3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“函数的概念(一)”核心知识点，系统阐述用集合与对应关系刻画的函数概念及三要素。衔接初中“变量说”，通过实例分析引入“集合—对应说”，为后续函数性质、幂函数学习搭建基础支架。 资料以情境化问题（如矩形面积与边长关系）引导学生抽象函数概念，通过辨析对应关系（如多选图形是否为函数）培养数学思维。任务驱动式设计结合微思考、对点练，助力课堂教学，课后分层评价可帮助学生查漏补缺，提升数学抽象与建模素养。

单元学习六　函数的概念及其表示 　　[单元整体设计]　函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终，是高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具. 通过本章的学习，掌握用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；掌握函数的性质；通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法；掌握利用函数构建模型，解决问题. 提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养. 根据上述内容，本章计划分四个单元进行整体设计，学习计划11课时. 本单元内容是在初中学习函数概念的基础上，引导学生利用“变量说”对典型事例进行分析，感悟引入“集合——对应说”的必要性，并通过对具体实例共同特征的归纳，抽象概括出函数的概念；引导学生体会不同表示法的特点，能根据问题的特点选择合适的表示法表示函数；让学生学会用严谨的符号语言刻画函数的单调性、奇偶性等性质的方法，并能用函数的概念与性质解决简单的问题. 学习计划4课时. 本单元内容重点是建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念. 难点是从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念、理解函数的对应关系f. 在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象、数学建模和数学运算的核心素养. 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 学习目标 1.理解函数的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.会求函数的定义域，培养数学运算的核心素养. 任务一　函数的概念 (阅读教材P60－63，完成探究问题) 问题.已知集合A＝{2 023，2 024，2 025}，B＝{0.07，0.08，0.06}，x与y的对应关系如下表： x 2 023 2 024 2 025 y 0.07 0.08 0.06 上述集合A，B有什么特点？按照给出的x与y的对应关系，对于A中的任意一个实数，在B中是否都有与之对应的实数？与之对应的实数是否唯一？ 提示：A，B均为非空数集；对于A中的任意一个实数，在B中都有唯一的实数与之对应. 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的 y值的集合{f(x)｜x∈A} 学生用书⬇第57页 [微思考]　在函数的概念中，集合B是函数的值域吗？ 提示：不是.值域是集合B的子集. [微提醒]　(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.(2)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系.(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数. (1)(多选)下列图形表示y是x的函数的是(　　) (2)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是(　　) A.A＝R，B＝{x｜x≥0}，f：x→y＝｜x｜ B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：x→y2＝x D.A＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0 答案：(1)BCD　(2)ABD 解析：(1)选项A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故选项A中的图形不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义.故选BCD. (2)选项A、B、D中对集合A中任意实数x，按给定的对应关系f，在集合B中都有唯一实数y与之对应，因此选项A、B、D符合函数的定义.选项C中，对于A中元素1，按对应法则f，在B中有元素－1和1与之对应，不符合函数的定义.故选ABD. 1.判断一个对应关系是否为函数的方法 2.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 对点练1.(1)某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是(　　) A.y是x的函数 B.w是y的函数 C.w是z的函数 D.w是x的函数 (2)设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列五个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由于同学的姓名不是数字，故A、D错误；对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，若班级中有两位身高相同的同学，则这个身高对应两个不同同学的数学成绩，故C错误.故选B. (2)对于①，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不能表示；对于②，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示；对于③，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不能表示；对于④，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示；对于⑤，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示.故选C. 任务二　求函数的定义域 (链教材P65例2)求已知函数的定义域： (1)y＝·； (2)y＝(x－1)0＋. 解：(1)由题意得，解得x＝1， 所以函数的定义域为{1}. (2)由题意得，解得x＞－1且x≠1， 所以函数的定义域为{x｜x＞－1，且x≠1}. 已知解析式求函数定义域的一般方法 1.如果f(x)是整式，其定义域是实数集R(通常省略不写). 2.如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合. 3.如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合. 4.如果f(x)是由以上几部分式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合. 5.f(x)＝x0的定义域是{x｜x∈R，且x≠0}. 学生用书⬇第58页 对点练2.求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝－. 解：(1)由题意得， 即 所以函数的定义域为. (2)要使函数有意义，则解得x≥1， 所以函数的定义域为{x｜x≥1}. 任务三　求函数值 (1)(双空题)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为　　　　，值域为　　　　. (2)已知函数f(x)由下表给出，则f的值为(　　) x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f(x) 1 2 3 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：(1){x｜－2≤x≤4}　{y｜－2≤y≤3} (2)D 解析：(1)根据函数y＝f(x)的图象知，定义域为{x｜－2≤x≤4}，值域为{y｜－2≤y≤3}. (2)因为∈{x｜x≤1}，所以f＝1，则10f＝10，所以f＝f(10).又因为10∈{x｜x≥2}，所以f(10)＝3.因此f＝3.故选D. 求函数值的方法 1.已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值. 2.求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. [注意]　求f(a)时，a必须是f(x)定义域内的取值. 对点练3.(1)(双空题)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝　　　　，f(g(2))＝　　　　. (2)已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝　　　　　　　. 答案：(1)　　(2)16 解析：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6，所以f(g(2))＝f(6)＝＝. (2)因为f(x)＝－1，所以f(a)＝－1. 又因为f(a)＝3，所以－1＝3，a＝16. 任务四　创建函数关系的问题情境 (链教材P63例1)已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系： (1)y＝； (2)y＝2x＋； (3)y＝. 解：(1)设矩形的长为x，宽为y，那么y＝.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，y的取值范围B＝{y｜y＞0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽. (2)设矩形的长为x，周长为y，那么y＝2x＋.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，y的取值范围B＝{y｜y≥4}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋. (3)设矩形的长为x，对角线长为y，那么y＝.其中x的取值范围A＝{x｜x＞0}，y的取值范围B＝{y｜y≥2}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长. 根据函数关系构建问题情境的策略 1.分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系. 2.从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时，可适当限制x的取值范围. 3.既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系. 学生用书⬇第59页 对点练4.试创建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝4 来描述. 解：y＝4是含有根式的函数，它的定义域是[0，＋∞)，值域是B＝[0，＋∞)，对应关系f把[0，＋∞)中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数4，如果对x的取值范围作出限制，如x∈(0，＋∞)，那么可以构建如下情境： 正方形的面积为x，周长为y，则y＝4， 其中x的取值范围是A＝{x｜x＞0}，y的取值范围是B＝{y｜y＞0}，对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的周长4. 任务再现 (1)函数的概念.(2)函数的三要素.(3)求简单函数的定义域和函数值.(4)构建问题情境 方法提炼 定义法、图象法 易错警示 函数概念的理解 1.下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是(　　) 答案：D 解析：选项D中，对于集合A中的元素1，在集合B中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义.故选D. 2.(多选)已知集合A＝{x｜0≤x≤8}，集合B＝{y｜0≤y≤4}，则下列对应关系中，是从A到B的函数的有(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 答案：ABC 解析：根据函数定义可得A中的每一个元素在B中都能找到唯一与之对应的元素，对于A，y＝x∈[0，1]⊆B，故A正确；对于B，y＝x∈[0，2]⊆B，故B正确；对于C，y＝x∈[0，4]⊆B，故C正确；对于D，y＝x∈[0，8]，不是集合B的子集，故D错误.故选ABC. 3.函数y＝＋的定义域为(　　) A.{x｜x＜3，或x＞3} B.{x｜1≤x＜3，或x＞3} C.{x｜x≥1} D.{x｜x≥3} 答案：B 解析：要使原函数有意义，则解得x≥1且x≠3.所以函数y＝＋的定义域为{x｜1≤x＜3，或x＞3}.故选B. 4.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是　　　　. 答案：1 解析：因为f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，所以f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝－1，所以a·(a－1)2＝0，则a＝0，或a＝1.又a＞0，因此a＝1. 课时分层评价16　函数的概念(一) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：B 解析：选项A中的定义域不是{x｜－2≤x≤2}，选项C中图形不满足唯一性，选项D中的值域不是{y｜0≤y≤2}，只有选项B满足题意.故选B. 2.下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是(　　) A.M＝R，N＝{x∈R｜x＞0}，f：x→｜x｜ B.M＝N，N＝N*，f：x→｜x－1｜ C.M＝{x∈R｜x＞0}，N＝R，f：x→x2 D.M＝R，N＝{x∈R｜x≥0}，f：x→ 答案：C 解析：对于A，当集合M中x＝0时，｜x｜＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，｜x－1｜＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数.故选C. 3.函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A. B.{x｜x≥－2} C. D. 答案：C 解析：由题意得即x≥－2，且x≠.故选C. 4.(新情境)托马斯说：“函数是近代数学的思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，1，2}到集合N＝{1，2，4}的函数的是(　　 ) A.y＝2x B.y＝x＋1 C.y＝｜x｜ D.y＝x2＋1 答案：C 解析：根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1，1，2}，对于A，按照对应关系y＝2x，函数的值域为E＝{－2，2，4}⊈N，故A错误；对于B，按照对应关系y＝x＋1，函数的值域为E＝{0，2，3}⊈N，故B错误；对于C，按照对应关系y＝｜x｜，函数的值域为E＝{1，2}⊆N，故C正确；对于D，按照对应关系y＝x2＋1，函数的值域为E＝{2，5}⊈N，故D错误.故选C. 5.(多选)设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝，那么集合A可能是(　　) A. B. C. D. 答案：ABC 解析：由题意得 x2＝4，即x＝2，或x＝－2，故A可能为 .故选ABC. 6.(多选)下列函数满足f(2x)＝2f(x)的是(　　) A.f(x)＝｜x｜ B.f(x)＝x－｜x｜ C.f(x)＝2x＋1 D.f(x)＝－x 答案：ABD 解析：对于A，f(2x)＝｜2x｜＝2｜x｜＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－｜2x｜＝2(x－｜x｜)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝4x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x).故选ABD. 7.函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为　　　　. 答案：{x｜0＜x＜1，或1＜x≤2} 解析：观察函数的图象，图象上所有点的横坐标构成的集合为{x｜0＜x＜1，或1＜x≤2}，即为定义域. 8.如图，函数f(x)的图象是曲线ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，2)，(1，0)，(3，1)，则f(f(1))的值为　　　　. 答案：2 解析：根据图象知，f(1)＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2. 9.已知函数f(x)，g(x)分别由表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程g(f(x))＝3的解集为　　　　. 答案：{1，3} 解析：根据题意，若方程g(f(x))＝3，必有f(x)＝1，则有x＝1或3，即方程g(f(x))＝3的解集为{1，3}. 10.(10分)记函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝(a＜1)的定义域为B. (1)求A； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围. 解：(1)由2－≥0，得≥0，解得x＜－1，或x≥1，即A＝{x｜x＜－1，或x≥1}. (2)由(x－a－1)(2a－x)≥0， 得(x－a－1)(x－2a)≤0， 由a＜1，得a＋1＞2a，所以B＝{x｜2a≤x≤a＋1}. 又B⊆A，所以2a≥1或a＋1＜－1，即a≥，或a＜－2. 又a＜1，所以≤a＜1，或a＜－2. 故当B⊆A时，实数a的取值范围是{a}. (11—13每小题5分，共15分) 11.已知函数y＝f(x)，则函数图象与直线x＝a的交点(　　) A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.至多有一个 答案：D 解析：根据函数的概念可知，对于定义域中的任意一个数x，都有唯一确定的函数值y与之对应.故选D. 12.已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为　　　　　　. 答案： 解析：因为△ABC的底边长大于0，所以y＝10－2x＞0，所以x＜5.又两边之和大于第三边，所以2x＞10－2x，所以x＞，所以此函数的定义域为{x}. 13.已知函数f(x)的定义域为A＝{1，2，3，4}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有　　　　个. 答案：3 解析：由题意知，满足条件的对应关系有①：1，2对应7，3对应8，4对应9；②：1对应7，2，3对应8，4对应9；③：1对应7，2对应8，3，4对应9，所以一共有3个. 14.(10分)已知函数f(x)＝. (1)若f(a)＝2，求a的值； (2)求证：f＝－f(x). 解：(1)因为f(x)＝，且f(a)＝2， 所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±. (2)证明：由已知得f＝＝， －f(x)＝－＝， 所以f＝－f(x). 15.(5分)若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有(　　) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：D 解析：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，±1至少含有一个，±2至少含有一个，要求的同族函数的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况.故选D. 16.(15分)试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝(x∈{x｜x＞0})来描述. 解：直角三角形的面积为6，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝.其中，x的取值范围是A＝{x｜x＞0}，y的取值范围是B＝{y｜y＞0}.对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长. 学科网（北京）股份有限公司 $