1.5.1 全称量词与存在量词-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务一　全称量词与全称量词命题 (阅读教材P26，完成探究问题1) 问题1.给出下列四个语句： (1)x＞3； (2)2x＋1是整数； (3)对所有的x∈R，x＞3； (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数. 以上四个语句都是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题；语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句. 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) [微提醒]　有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. (链教材P27例1)判断下列命题是否为全称量词命题，并判断真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)自然数的平方大于或等于零； (3)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，都有＜. 解：(1)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题. (2)省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，且该命题是真命题. (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为当x1＝－5，x2＝－3时，满足x1＜x2，但(－5)2＞(－3)2，所以该命题是假命题. 1.全称量词命题的判断方法 (1)看该命题是否含有全称量词. (2)看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，先把全称量词补充出来再判断. 2.全称量词命题真假的判断方法 判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可. 对点练1.(1)命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用数学符号表示为　　　　　　　　. (2)判断下列全称量词命题的真假： ①所有能被6整除的自然数也能被2整除； ②∀x∈R，2x＞x＞1. 答案：(1)∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 解析：(1)含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”，因此该命题用数学符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”. (2)①因为能被6整除的自然数可以写成6n，n∈N，且6n＝2×(3n)，3n∈N，所以6n能被2整除，该命题是真命题. ②2x＞x＞1⇒x＞1，故x≤1时不成立，该命题是假命题. 学生用书⬇第23页 任务二　存在量词与存在量词命题 (阅读教材P27—28，完成探究问题2) 问题2.给出以下4个语句： (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 以上4个语句都是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ 提示：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题；语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句. 存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 ∃x∈M，p(x) [微提醒]　有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. (链教材P28例2)判断下列命题是否为存在量词命题，并判断真假： (1)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (2)某个四边形不是平行四边形； (3)方程3x－2y＝10有整数解； (4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. 解：(1)是存在量词命题，可表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.真命题. (2)是存在量词命题，可表示为∃x∈{y｜y是四边形}，x不是平行四边形.真命题. (3)是存在量词命题，可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.真命题. (4)是存在量词命题，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，因此方程无实数根.假命题. 1.存在量词命题的判断方法 (1)看该命题是否含有存在量词. (2)看该命题是否为省去存在量词的命题，如果是，先把存在量词补充出来再判断. 2.存在量词命题真假的判断方法 判断一个存在量词命题是真命题，只要在集合M中，能找到一个元素x，使p(x)成立即可；否则这一命题就是假命题. 对点练2.下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存在量词，并判断其真假： (1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3＜0； (2)∃x∈R，(2x－3)2≥0； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除. 解：(1)是，存在量词是“存在一个”；因为存在一个实数对(－1，－2)，使得2×(－1)＋3×(－2)＋3＜0，所以存在量词命题“存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3＜0”是真命题. (2)是，存在量词是“∃”； 因为∀x∈R，(2x－3)2≥0，所以存在量词命题“∃x∈R，(2x－3)2≥0”是真命题. (3)是，存在量词是“有些”； 因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题. 学生用书⬇第24页 任务三　由含量词命题的真假求参数范围 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围. 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠⌀，所以 解得2≤m≤3. 即实数m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. [变式探究]　1.(变条件)把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，求实数m的取值范围. 解：由于命题p：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠⌀，因为B≠⌀，所以m＋1≤2m－1，即m≥2. 所以 解得2≤m≤4. 所以实数m的取值范围为{m｜2≤m≤4}. 2.(变条件，变结论)把本例中的命题p改为“∀x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由. 解：若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题， 则A⊆B，B≠⌀， 所以无解， 所以不存在实数m，使命题p是真命题. 依据含量词命题的真假求参数范围的方法步骤 1.根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意. 2.根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围问题. 对点练3.若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围. 解：因为命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， 所以方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. 即实数a的取值范围为{a｜a≤4}. 任务再现 (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念.(2)含量词的命题的真假判断.(3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围 方法提炼 定义法、转化法 易错警示 (1)有些命题省略了量词.(2)全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分” 1.下列命题中，既是存在量词命题也是假命题的是(　　) A.至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除 B.有些梯形是等腰梯形 C.对任意非零实数x1，x2，若x1＜x2，则 D.∃x∈R，x2＋2x＋2＜0 答案：D 解析：对于A，该命题是存在量词命题，因为99既能被11整除，又能被9整除，所以该命题是真命题；对于B，该命题是存在量词命题且是真命题；对于C，该命题是全称量词命题，存在x1＝－1，x2＝1，满足x1＜x2，但＜，所以该命题是假命题；对于D，该命题是存在量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝4－8＜0，所以x2＋2x＋2＞0恒成立，故该命题是假命题.故选D. 2.(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A.∃x∈R，x3＝3 B.∃x∈R，3x＋1是整数 C.∀x∈R，｜x｜＞3 D.∀x∈Q，x2∈Z 答案：AB 解析：A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，｜x｜＜3；D是假命题，如x＝，x2∉Z.故选AB. 3.已知∀x∈{x｜1≤x＜3}，都有m＞x，则实数m的取值范围为(　　) A.{m｜m≥3} B.{m｜m＞3} C.{m｜m＞1} D.{m｜m≥1} 答案：A 解析：因为∀x∈{x｜1≤x＜3}，都有x＜3，所以要使m＞x成立，只需m≥3即可，所以m的取值范围为{m｜m≥3}.故选A. 4.若“∃x∈R，x2＝m”是假命题，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：{m｜m＜0} 解析：由题意得，方程x2＝m没有实数解，因为x2≥0，所以m＜0，所以实数m的取值范围是{m｜m＜0}. 课时分层评价8　全称量词与存在量词 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比零小 C.每一个正方形都是矩形 D.存在没有最大值的二次函数 答案：D 解析：选项A，B，C包含全称量词，是全称量词命题，D选项含有存在量词，是存在量词命题.故选D. 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 答案：C 解析：B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象开口向下，故A为假命题，也应排除.故选C. 3.下列命题中的假命题是(　　) A.∃x∈R，｜x｜＝0 B.∃x∈R，2x－10＝1 C.∀x∈R，x3＞0 D.∀x∈R，x2＋1＞0 答案：C 解析：当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题. 4.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A.∀x∈Q，有x∈P B.∀x∉Q，有x∉P C.∃x∉Q，使得x∈P D.∃x∈P，使得x∉Q 答案：B 解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，如图，所以A错误，B正确，C错误，D错误.故选B. 5.(多选)已知集合A＝{x｜x＞2}，集合B＝{x｜x＞3}，则以下命题为真命题的是(　　) A.∃x∈A，x∉B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∈B D.∀x∈B，x∈A 答案：AD 解析：因为A＝{x｜x＞2}，B＝{x｜x＞3}，所以B是A的真子集.所以∃x∈A，x∉B，故A为真命题，C为假命题；因为B⫋A，所以∀x∈B，x∈A，故B为假命题，D为真命题.故选AD. 6.(多选)下列命题中，是全称量词命题且为假命题的是(　　) A.空集是任何一个非空集合的真子集 B.∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2 C.∃x∈{－2，－1，0，1，2}，｜x－2｜＜2 D.∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解 答案：BD 解析：C选项是存在量词命题，先排除；A，B，D选项是全称量词命题，易知A选项是真命题，故排除A；对于B，若x＝1，则4x2＝2x－1＋3x2，所以B为假命题；对于D，若a＝b＝0，ax＋b＝0有无数解，所以D为假命题.故B，D符合题意.故选BD. 7.下列命题中正确的序号是　　　　. ①∃x∈R，x≤0； ②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x∈{x｜x是无理数}，x＋5是无理数. 答案：①②③ 解析：①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x｜x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确. 8.若命题“∃x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案：{a｜a＜3} 解析：当a≤0时，显然存在x＞1，使ax－3＜0；当a＞0时，结合一次函数图象知，需满足x＝1时，ax－3＜0，得a＜3，故0＜a＜3.综上所述，实数a的取值范围是{a｜a＜3}. 9.若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：{a} 解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝(－3)2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是{a}. 10.(10分)已知集合M＝{x｜a≤x≤a＋1}. (1)若命题“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题“∃x∈M，x＋1＞0”为真命题，求实数a的取值范围. 解：(1)由题意得a＋1＞0，解得a＞－1，所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. (2)由题意得a＋1＋1＞0，即a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}. (11—13每小题5分，共15分) 11.(多选)下列命题正确的是(　　) A.存在x＜0，使｜x｜＞x B.对于一切x＜0，都有｜x｜＞x C.不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0 D.已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝⌀ 答案：ABC 解析：A，B显然为真命题，故A，B正确；由于对于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立，故C为真命题；已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故D为假命题.故选ABC. 12.已知“∀x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”和“∃x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是(　　) A.m＞0，n＞0 B.m＞0，n＞2 C.m＞2，n＞0 D.m＞2，n＞2 答案：C 解析：由“∀x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“∃x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0.故选C. 13.使“∀x∈{x｜3≤x≤4}，x－a＜0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a＞4 B.a＞5 C.a＞3 D.a≥4 答案：B 解析：依题意，全称量词命题：∀x∈{x｜3≤x≤4}，x－a＜0为真命题，所以a＞x在x∈{x｜3≤x≤4}时恒成立，所以a＞4，所以四个选项中使“∀x∈{x｜3≤x≤4}，x－a＜0”为真命题的一个充分不必要条件只有a＞5.故选B. 14.(10分)设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}. (1)若“∃x∈R，x∈(A∩B)”为假命题，求实数m的取值范围； (2)若A∩B中有且只有三个整数，求实数m的取值范围. 解：(1)由题意知A∩B＝⌀. 当B＝⌀时，2m≥1－m，解得m≥； 当B≠⌀，即m＜时，有2m≥2或1－m≤－1，此时m无解. 综上，实数m的取值范围为. (2)因为A∩Z＝{－1，0，1，2}， 所以A∩B中只有三个整数时，可能为－1，0，1或0，1，2. 当A∩B∩Z＝{－1，0，1}时，有解得－1≤m＜－； 当A∩B∩Z＝{0，1，2}时，有无解. 综上，实数m的取值范围为. 15.(5分)已知全集U＝R，集合A＝{x｜－4＜x≤6}，集合B＝{x｜2m＜x＜2－m}.若∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：{m｜m＜－4} 解析：由题意得A⊆B，则所以m＜－4，所以实数m的取值范围为{m｜m＜－4}. 16.(15分)已知命题p：∀x∈{x｜3≤x≤5}，x－a≥0，在①∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0；②∃集合A＝{x｜2＜x＜4}，集合B＝{x｜a＜x＜2a}，使得A∩B＝⌀，这两个命题中任选一个作为命题q，并求解下列问题. (1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围. 解：(1)根据题意得，∀x∈{x｜3≤x≤5}，a≤x， 即a≤3. 所以实数a的取值范围为{a｜a≤3}. (2)选①：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0， 当a＝0时，满足题意； 当a≠0时，Δ＝4－4a≥0，所以a≤1，且a≠0， 故命题q为真命题时，实数a的取值范围是{a｜a≤1}. 根据(1)中所求，若命题p和命题q都是真命题， 则实数a的取值范围是{a｜a≤1}. 选②：∃集合A＝{x｜2＜x＜4}，集合B＝{x｜a＜x＜2a}，使得A∩B＝⌀， 当a≥2a，即a≤0时，B＝⌀，满足题意； 当a＜2a，即a＞0时，只需2a≤2或a≥4，解得0＜a≤1或a≥4. 故命题q为真命题时，a∈{a｜a≤1，或a≥4}. 根据(1)中所求，若命题p和命题q都是真命题， 则实数a的取值范围为{a｜a≤1}. 学生用书⬇第25页 学科网（北京）股份有限公司 $