他公式及其内在联系.难点是发现两角和(差)的三角函数与圆的旋转对称性间的联系，认识三角恒等变换的特点，并能解决一些三角恒等变换的问题.在研究的过程中，体会数形结合思想、转化与化归思想的应用，同时也提升数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 学习目标 1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程，培养逻辑推理的核心素养. 2.掌握两角差的余弦公式的应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　两角差的余弦公式 (阅读教材P215－216，完成探究问题1、2) 问题1.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P. 学生用书⬇第171页 P1，A1，P点的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？ 提示：P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，AP＝A1P1. 问题2.利用AP与A1P1的关系及距离公式，你能得到cos(α－β)与单角α，β的三角函数关系吗？ 提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β都是任意角 [微提醒]　(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 求下列各式的值： (1)cos 15°； (2)cos cos ＋cos sin ； (3)cos 105°＋sin 105°. 解：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝＝. (2)原式＝cos cos ＋cossin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos＝cos ＝. (3)原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 两角差的余弦公式常见题型及解法 1.两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. 2.含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. 3.求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解. 对点练1.求下列各式的值： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°； (3)sin ＋cos . 解：(1)原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. (3)原式＝2(sincos) ＝2(sinsin＋coscos) ＝2cos(－)＝2cos ＝. 任务二　给值求值问题 (链教材P216例2)(1)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝(　　) A. B. C. D. (2)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，则cos(α－β)＝　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由α是锐角，sin α＝，得cos α＝＝.因为α，β是锐角，所以α＋β∈(0，π).又cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＝＝.故选B. (2)由题意得sin α＝－＝－＝－，cos β＝－＝－＝－.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋(－)×＝. 给值求值的解题策略 1.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. 2.由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：(1)α＝(α－β)＋β；(2)α＝；(3)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(4)2β＝(α＋β)－(α－β). 学生用书⬇第172页 对点练2.(1)已知sin(α＋)＝，其中－＜α＜，则cos α＝(　　) A. B.－ C. D. (2)若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为－＜α＜，所以－＜α＋＜，所以cos(α＋)＝＝.所以cos α＝cos［(α＋)－］＝cos(α＋)cos ＋sin(α＋)sin ＝＝.故选C. (2)因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝(1－)2①，因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝()2②，①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－，所以－2cos(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 任务三　给值求角问题 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值. 解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝. 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又因为cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝＝＝. 因为β＝α－(α－β)， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＝. 因为0＜β＜，所以β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 第一步：确定角的范围，根据条件确定所求角的范围； 第二步：求所求角的某个三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； 第三步：结合三角函数值及角的范围求角. [注意]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 对点练3.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α＜β，求α＋β. 解：因为cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α＜β， 所以α－β∈，2α∈(0，π)，所以sin(α－β)＝－，sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝×(－) ＝－. 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 任务再现 (1)两角差的余弦公式的推导.(2)给角求值、给值求值、给值求角 方法提炼 构造法、公式法 误区警示 求角时忽视角的范围 1.cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝(　　) A. B. C. D.cos 56° 答案：C 解析：原式＝cos(43°－13°)＝cos 30°＝.故选C. 2.已知角α的终边经过点(，－)，则cos(α－)＝(　　) A. B. C. D.－ 答案：A 解析：由题意得cos α＝，sin α＝－，所以cos(α－)＝cos α＋sin α＝.故选A. 3.已知sin α＝－，α∈(－，0)，则cos(－α)＝　　　　. 答案： 解析：由题意得cos α＝＝＝.所以cos(－α)＝cos cos α＋sin sin α＝×(－)＝. 4.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝　　　　. 答案：－ 解析：因为α，β均为锐角，所以sin α＝，sin β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝.又sin α＜sin β，所以0＜α＜β＜，所以－＜α－β＜0，故α－β＝－. 课时分层评价50　两角差的余弦公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos·cos(x－y)的结果为(　　) A.sin 2x B.cos 2x C.－cos 2x D.－cos 2y 答案：D 解析：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y.故选D. 2.cos ＝(　　) A. B. C. D.－ 答案：C 解析：cos ＝cos(4π＋)＝cos ＝cos(－)＝cos cos ＋sin sin ＝＝.故选C. 3.已知sin α＝，α∈(0，)，则cos(＋α)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：由题意可知cos α＝，则cos(＋α)＝cos(2π－＋α)＝cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝＝.故选B. 4.若0＜α＜，－＜β＜0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：因为cos(＋α)＝，0＜α＜，＜＋φ＜，所以sin(＋α)＝.又因为cos(－)＝，－＜β＜0，＜－β＜，所以sin(－)＝，所以cos(α＋)＝cos［(＋α)－(－)］＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)＝＝.故选C. 5.(多选)下列各式化简正确的是(　　) A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B.cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° C.sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45° D.cos(α－)＝cos α＋sin α 答案：ABC 解析：根据两角差的余弦公式可知A、B、C都是正确的；而对于D，cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α，故D错误.故选ABC. 6.(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A.cos(β－α)＝ B.cos(β－α)＝－ C.β－α＝ D.β－α＝－ 答案：AC 解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝，故A正确，B错误；因为sin γ＝sin β－sin α＞0，所以β＞α，所以β－α＝，故C正确，D错误.故选AC. 7.cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝　　　　. 答案： 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝. 8.已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，则cos β＝　　　　. 答案： 解析：因为0＜α＜且cos α＝＜cos ＝，所以＜α＜.又0＜β＜，所以＜α＋β＜π.又sin(α＋β)＝＜，所以＜α＋β＜π，则cos(α＋β)＝－＝－，sin α＝＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＝. 9.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈(0，)，则β＝　　　　. 答案： 解析：因为α，β∈(0，)，所以α－β∈(－，).又sin(α－β)＞0，所以α－β∈(0，)，所以sin α＝＝，cos(α－β)＝＝，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＝.因为β∈(0，)，所以β＝. 10.(10分)(1)已知sin(＋α)＝，α∈(，)，求cos α的值； (2)已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小. 解：(1)因为α∈(，)，所以＋α∈(，π)， 所以cos(＋α)＝－ ＝－＝－. 因为α＝(＋α)－， 所以cos α＝cos［(＋α)－］ ＝cos(＋α)cos ＋sin(＋α)sin ＝－＝. (2)因为sin(π－α)＝， 所以sin α＝. 又0＜α＜，所以cos α＝＝. 因为cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜， 所以0＜α－β＜， 所以sin(α－β)＝＝， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＝. 因为0＜β＜，所以β＝. (11—13每小题5分，共15分) 11.(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：AC 解析：对比公式特征知，cos＝cos(x＋φ)，所以φ＝－＋2kπ，故φ＝－，都合适.故选AC. 12.已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　) A.－ B.± C.－1 D.±1 答案：C 解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.故选C. 13.若sin(α＋)＝－，α∈(0，π)，则cos(－α)＝　　　　. 答案： 解析：因为α＋－α＝，所以－α＝－(α＋).因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，).又sin(α＋)＝－＜0，所以α＋是第三象限角.所以cos(α＋)＝－，则cos(－α)＝cos［－(α＋)］＝×(－)＋×(－)＝. 14.(10分)已知0＜α＜π，＜β＜π，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 解：因为0＜α＜π，0＜cos α＝＜＝cos ， 所以＜α＜，sin α＝＝. 因为＜α＜，＜β ＜π， 所以＜α＋β＜. 当＜α＋β＜π时，－1＜cos(α＋β)＜－. 又cos(α＋β)＝－∉(－1，－)， 所以α＋β∉(，π). 当π＜α＋β＜时，－1＜cos(α＋β)＜0. 又cos(α＋β)＝－∈(－1，0)， 所以α＋β∈(π，). 所以sin(α＋β)＝－＝－， 所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋(－)×＝. 15.(5分)在△ABC中，有关系式tan A＝成立，则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.A＝60°的三角形 C.等腰三角形或A＝60°的三角形 D.不能确定 答案：B 解析：因为tan A＝＝，所以sin C－sin B≠0，C≠B，sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos(A－C)＝cos(A－B)，所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B(舍去)或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形.故选B. 16.(15分)已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值. 解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为10π， 所以10π＝，所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝2cos， 因为f＝－， 所以2cos ＝2cos＝－， 所以sin α＝. 又因为f＝， 所以2cos＝2cos β＝， 所以cos β＝. 因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝＝. 学生用书⬇第173页 学科网（北京）股份有限公司 $