5.2.1 三角函数的概念-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念 学习目标 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题，培养数学运算的核心素养. 任务一　任意角的三角函数的定义 (阅读教材P177－179，完成探究问题1) 问题1.如图，锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，得sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，这一结论能推广到α是任意角时的情形. 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x∈{x｜x≠＋kπ(k∈Z)} [微提醒]　(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数.(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合. (链教材P178例1，P179例2) (1)利用定义求的正弦、余弦和正切值； (2)若角α的终边经过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解：(1)如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝，则｜PB｜＝，｜OB｜＝，则P(－，). 所以sin＝，cos ＝－，tan ＝＝－. (2)因为r＝＝5｜a｜， ①若a＞0，则r＝5a，角α是第二象限角， sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a＜0，则r＝－5a，角α是第四象限角， sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＝－1. 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： 1.若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. 2.若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 3.若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝. 4.若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 对点练1.(1)已知角α的终边上一点P(m，)，且cos α＝，则m＝　　　　. (2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值. 答案：(1) 解析：(1)由题意得x＝m，y＝，所以r＝｜OP｜＝，所以cos α＝＝＝，很明显m＞0，解得m＝. (2)设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，则即P(，)， 所以sin α＝y＝，cos α＝x＝. 学生用书⬇第147页 任务二　正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 (阅读教材P180，完成探究问题2) 问题2.根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号. 提示：三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号推导出的.根据三角函数的定义可知(sin α＝y，cos α＝x，tan α＝)，正弦的符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)正弦：一、二象限正，三、四象限负； (3)余弦：一、四象限正，二、三象限负； (4)正切：一、三象限正，二、四象限负. (5)口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)当x为第四象限角时，＝(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 (2)(多选)下列选项中的三角函数值的符号为负的是(　　) A.sin(－100°) B.cos(－220°) C.tan 4 D.cos π 答案：(1)B　(2)ABD 解析：(1)由x为第四象限角，得sin x＜0，cos x＞0，tan x＜0，所以＝＝－1.故选B. (2)－100°角的终边在第三象限，故sin(－100°)＜0；－220°角的终边在第二象限，故cos(－220°)＜0；4∈(π，)，其终边在第三象限，故tan 4＞0；cos π＝－1＜0.故选ABD. 判断三角函数值符号的步骤 对点练2.(1)“cos θ＜0且tan θ＞0”是“θ为第三象限角”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设α是三角形的一个内角，则下列有可能取负值的是　　　　.(填序号) ①sin α；②cos α；③tan α；④tan . 答案：(1)A　(2)②③ 解析：(1)充分性：由cos θ＜0可知角θ的终边可能位于第二或第三象限也可能与x轴负半轴重合，由tan θ＞0可知角θ的终边可能位于第一或第三象限，综上可得角θ的终边位于第三象限，于是θ为第三象限角.必要性：若θ为第三象限角，则cos θ＜0，tan θ＞0，所以“cos θ＜0且tan θ＞0”是“θ为第三象限角”的充要条件.故选A. (2)因为α∈(0，π)，∈(0，)，所以sin α，tan 恒为正值，cos α，tan α可能为负值. 任务三　诱导公式一 (阅读教材P180－181，完成探究问题3) 问题3.30°，390°，－330°这三个角的终边有什么关系？它们与单位圆的交点坐标相同吗？这三个角的正弦值、余弦值、正切值分别相等吗？ 提示：这三个角的终边相同，它们与单位圆的交点坐标相同，这三个角的正弦值、余弦值、正切值分别相等. 诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数的值相等. [微提醒]　诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α.(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.(3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z. (链教材P181例5)求下列三角函数的值： (1)sin＋tan(－)； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin＋tan(－)＝sin(8π＋)＋tan(－4π＋)＝sin＋tan＝＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125° ＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1＝1. 学生用书⬇第148页 利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤 对点练3.计算： (1)sin(－1 380°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)cos(－)＋tan . 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋60°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝＝1. (2)原式＝cos［＋(－4)×2π］＋tan(＋2×2π) ＝cos＋tan＝＋1＝. 任务 再现 (1)三角函数的定义及求法.(2)三角函数值在各象限内的符号.(3)诱导公式一 方法 提炼 由特殊到一般、转化与化归法、分类讨论法、定义法 误区 警示 三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域 1.已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sin α的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 2.sin ＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：sin ＝sin(4π＋)＝sin ＝.故选A. 3.(多选)下列式子的值小于零的有(　　) A.sin 5 B.cos 100°－sin 100° C.tan 2 D.cos (－1) 答案：ABC 解析：因为＜5＜2π，所以sin 5＜0；因为sin 100°＞0，cos 100°＜0，所以cos 100°－sin 100°＜0；因为＜2＜π，所以tan 2＜0；因为－＜－1＜－，所以cos(－1)＞0.故选ABC. 4.若角α的终边过点P(m，－1)，且cos α＝，则m＝　　　　. 答案：2 解析：因为cos α＝＞0，所以m＞0，又cos α＝＝，所以m＝2. 课时分层评价42　三角函数的概念 (1—9每小题5分，共45分) 1.若角α的终边过点P(4，2)，则sin α＋cos α的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为角α的终边过点P(4，2)，则r＝2.所以sin α＝＝，cos α＝＝，所以sin α＋cos α＝.故选D. 2.计算sin(－330°)cos 390°的值为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：B 解析：sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝＝.故选B. 3.已知sin θcos θ＜0，且｜cos θ｜＝cos θ，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案：D 解析：因为sin θcos θ＜0，所以sin θ，cos θ是一正一负，又｜cos θ｜＝cos θ，所以cos θ≥0，综上，sin θ＜0，cos θ＞0，故θ为第四象限角.故选D. 4.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的计算结果一定为正的是(　　) A.sin α＋cos α B.cos α－sin α C.sin αcos α D.tan α 答案：B 解析：由已知得sin α＝＜0，cos α＝＞0，tan α＝m＜0，则sin α＋cos α的符号无法确定，cos α－sin α＞0，sin αcos α＜0.故选B. 5.已知角α的终边过点P(－3，2cos α)，则cos α＝(　　) A. B.－ C.± D.－ 答案：B 解析：由三角函数的定义得cos α＝，则(4cos2α＋9)cos2α＝9，且cos α＜0，整理得(4cos2α－3)(cos2α＋3)＝0，所以cos2α＝，故cos α＝－. 6.(多选)已知角α的终边过点P，则2sin α＋cos α的值可能是(　　) A.1 B. C.－ D.－1 答案：BC 解析：当m＞0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，则2sin α＋cos α＝－＝.当m＜0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，则2sin α＋cos α＝－＝－.故选BC. 7.若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x等于　　　　. 答案：－2 解析：因为cos α＝－＜0，所以x＜0，又r＝，则＝－，解得x＝－2(x＝2舍去). 8.计算：sin＋cos(－)＋tan ＝　　　　. 答案：2 解析：原式＝sin(4π＋)＋cos(－6π＋)＋tan(2π＋)＝sin＋cos＋tan ＝＋1＝2. 9.已知角A为第三象限角，且｜sin ｜＝－sin ，则是第　　　　象限角. 答案：四 解析：因为A为第三象限角，所以为第二或第四象限角.又因为｜sin ｜＝－sin ，所以sin ≤0，所以为第四象限角. 10.(10分)计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 380°)·sin 750°； (2)sin(－)＋cos ·tan 4π； (3)sin ＋cos(－). 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－4×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝＝. (2)原式＝sin(－2π＋)＋cos(2π＋)·tan(4π＋0)＝sin ＋cos ×tan 0＝. (3)原式＝sin(8π＋)＋cos(－6π＋)＝sin ＋cos ＝－＝. (11—13每小题5分，共15分) 11.若780°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值是(　　) A.4 B.±4 C.－4 D. 答案：C 解析：根据三角函数的定义可得tan 780°＝，即a＝－4×tan 780°＝－4×tan(2×360°＋60°)＝－4×tan 60°＝－4，故选C. 12.式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为(　　) A.正 B.负 C.零 D.不能确定 答案：B 解析：因为1，2，4分别为第一、二、三象限角，所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，所以sin 1·cos 2·tan 4＜0.故选B. 13.在平面直角坐标系中，点P(tan 2 025°，sin 2 025°)位于第　　　　象限. 答案：四 解析：tan 2 025°＝tan(5×360°＋225°)＝tan 225°＞0，sin 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＝sin 225°＜0，所以点P(tan 2 025°，sin 2 025°)在第四象限. 14.(10分)已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 解：由题意知r＝｜OP｜＝，由三角函数定义得cos θ＝＝， 又因为cos θ＝x，所以＝x. 因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3； 当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 15.(5分)设θ是第二象限角，则点P(sin(cos θ)，cos(sin θ))在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 解析：因为θ是第二象限角，所以0＜sin θ＜1＜，－＜－1＜cos θ＜0，所以sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，故点P(sin(cos θ)，cos(sin θ))在第二象限.故选B. 16.(15分)已知＝－，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点是M(，m)，且｜OM｜＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值. 解：(1)由＝－，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角. (2)因为｜OM｜＝1，所以()2＋m2＝1，解得m＝±. 又α是第四象限角，故m＜0，从而m＝－.由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $