1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定这一核心知识点，先通过实例探究否定形式变化规律，明确需改变量词和否定结论，再结合真假关系分析，最后应用于参数范围求解，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料以任务驱动融合核心素养，通过问题探究培养数学抽象（如总结否定形式），借助真假判断和参数求解发展逻辑推理（如方程根存在性否定）。课中微提醒辅助理解，课后分层评价助力学生查漏补缺，提升教学效果。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，培养数学抽象的核心素养. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　全称量词命题的否定 (阅读教材P28—29，完成探究问题1) 问题1.写出下列命题的否定： (1)所有的正比例函数都是一次函数； (2)每一个有理数都能写成分数形式. 上述两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：命题(1)的否定是“并非所有的正比例函数都是一次函数”，命题(2)的否定是“并非每一个有理数都能写成分数形式”.从命题形式看，两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 1.全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M， ¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [微提醒]　写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定. [微思考]　如果p(x)的否定是¬p(x)，那么p(x)与¬p(x)可以同真同假吗？ 提示：不能同真同假，只能一真一假. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 (链教材P29例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)正方形都是矩形； (3)无论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根. 解：(1)命题的否定：∃x∈R，x2－x＋＜0. (2)命题的否定：有的正方形不是矩形. (3)命题的否定：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根. 学生用书⬇第26页 全称量词命题的否定的关注点 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x). 2.全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后进行否定. 对点练1.写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)所有分数都是有理数； (2)所有能被5整除的数都是奇数； (3)∀x∈N*，2x＞0. 解：(1)命题的否定：存在一个分数不是有理数.命题的否定是假命题. (2)命题的否定：存在一个能被5整除的数不是奇数.命题的否定是真命题. (3)命题的否定：∃x∈N*，2x≤0.命题的否定是假命题. 任务二　存在量词命题的否定 (阅读教材P30—31，完成探究问题2) 问题2.写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2－2x＋3＝0. 以上命题的否定与原命题在形式上有什么变化？ 提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是说，∀x∈R，x2－2x＋3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 存在量词命题的否定 　　对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. [微提醒]　对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. (链教材P30例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1)有些三角形是锐角三角形； (2)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3； (3)存在两个不全等的三角形，它们的面积相等. 解：(1)命题的否定：所有的三角形都不是锐角三角形.命题的否定为假命题. (2)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.命题的否定是假命题. (3)命题的否定：任意两个不全等的三角形，它们的面积都不相等.命题的否定为假命题. 存在量词命题的否定的关注点 1.存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 2.存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题要补上量词后进行否定. 对点练2.(1)命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是(　　) A.∃x∈R，x2－2x＋2≥0 B.∃x∈R，x2－2x＋2＞0 C.∀x∈R，x2－2x＋2＞0 D.∀x∈R，x2－2x＋2≤0 (2)写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： ①∃x＞1，使x2－2x－3＝0； ②方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数； ③有些实数的绝对值是正数. 答案：(1)C 解析：(1)“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2＞0”.故选C. (2)①命题的否定：∀x＞1，x2－2x－3≠0.当x＝3时，x2－2x－3＝0，故命题的否定为假命题. ②命题的否定：方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数.解方程x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，因为3和5都是奇数，所以命题的否定为真命题. ③命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数.命题的否定为假命题. 学生用书⬇第27页 任务三　根据命题的否定求参数范围 命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值范围. 解：命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x＞1，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x＞1，都有2x＋a＞2＋a， 所以2＋a≥3， 所以a≥1. 所以实数a的取值范围为{a｜a≥1}. [变式探究]　(变条件)若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围. 解：由题意知“存在x＞1，使得x＜”是真命题，故有＞1，所以a＜1. 所以实数a的取值范围为{a｜a＜1}. 由命题的否定求参数范围的两个关注点 1.命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化. 2.求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围. 对点练3.已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围. 解：命题p的否定是假命题，即p是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以 解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 任务再现 (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断.(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用 方法提炼 转化法 易错警示 否定不唯一；命题与其否定的真假性相反 1.命题“∃x∈R，使x2＋x－1＝0”的否定是(　　) A.∀x∈R，使x2＋x－1≠0 B.不存在x∈R，使x2＋x－1≠0 C.∀x∉R，使x2＋x－1≠0 D.∃x∈R，使x2＋x－1≠0 答案：A 解析：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x∈R，使x2＋x－1≠0.故选A. 2.已知命题p：∀x≥0，x2－x≥0，则¬p为(　　) A.∃x＜0，x2－x＜0 B.∀x＜0，x2－x＜0 C.∃x≥0，x2－x＜0 D.∀x≥0，x2－x＜0 答案：C 解析：原命题为全称量词命题，则其否定为存在量词命题，即∃x≥0，x2－x＜0.故选C. 3.(多选)下列四个命题中，其命题的否定是假命题的有(　　) A.有理数是实数 B.有些四边形不是菱形 C.∀x∈R，x2－2x＞0 D.∃x∈R，2x＋1为奇数 答案：ABD 解析：由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题；有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题；∀x∈R，x2－2x＞0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题；∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题.故选ABD. 4.若命题p：“∃x∈R，使得方程x2＋2x＋m＝0有实数解”为假命题，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：{m｜m＞1} 解析：因为命题p为假命题，所以“∀x∈R，方程x2＋2x＋m＝0无实数解”为真命题，则Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，所以实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 课时分层评价9　全称量词命题和存在量词命题的否定 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为(　　) A.∃x∈R，x2＋1＞0 B.∃x∈R，x2＋1≤0 C.∃x∈R，x2＋1＜0 D.∀x∈R，x2＋1≤0 答案：B 解析：命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，所以綈p：∃x∈R，x2＋1≤0.故选B. 2.已知命题p：∃c＞0，方程x2－x＋c＝0有解，则¬p为(　　) A.∀c＞0，方程x2－x＋c＝0无解 B.∀c≤0，方程x2－x＋c＝0有解 C.∃c＞0，方程x2－x＋c＝0无解 D.∃c≤0，方程x2－x＋c＝0有解 答案：A 解析：命题p：∃c＞0，方程x2－x＋c＝0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2－x＋c＝0无解.故选A. 3.已知命题p：∃x∈R，x－2＞，命题q：∀x∈R，x2＞0，则(　　) A.命题p，q都是假命题 B.命题p，q都是真命题 C.命题p，¬q都是真命题 D.命题p，¬q都是假命题 答案：C 解析：命题p是真命题，当x＝9时，不等式成立；命题q是假命题，x＝0时，不等式不成立，所以¬q是真命题.故选C. 4.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a｜a＞1} B.{a｜a≥1} C.{a｜a＜1} D.{a｜a≤1} 答案：D 解析：因为命题¬p是假命题，所以p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1，所以实数a的取值范围是{a｜a≤1}.故选D. 5.(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　　) A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D.p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n＞100 答案：ABD 解析：“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.故选ABD. 6.(多选)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A.p：所有四边形的内角和都是360° B.q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C.r：∃x∈{x｜x是无理数}，x2是无理数 D.s：对所有实数a，都有｜a｜＞0 答案：BD 解析：对于A，p的否定：有的四边形的内角和不是360°，故p的否定是假命题；对于B，q的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0恒成立，故q的否定是真命题；对于C，r的否定：∀x∈{x｜x是无理数}，x2不是无理数，故r的否定是假命题；对于D，s的否定：存在实数a，使｜a｜≤0，故s的否定是真命题.故选BD. 7.命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为　　　　　　　　　　. 答案：存在两个等边三角形，它们不相似 解析：根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得：命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为“存在两个等边三角形，它们不相似”. 8.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　.(填“是”或“否”) 答案：是 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 9.已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　　　　. 答案：5 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5，所以实数m的最大值是5. 10.(10分)已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围. 解：因为命题q的否定为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以 解得m≥3，故实数m的取值范围是{m｜m≥3}. (11—13每小题5分，共15分) 11.已知命题p：∃0＜x＜4，x＜1或x＞3，则命题p的否定是(　　) A.∃0＜x＜4，x≥1或x≤3 B.∃0＜x＜4，1≤x≤3 C.∀0＜x＜4，x≥1或x≤3 D.∀0＜x＜4，1≤x≤3 答案：D 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，且“x＜1或x＞3”的否定形式为“1≤x≤3”，故命题p的否定为“∀0＜x＜4，1≤x≤3”.故选D. 12.已知a，b，c∈R，则下列是命题“a，b，c都不小于1”的否定形式的是(　　) A.a，b，c中至少有一个大于1 B.a，b，c都小于1 C.a，b，c不大于1 D.a＜1或b＜1或c＜1 答案：D 解析：“a，b，c都不小于1”的否定形式为“a，b，c至少有一个小于1”，即“a＜1或b＜1或c＜1”.故选D. 13.若“∃x0∈R，＋2x0＋2＝m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：{m｜m≥1} 解析：因为“∃x0∈R，＋2x0＋2＝m”的否定是假命题，所以“∃x0∈R，＋2x0＋2＝m”是真命题，因此关于x的方程x2＋2x＋2－m＝0有实根，所以Δ＝22－4×1×(2－m)≥0，解得m≥1，因此实数m的取值范围是{m｜m≥1}. 14.(10分)命题p是“对任意实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数. (1)写出命题p的否定； (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 解：(1)命题p的否定：对某些实数x，有x－a≤0且x－b＞0. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， 通过画数轴，如图，可以看出，a，b应满足的条件是b＜a. 15.(5分)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是(　　) A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜2x＋1 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜2x＋1 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜2x＋1 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜2x＋1 答案：D 解析：由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜2x＋1”.故选D. 16.(15分)已知全集U＝R，集合A＝{x｜｜x－2｜≥2}，B＝{x｜a＋1＜x＜2a－1}. (1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围； (2)若∀x∈A，均有x∉B，求实数a的取值范围； (3)若∃x∈B，x∉A，求实数a的取值范围. 解：(1)由题意得A＝{x｜x≤0，或x≥4}. 因为A∩B＝B，所以B⊆A， 当B＝⌀，即a＋1≥2a－1时，a≤2，符合题意； 当B≠⌀，即a＞2时，由B⊆A，得a＋1≥4或2a－1≤0，所以a≥3. 综上，实数a的取值范围为{a｜a≤2，或a≥3}. (2)由题意得，A∩B＝⌀. 当a≤2时，B＝⌀，满足题意， 当a＞2时，有 解得－1≤a≤，所以2＜a≤. 综上，a的取值范围是. (3)命题“∃x∈B，x∉A”的否定是“∀x∈B，x∈A”. 当∀x∈B，x∈A时，B⊆A. 由(1)可知实数a的取值范围是{a｜a≤2，或a≥3}. 因此原命题“∃x∈B，x∉A”为真命题时，实数a的取值范围是{a｜2＜a＜3}. 学生用书⬇第28页 学科网（北京）股份有限公司 $