第二章 重点突破2 不等式恒成立、能成立问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

学习目标 1.能用判别式法、数形结合法、分离参数法与主参换位法解不等式恒(能)成立问题. 2.解决不等式恒成立、能成立问题的方法灵活多变，需根据具体的条件求解，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养. 技法一　“Δ”法解决R上的恒成立问题 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y＜0恒成立， 所以其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点. 所以解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}. 一元二次不等式在R上恒成立 1.ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 2.ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 3.ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 4.ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 [注意]　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参数，则一定要讨论二次项系数是否为0. 对点练1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 答案：D 解析：当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k＜0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k＜0.综上，实数k的取值范围是.故选D. 技法二　数形结合法解决给定范围内的恒成立问题 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围. 解：令y＝x2＋mx＋4， 因为y＜0在1≤x≤2上恒成立， 所以y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得解得m＜－5， 所以实数m的取值范围是{m｜m＜－5}. 在给定范围内的恒成立问题 1.当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. 2.当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 对点练2.命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　 ) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 答案：B 解析：因为命题“∀x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题，所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.故选B. 学生用书⬇第52页 技法三　主参换位法解决已知 参数范围的恒成立问题 已知≤m≤3，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，求实数x的取值范围. 解：因为≤m≤3时，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立， 则m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立. 当x＝2时，不等式不成立，故x≠2. 令y＝m(x－2)＋(x－2)2，m为自变量， 且≤m≤3，则其函数图象是一条线段， 故对≤m≤3时，y＞0恒成立等价于 解得x＞2，或x＜－1. 所以实数x的取值范围是{x｜x＞2，或x＜－1}. 1.在解含有参数的不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，则可以得到意想不到的效果. 2.此题中，y＝m(x－2)＋(x－2)2，≤m≤3表示一条线段，数形结合转化为端点函数值大于0，避免了分类讨论. 对点练3.对任意1≤m≤2，函数y＝mx2－mx＋m－6的值恒小于0，求实数x的取值范围. 解：y＝mx2－mx＋m－6＝(x2－x＋1)·m－6，依题意知，当1≤m≤2时，y＜0恒成立. 因为x2－x＋1＞0， 所以y是关于m的一次函数，且在1≤m≤2上随m的增大而增大， 所以y＜0对1≤m≤2恒成立等价于y的最大值小于0，即2(x2－x＋1)－6＜0， 则x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2. 因此x的取值范围是{x｜－1＜x＜2}. 技法四　数形结合法解决能成立问题 若关于x的不等式2x2－8x＋6－a≥0在1≤x≤4时有解，则实数a的取值范围是(　　) A.a≤6 B.a≥－2 C.a≥6 D.a≤－2 答案：A 解析：不等式2x2－8x＋6－a≥0在1≤x≤4时有解，等价于当1≤x≤4时，a≤(2x2－8x＋6)max. 由二次函数y＝2x2－8x＋6的图象(如图所示)知，当1≤x≤4时，－2≤2x2－8x＋6≤6，所以a≤6.故选A. 不等式的能成立问题 1.结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决. 2.对一些简单的问题，可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 对点练4.当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0有解，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案：{m｜m＞－5} 解析：记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4＞0(1＜x＜2)有解，即m＋5＞0，或22＋2m＋4＞0，解得m＞－5，所以实数的取值范围为{m｜m＞－5}. 1.若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A.t≤2 B.t≥2 C.t≤4 D.t≥4 答案：C 解析：因为x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，所以t≤＝x＋在x≥1时恒成立，所以t≤，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以＝4，则t≤4.故选C. 2.(新定义)在R上定义运算：xⓧy＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)ⓧ(x＋a)＞1成立，则实数a的取值范围是(　　) A.a＜－，或a＞ B.－＜a＜ C.－＜a＜ D.a＜－，或a＞ 答案：A 解析：由题意知(x－a)ⓧ(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a＝－＋a2－a＋，若∃x∈R，使得不等式(x－a)ⓧ(x＋a)＞1成立，则需函数y＝－＋a2－a＋的最大值大于1，即x＝时，y＝a2－a＋＞1成立，解得a＜－，或a＞.故选A. 3.对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a＜0成立的必要不充分条件是(　　) A.a＜－3 B.a＜－4 C.a＜0 D.a＞0 答案：C 解析：因为x2－2x＋a＜0，所以a＜－x2＋2x，又因为－1≤x≤2，－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3，所以a＜－3，又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a＜0成立的必要不充分条件”.由选项可知，a＜0为其必要不充分条件.故选C. 4.对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则实数x的取值范围是　　　　. 答案：{x｜x＞3，或x＜－1} 解析：x2＋px＞4x＋p－3⇔(x－1)p＋x2－4x＋3＞0.设y＝(x－1)p＋x2－4x＋3，0≤p≤4表示一条线段，依题意，当0≤p≤4时，y＞0恒成立，则解得x＞3，或x＜－1，所以实数x的取值范围为{x｜x＞3，或x＜－1}. 学生用书⬇第53页 学科网（北京）股份有限公司 $