4.4.2 第2课时 对数函数的图像和性质的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

第2课时　对数函数的图象和性质的应用 学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质. 2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　求对数(型)函数的单调区间 (1)函数y＝log2｜x－2｜在区间(2，＋∞)上的单调性为(　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 (2)函数y＝lo(1－x2)的单调递减区间为　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)(－1，0] 解析：(1)当x＞2时，函数f(x)＝log2｜x－2｜＝log2(x－2).又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2｜x－2｜在区间(2，＋∞)上是一个单调递增函数.故选C. (2)要使y＝lo(1－x2)有意义，则1－x2＞0，所以x2＜1，所以－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1).令t＝1－x2，x∈(－1，1).当x∈(－1，0]时，当x增大时，t增大，y＝lot减小.所以函数y＝lo(1－x2)的单调递减区间为(－1，0]. 学生用书⬇第120页 求形如f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的单调区间的步骤： 第一步：求g(x)＞0的解集(也就是函数f(x)的定义域). 第二步：求g(x)的单调区间. 第三步：当a＞1时，在g(x)＞0的前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间，g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间；当0＜a＜1时，在g(x)＞0的前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间，g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. 对点练1．(1)函数f(x)＝lo(x2－2x－3)的单调递增区间是　　　　　　　　. (2)函数y＝log3(－x2＋2x＋3)的单调递减区间为　　　　　　　　. 答案：(1)(－∞，－1)　(2)[1，3) 解析：(1)令t＝x2－2x－3且t＞0，即x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＞0，则x＜－1或x＞3，所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由t＝x2－2x－3的图象开口向上，对称轴为x＝1，得t＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，而y＝lot在定义域上单调递减，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞). (2)由－x2＋2x＋3＞0可得－1＜x＜3，令t＝－x2＋2x＋3，－1＜x＜3，则y＝log3t在定义域内单调递增，函数y＝－x2＋2x＋3的单调递减区间即为函数y＝log3(－x2＋2x＋3)的单调递减区间.因为函数y＝－x2＋2x＋3的图象开口向下，其对称轴为直线x＝1，所以y＝－x2＋2x＋3在区间[1，3)上单调递减，所以函数y＝log3(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是[1，3). 任务二　解对数不等式 解下列关于x的不等式： (1)lox＞lo(4－x)； (2)loga(2x－5)＞loga(x－1)； (3)logx＞1. 解：(1)由题意可得解得0＜x＜2. 所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜2}. (2)当a＞1时，原不等式等价于 解得x＞4. 当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得＜x＜4. 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＞4}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为. (3)当x＞1时，logx＞logxx，所以x＜，无解； 当0＜x＜1时，logx＞logxx，所以＜x＜1. 综上，原不等式的解集为. 对数不等式的三种考查类型及其解法 1.形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论. 2.形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解. 3.形如logf(x)a＞logg(x)a(f(x)，g(x)＞0且不等于1，a＞0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 对点练2．(1)求满足不等式log3x＜1的x的取值集合； (2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围. 解：(1)因为log3x＜1＝log33， 又函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数， 所以x满足的条件为即0＜x＜3. 所以x的取值集合为{x｜0＜x＜3}. (2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， 所以由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，得 解得x＞1. 所以x的取值范围是(1，＋∞). 任务三　对数(型)函数的值域与最值问题 求下列函数的值域： (1)y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]； (2)y＝log0.4(－x2＋3x＋4). 解：(1)因为1≤x≤2，所以1≤2x－1≤3， 所以0＝log31≤log3(2x－1)≤log33＝1. 故函数y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]的值域是[0，1]. (2)－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋≤， 又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤. 函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝log0.4()－2＝－2. 故函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域为[－2，＋∞). 学生用书⬇第121页 求函数值域的方法 1.求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解. 2.求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数函数进行换元，把复杂问题简单化. 对点练3．已知2≤x≤8，求函数f(x)＝log2·log2的最值. 解：f(x)＝(log2x－1)(log2x－2) ＝(log2x)2－3log2x＋2， 令t＝log2x，x∈[2，8]，则t∈[1，3]， 所以y＝t2－3t＋2＝(t－)2－， 易知，当t＝3，即x＝8时，ymax＝2. 当t＝，即x＝2时，ymin＝－， 故函数f(x)的最大值为2，最小值为－. 教材拓展7　凹凸函数 一、凹凸函数的定义 　　设函数f(x)为定义在区间 I 上的函数，若对 上任意两点 x1，x2， 恒有： (1)f＜， 则称f(x)为 上的凹函数； 曲线任意两点 A1 与 A2 之间的部分位于弦 A1A2 的下方. (2)f＞ ， 则称f(x)为 上的凸函数. 曲线任意两点 A1 与 A2 之间的部分位于弦 A1A2 的上方. 二、凹凸函数的几何特征 (多选)如果一个函数 f 在其定义区间内对任意x，y都满足 f≤， 则称这个函数是凹函数， 下列函数是凹函数的有(　　) A.f＝2x B.f＝x3 C.f＝log2x D.f＝ 答案：AD 解析：由凹函数的定义可知，曲线上任意两点的连线所确定的线段在曲线的上方或者跟曲线重合，画图(图略)可知，只有AD满足. 已知函数 f＝x， 若对任意 x1∈，x2∈，x1≠x2， 恒有 f＞， 则实数a的取值范围为　　　　. 答案：[3，＋∞) 解析：根据题意， f＝x 上为凸函数(图象上表现为在 上的函数图象在两区间端点连线的上方)，数形结合可得 a≥3. 任务再现 (1)求对数型函数的单调区间.(2)利用对数函数的单调性解不等式.(3)对数型函数的单调性、值域与最值 方法提炼 分类讨论法、数形结合法、转化法、单调性法 易错警示 忽视对数型函数的定义域 1.不等式lo(2x＋3)＜lo(5x－6)的解集为(　　) A.(－∞，3) B.(－，3) C.(－，) D.(，3) 答案：D 解析：由题意得＜x＜3.故选D. 2.函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 答案：D 解析：由题意得x2－2x－8＞0，解得x＜－2或x＞4，故函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞).函数y＝x2－2x－8图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的单调递增区间是(4，＋∞).故选D. 3.函数y＝log2(2x＋2)的值域为　　　　. 答案：(1，＋∞) 解析：函数的定义域为R，令t＝2x＋2，则y＝log2t.因为2x＞0，所以2x＋2＞2，即t＞2，所以log2t＞log22＝1，即y＞1，所以函数y＝log2(2x＋2)的值域为(1，＋∞). 4.函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为　　　　. 答案：2或 解析：当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递减，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.综上可知a＝2或a＝. 课时分层评价35　对数函数的图象和性质的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.满足不等式lg(x＋1)＜lg(3－x)的实数x的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(－1，1) C.(－1，3) D.(1，3) 答案：B 解析：由已知得解得－1＜x＜1.故选B. 2.以下选项为“log2(x－2)＜2”的一个必要不充分条件的是(　　) A.x＜8 B.x＞6 C.x＜4 D.2＜x＜6 答案：A 解析：因为log2(x－2)＜2，则0＜x－2＜4，解得2＜x＜6，结合选项可知只有{x｜x＜8}使得{x｜2＜x＜6}是{x｜x＜8}的真子集，所以“log2(x－2)＜2”的一个必要不充分条件是x＜8，故A正确，B，C，D错误.故选A. 3.函数f(x)＝lo[(x＋5)(1－x)]的单调递增区间是(　　) A.(－5，－2) B.(－5，1) C.(－2，1) D.(1，＋∞) 答案：C 解析：函数f(x)的定义域为(－5，1)，函数f(x)＝lo[(x＋5)(1－x)]的单调递增区间即为y＝(x＋5)(1－x)＝－x2－4x＋5，y＞0时的单调递减区间(－2，1).故选C. 4.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则实数k的取值范围是(　　) A.0＜k＜1 B.0≤k＜1 C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1 答案：C 解析：令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.故选C. 5.(多选)函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(x2)＝2f(x) B.f(2x)＝f(x)＋f(2) C.f(x)＝f(x)－f(2) D.f(2x)＝2f(x) 答案：ABC 解析：因为函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，所以f(x)＝logax(a＞0，且a≠1).所以f(x2)＝logax2＝2logax＝2f(x)，f(2x)＝loga2x＝loga2＋logax＝f(x)＋f(2)，f(x)＝logax＝logax－loga2＝f(x)－f(2).所以A、B、C正确，D错误.故选ABC. 6.(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　) A.f(4)＝－3 B.函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C.函数y＝f(x)的最小值为－4 D.函数y＝f(x)的最大值为4 答案：ABC 解析：A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝，或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x＞0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值.故选ABC. 7.如果函数f(x)＝(4－a)x与g(x)＝log(a＋1)x的单调性相同，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(0，3) 解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即0＜a＜3；若f(x)，g(x)均为减函数，则无解.故0＜a＜3. 8.(双空题)若函数f(x)＝loga(x＋5)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P(m，n)，则m＋n＝　　　　；函数g(x)＝ln(x2＋m)的单调递增区间为　　　　. 答案：－3　(2，＋∞) 解析：令x＋5＝1，则x＝－4，y＝0＋1＝1，所以图象恒过定点P(－4，1)，则m＝－4，n＝1，因此m＋n＝－3，且g(x)＝ln(x2－4).易知函数g(x)的定义域是(－∞，－2)∪(2，＋∞).令u(x)＝x2－4，则递增区间为(2，＋∞)，又y＝ln u在定义域内为增函数，所以根据复合函数同增异减性质，函数g(x)的单调递增区间为(2，＋∞). 9.函数f(x)＝log2·lo(2x)的最小值为　　　　. 答案：－ 解析：由题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝(log2x＋)2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f(x)的最小值为－. 10.(10分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值. 解：(1)由题意得解得－1＜x＜3， 所以f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，－1＜x＜3. 若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4， 所以loga4＝－2，即a－2＝4. 又0＜a＜1，所以a＝. 若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值. 综上可知，a＝. (11—13每小题5分，共15分) 11.已知函数y＝log3(x2＋m)的值域为[2，＋∞)，则实数m的值为(　　) A.2 B.3 C.9 D.27 答案：C 解析：因为函数y＝log3(x2＋m)的值域为[2，＋∞)，所以y＝x2＋m的最小值为9，所以m＝9.故选C. 12.(多选)已知函数f(x)＝lg(x2－2x＋t)，则下列结论正确的是(　　) A.当t＝2时，f(x)的值域为(0，＋∞) B.当t＝－3时，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1) C.t取任意实数时，均有f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.若f(x)的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是[1，＋∞) 答案：BC 解析：对于A，f(x)＝lg(x2－2x＋2)＝lg[(x－1)2＋1]≥lg 1＝0，故A错误；对于B，当t＝－3时，f(x)＝lg(x2－2x－3)＝lg[(x＋1)(x－3)]，此时x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由复合函数单调性的判断方法得，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，故B正确；对于C，y＝x2－2x＋t的图象关于直线x＝1对称，故C正确；对于D，若f(x)的定义域为全体实数，则x2－2x＋t＞0在R上恒成立，即Δ＝4－4t＜0，则t＞1，故D错误.故选BC. 13.若函数f(x)＝｜log2x｜的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－a的最小值为　　　　. 答案： 解析：根据题意，画出函数f(x)的图象如图，令｜log2x｜＝2可得x＝或x＝4.由图象可知，当值域为[0，2]时，定义域的最小区间是［，1］，则b－a的最小值为1－＝. 14.(10分)设函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0. (1)求a的值； (2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明. 解：(1)函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0， 则f(1)＝lg ＝0，则＝1，解得a＝2. (2)f(x)＝lg 在区间(0，＋∞)上单调递减. 证明：设0＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1). 因为0＜x1＜x2，所以lg(x2＋1)＞lg(x1＋1)， 即f(x1)＞f(x2)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 15.(5分)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a＞1)的图象上，则实数a的值为　　　　. S 答案： 解析：设B(x，2logax)，因为BC平行于x轴，所以C(x'，2logax)，即logax'＝2logax，所以x'＝x2，所以正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2－x＝2，解得x＝2(负值已舍).由已知，得AB垂直于x轴，所以A(x，3logax)，正方形ABCD的边长｜AB｜＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，所以a＝. 16.(15分)已知函数f(x)＝lo的图象关于原点对称，其中a为常数. (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lo(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围. 解：(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称， 所以函数f(x)的定义域关于原点对称. 因为＞0，所以(x－1)(1－ax)＞0. 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， 所以＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意. (2)因为f(x)＋lo(x－1)＝lo＋lo(x－1)＝lo(1＋x)， 所以当x＞1时，lo(1＋x)＜lo(1＋1)＝－1. 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lo(x－1)＜m恒成立，所以m≥－1. 即实数m的取值范围为[－1，＋∞). 学生用书⬇第122页 学科网（北京）股份有限公司 $