5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的单调性与最值核心知识点，从观察函数图象入手探究一个周期内的单调区间，进而推广至整个定义域，再通过比较大小、求单调区间等应用，结合最值问题形成完整知识链条，提供问题引导、方法提炼等学习支架。 资料以问题探究驱动学生自主发现规律，例题分层设计并提炼整体代换、换元法等方法，培养逻辑推理与数学运算核心素养。课中助力教师分层教学，课后通过分层评价和对点练，帮助学生巩固知识、弥补盲点。

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质. 2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 任务一　正弦函数、余弦函数的单调性 (阅读教材P204－205，完成探究问题1、2) 问题1.观察正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，你能写出函数y＝sin x，x∈［－，］的单调递增区间和单调递减区间吗？ 提示：单调递增区间是［－，］，单调递减区间是［，］. 学生用书⬇第164页 问题2.结合正弦函数的周期性，它还有哪些单调区间？ 提示：在［－，］及［，］的每一个端点上分别加上±2π，±4π，±6π，…，都是它的单调区间. 1.正弦函数的单调性 在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 2.余弦函数的单调性 在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. [微提醒]　(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限.(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 角度1　比较大小 (链教材P206例4)不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)sin(－)与sin ； (2)a＝sin 与b＝cos ； (3)sin 194°与cos 160°. 解：(1)sin(－)＝sin(－6π－)＝sin(－)， sin ＝sin(16π＋)＝sin ， 因为正弦函数y＝sin x在区间［－，］上单调递增， 且－＜－＜＜，所以sin(－)＜sin ，即sin(－)＜sin . (2)因为＞＞，y＝sin x在(，)上单调递增，y＝cos x在(，)上单调递减，所以sin ＞sin ＞sin ，cos ＜cos ＜cos ， 所以＜a＜1，0＜b＜，故a＞b. (3)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为0°＜14°＜70°＜90°，且当0°＜x＜90°时，y＝sin x单调递增，所以sin 70°＞sin 14°， 即－sin 14°＞－sin 70°， 故sin 194°＞cos 160°. 不求值比较三角函数值大小的步骤 第一步：异名函数化为同名函数； 第二步：利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上； 第三步：利用函数的单调性比较大小. 对点练1.(1)设a＝sin 20°，b＝cos 50°，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b (2)下列关系正确的是(　　) A.sin(－)＞sin(－) B.cos(－)＞cos(－) C.sin 250°＜sin 260° D.cos ＜cos(－) 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)因为20°＜30°，且当0°＜x＜90°时，y＝sin x单调递增，所以sin 20°＜sin 30°＝，即a＜.又因为cos 50°＝sin 40°＜sin 45°＝＜，sin 40°＞sin 30°＝，所以sin 20°＜cos 50°＜，即a＜b＜c.故选B. (2)对于A，因为－＜－＜－＜0，且y＝sin x在［－，0］上单调递增，所以sin(－)＞sin(－)，故A正确；对于B，因为cos(－)＝cos ＝cos ，cos(－)＝cos ＝cos ，且0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以cos(－)＜cos(－)，故B错误；对于C，因为180°＜250°＜260°＜270°，且当180°＜x＜270°时，y＝sin x单调递减，所以sin 250°＞sin 260°，故C错误；对于D，因为cos(－)＝cos ，且0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以cos ＞cos ，即cos ＞cos(－)，故D错误.故选A. 角度2　求单调区间 (链教材P207例5)求函数y＝2sin(x－)的单调区间. 解：令z＝x－，则y＝2sin z. 因为z＝x－是增函数，所以y＝2sin z单调递增(减)时，函数y＝2sin(x－)也单调递增(减). 由z∈［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)，得x－∈［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)，即x∈［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)， 故函数y＝2sin(x－)的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z). 同理可求函数y＝2sin(x－)的单调递减区间为［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z). [变式探究]　1.(变条件)求函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0，2π]的单调区间. 解：由例题知f(x)＝2sin(x－)的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z， 又因为x∈[0，2π]，所以0≤x≤≤x≤2π. 同理函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0，2π]的单调递减区间为［，］. 所以函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0，2π]的单调递增区间为［0，］，［，2π］，单调递减区间为［，］. 学生用书⬇第165页 2.(变条件)求函数y＝sin(－x)的单调递增区间. 解：y＝sin(－x)＝－sin(x－)，令z＝x－，又y＝－sin z的单调递增区间是［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z， 所以令＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以函数y＝sin(－x)的单调递增区间为［2kπ＋，2kπ＋］，k∈Z. 求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略 1.求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间，采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用正(余)弦函数的单调性，求原函数的单调性.若ω＜0，则利用诱导公式，先将x的系数转化为正数. 2.结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间是求解的关键.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注意k∈Z. 对点练2.函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的单调递减区间为　　　　　　　　. 答案：［0，］，［，2π］ 解析：y＝sin(－x)＝－sin(x－)，令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，2π]，所以0≤x≤≤x≤2π，所以原函数的单调递减区间为［0，］，［，2π］. 任务二　正弦函数、余弦函数的最值(值域) (阅读教材P205，完成探究问题3) 问题3.正(余)弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ 提示：存在.最大值和最小值分别是1和－1. 1.正弦函数：当且仅当x＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)时取得最小值－1. 2.余弦函数：当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. (链教材P205例3)求下列函数取得最大值、最小值时自变量的取值，并求出最大值、最小值： (1)y＝－3cos x＋2，x∈R； (2)f(x)＝sin(2x－)，x∈［0，］； (3)y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈［，］. 解：(1)使函数y＝－3cos x＋2，x∈R取得最大值的x的取值集合，就是使函数y＝cos x取得最小值的x的取值集合，即{x｜x＝(2k＋1)π，k∈Z}； 使函数y＝－3cos x＋2，x∈R取得最小值的x的取值集合，就是使函数y＝cos x取得最大值的x的取值集合，即{x｜x＝2kπ，k∈Z}. 所以函数y＝－3cos x＋2，x∈R的最大值是(－3)×(－1)＋2＝5，最小值是(－3)×1＋2＝－1. (2)当x∈［0，］时，2x－∈［－，］， 所以f(x)＝sin(2x－)∈［－，1］. 当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1； 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－. (3)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3＝2sin2x＋2sin x＋1＝2(sin x＋)2＋. 因为x∈［，］， 所以≤sin x≤1. 当sin x＝1，即x＝时，ymax＝5； 当sin x＝，即x＝时，ymin＝. 1.求形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值(值域)时，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. 2.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)[或y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)]的函数的最值(值域)时，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)[或cos(ωx＋φ)]的范围，最后求得函数的最值(值域). 3.求形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的函数的最值(值域)时，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为求二次函数y＝at2＋bt＋c的最值.t的范围需要根据定义域来确定. 对点练3.(1)(双空题)已知函数f(x)＝sin(2x－)＋.当x∈［0，］时，f(x)的最小值是　　　　，最大值是　　　　. (2)求函数f(x)＝＋2sin(－x)，x∈［－，］的值域. 答案：(1)0　 解析：(1)当0≤x≤时，－≤2x－，可知－≤sin(2x－)≤1，即0≤sin(2x－)＋， 故f(x)的最小值为0，最大值为. (2)f(x)＝＋2cos x＝＋2cos x＝cos2x＋2cos x＝(cos x＋1)2－1，当x∈［－，］时，cos x∈［，1］，则(cos x＋1)2－1∈［，3］，故函数的值域为［，3］. 任务再现 (1)正弦函数、余弦函数的单调性.(2)比较三角函数值的大小.(3)正弦函数、余弦函数的最值(值域) 方法提炼 整体代换法、换元法、数形结合法 误区警示 单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围 学生用书⬇第166页 1.函数f(x)＝2sin x的最大值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.－2 答案：C 解析：因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－2，2]，所以f(x)的最大值是2.故选C. 2.函数y＝sin x和y＝cos x都是单调递增的区间是(　　) A.［2kπ－，2kπ］(k∈Z) B.［2kπ－π，2kπ－］(k∈Z) C.［2kπ＋，2kπ＋π］(k∈Z) D.［2kπ，2kπ＋］(k∈Z) 答案：A 解析：函数y＝sin x的单调递增区间是［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)，函数y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z).由［2kπ－，2kπ＋］∩[2kπ－π，2kπ]＝［2kπ－，2kπ］(k∈Z)，可得函数y＝sin x和y＝cos x都是单调递增的区间是［2kπ－，2kπ］(k∈Z).故选A. 3.设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则(　　) A.a＞c＞b B.c＞b＞a C.c＞a＞b D.b＞c＞a 答案：A 解析：sin＝sin＝－sin＝sin＝cos，cos＝cos＝cos＝cos.因为y＝cos x在上单调递减，且＜＜，所以cos＞cos ＞cos ，即a＞c＞b.故选A. 4.(双空题)函数y＝3－4cos(2x＋)的最大值为　　，此时自变量的取值集合为　　　　　　　　. 答案：7　 解析：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝3＋4＝7. 课时分层评价48　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.已知函数f(x)＝sin(x＋)在x0处取得最大值，则x0可能是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：当x0＋＝＋2kπ，k∈Z，即x0＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值.故选C. 2.函数f(x)＝cos(x＋θ)在[0，π]上单调递增，则θ的值可以是(　　) A.0 B. C.π D. 答案：C 解析：当θ＝0时，f(x)＝cos x在[0，π]上为减函数，故A错误；当θ＝时，f(x)＝cos＝－sin x，在[0，π]上不单调，故B错误；当θ＝π时，f(x)＝－cos x在[0，π]上单调递增，故C正确；当θ＝时，f(x)＝sin x在[0，π]上不单调，故D错误.故选C. 3.函数f(x)＝sin(2x＋)在［0，］上的值域为(　　) A.［－，1］ B.［－，］ C.［，1］ D.[0，1] 答案：A 解析：由x∈［0，］，可得2x＋∈［，］，则f(x)＝sin(2x＋)∈［－，1］.故选A. 4.函数f(x)＝－2sin2x＋2cos x的最大值和最小值分别是(　　) A.2，－2 B.2，－ C.2，－ D.，－2 答案：B 解析：f(x)＝－2sin2x＋2cos x＝－2×(1－cos2x)＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－2＝2－，因为－1≤cos x≤1，所以f(x)min＝－，f(x)max＝2.故选B. 5.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A.sin＞sin B.cos 400°＞cos(－50°) C.sin 3＞sin 2 D.sin ＞cos 答案：BD 解析：y＝sin x在［－，0］上单调递增，又－＜－，所以sin＜sin，故A不成立；cos 400°＝cos 40°＞cos 50°＝cos(－50°)，故B成立；y＝sin x在上单调递减，又＜2＜3＜π，所以sin 2＞sin 3，故C不成立；sin ＝－sin，cos＝－cos ＝－sin＝－sin.因为0＜＜＜，且y＝sin x在［0，］上单调递增，所以sin ＜sin ，所以sin ＞cos ，故D成立.故选BD. 6.(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　) A.f(x)在(，)上是单调递减的 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2 答案：AB 解析：因为函数y＝sin x在(，π)上是单调递减，所以f(x)＝sin 2x在(，)上也是单调递减，故A正确；因为f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误.故选AB. 7.函数f(x)＝cos(2x－)的单调递减区间是　　　　　　　　. 答案：［＋kπ，＋kπ］(k∈Z) 解析：令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)＝cos(2x－)的单调递减区间是［＋kπ，＋kπ］(k∈Z). 8.函数y＝sin(x＋)＋cos(－x)的最大值为　　　　　　　. 答案：2 解析：因为cos(－x)＝cos［－(x＋)］＝sin(x＋)，所以y＝2sin(x＋).当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，y取最大值2. 9.函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为　　　　. 答案：[0，2] 解析：因为y＝｜sin x｜＋sin x＝又因为－1≤sin x≤1，所以y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]. 10.(10分)已知函数f(x)＝acos＋b(a≠0)，当x∈时，f(x)的最大值为3，最小值为0，求a和b的值. 解：因为0≤x≤，所以－≤2x－， 所以－≤cos≤1. 当a＞0时，由题意得 当a＜0时，由题意得 故a＝2，b＝1或a＝－2，b＝2. (11—13每小题5分，共15分) 11.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为［－1，］，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　) A. B. C.2π D.4π 答案：C 解析：由题意知可在一个周期内考虑，如图，当x∈[a1，b]时，值域为［－1，］，且b－a最大.当x∈[a2，b]时，值域为［－1，］，且b－a最小.所以b－a的最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×－(－－)＝2π.故选C. 12.已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x.设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则(　　) A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.c＜a＜b 答案：D 解析：由已知得，函数f(x)在上单调递增.因为π－2∈，π－3∈，π－3＜1＜π－2，所以f(π－3)＜f(1)＜f(π－2)，即f(3)＜f(1)＜f(2)，即c＜a＜b.故选D. 13.函数f(x)＝的单调递减区间是　　　　　　　　. 答案：，k∈Z 解析：函数f(x)＝，则sin(2x－)≥0，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.又由正弦函数的性质可得2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.由可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)＝的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z. 14.(10分)设函数f(x)＝sin(2x－)，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间［，］上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：(1)最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z). (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，所以当t＝，即x＝时，ymin＝×(－)＝－1，当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝. 15.(5分)若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间［0，］上的最大值是，则ω＝　　　　. 答案： 解析：因为0≤x≤，且0＜ω＜1，所以0≤ωx≤＜.因为f(x)max＝2sin ＝，所以sin ＝，＝，则ω＝. 16.(15分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数. (1)若｜φ｜＜π，f(x)≤对x∈R恒成立，且f()＞f(π)，求φ的值； (2)在(1)的基础上，探究f(x)的单调递增区间； (3)我们知道正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数吗？若它是奇函数，探究φ满足的条件；存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数吗？若存在，写出φ满足的条件.(只写结论，不写推理过程) 解：(1)由f(x)≤对x∈R恒成立，知2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z). 因为｜φ｜＜π，所以φ＝或φ＝－. 又因为f()＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)＝sin φ，即sin φ＜0， 所以φ＝－. (2)由(1)知f(x)＝sin(2x－). 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得f(x)的单调递增区间是［kπ＋，kπ＋］(k∈Z). (3)f(x)＝sin(2x＋φ)不一定是奇函数，若f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). 存在φ使f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，此时φ＝kπ＋(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $