1.4.1 充分条件与必要条件-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习二　常用逻辑用语 　　[单元整体设计]　常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，本单元是在学习集合语言的基础上，从初中学过的定义和定理出发，学习充分条件与必要条件、全称量词与存在量词，会用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学习计划4课时. 本单元内容的重点是充分条件、必要条件和充要条件的意义；全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称量词命题进行否定与使用全称量词对存在量词命题进行否定.难点是对必要条件的意义、充要条件与数学定义之间的关系的理解；判断全称量词命题和存在量词命题的真假；正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定.通过本单元的学习，让学生逐渐习惯用数学的思维和符号表述和研究数学结论，提高交流的严谨性与准确性，提升逻辑推理的核心素养. 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　命题 (阅读教材P17，完成探究问题1) 问题1.阅读以下四个语句： (1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； (2)同位角相等； (3)两个面积相等的三角形全等； (4)同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 以上四个语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？ 提示：四个语句具有以下两个特点：①均是陈述句；②能够判断真假，其中(1)(4)为真，(2)(3)为假. 1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 2.分类：判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题. 3.结构形式：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论. [微提醒]　(1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.(2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断.(3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题. 判断下列命题的真假： (1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； (2)若x∈N，则x3＞x2成立； (3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆. 解：(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立. (3)真命题.因为m＞1⇒Δ＝4－4m＜0， 所以方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 学生用书⬇第17页 判断命题真假的方法 　　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 对点练1.给出下面四个命题： ①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②平面内，四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若ac2＞bc2，则a＞b. 其中真命题的序号是　　　　. 答案：①④ 解析：①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故②是假命题；③平行四边形不是梯形，故③是假命题. 任务二　充分条件与必要条件 (阅读教材P17—20，完成探究问题2) 问题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2－4x＋3＝0，则x＝1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 提示：在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题. 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/ q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 [微提醒]　(1)一般地，如果p⇒q且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件.(2)如果p⇒/ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(3)如果p⇒/ q且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件. [微思考]　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示：不唯一.例如q：“x＞0”的充分条件p可以是“x＞2”，“x＞3”，“2＜x＜3”等，是不唯一的. (链教材P18例1，P19例2)给出下面四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⫋B，q：A∩B＝A； (4)p：a＞b，q：ac＞bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解：(1)因为两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， 所以p是q的必要不充分条件. (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形， 所以q⇒/ p. 所以p是q的充分不必要条件. (3)因为p⇒q且q⇒/ p， 所以p是q的充分不必要条件. (4)因为p⇒/ q，且q⇒/ p， 所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 学生用书⬇第18页 充分、必要条件的判断方法 1.定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件. 2.集合法：利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件. 对点练2.指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； (2)p：“x＞2且y＞3”，q：“x＋y＞5”； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形. 解：(1)实数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，q⇒/ p， 所以p是q的充分不必要条件. (2)x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定成立，如x＝0，y＝6， 所以p是q的充分不必要条件. (3)在△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p⇒/ q，且q⇒p， 所以p是q的必要不充分条件. 任务三　根据充分(必要)条件求参数 (1)设p：－1≤x＜2，q：x＜a，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a｜a≤－1} B.{a｜a≤－1，或a≥2} C.{a｜a≥2} D.{a｜－1≤a＜2} (2)已知集合A＝{x｜－2≤x＜5}，非空集合B＝{x｜2－a≤x≤3＋2a}，其中a∈R.若x∈A的一个充分条件是x∈B，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为q是p的必要条件，所以p⇒q，可用数轴表示{x｜－1≤x＜2}和{x｜x＜a}， 如图， 所以a≥2.故选C. (2)由题意得B⊆A且B≠⌀，则所以－≤a＜1，所以实数a的取值范围是. [变式探究](变条件)保持本例(2)条件变为“若x∈A是x∈B的充分条件”，求实数a的取值范围. 解：因为x∈A是x∈B的充分条件，故A⊆B. 所以故a≥4. 所以实数a的取值范围为{a｜a≥4}. 充分条件与必要条件的应用技巧 1.应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. 2.求解技巧：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 对点练3.(双空题)已知p：－1＜x＜6，q：1－m≤x≤3＋m. (1)若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为　　　　； (2)若p是q的必要条件，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(1){m｜m≥3}　(2){m｜m＜2} 解析：(1)由题意可得解得m≥3，则实数m的取值范围为{m｜m≥3}. (2)当1－m＞3＋m，即m＜－1时，p是q的必要条件，符合要求；当1－m≤3＋m，即m≥－1时，由p是q的必要条件，可得解得－1≤m＜2，综上，实数m的取值范围是{m｜m＜2}. 任务再现 (1)充分条件、必要条件的概念.(2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.(3)充分条件、必要条件的判断.(4)充分条件与必要条件的应用 方法提炼 等价转化 易错警示 (1)充分条件、必要条件不唯一.(2)求参数范围时能否取到端点值 学生用书⬇第19页 1.俗语云：“好人有好报”.这句话中“好人”是“有好报”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断 答案：A 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件.故选A. 2.下列选项中是“四边形是矩形”的一个充分条件的是(　　) A.四边形是平行四边形 B.四边形是菱形 C.四边形是正方形 D.四边形的两条对角线相等 答案：C 解析：选项中能推出四边形是矩形的只有C. 3.(多选)使x＞1成立的一个必要条件可以是(　　) A.x＞0 B.x＞－1 C.x＞2 D.x＜2 答案：AB 解析：只有x＞1⇒x＞0，x＞1⇒x＞－1，其他选项均不可由x＞1推出.故选AB. 4.写出一个“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的必要条件：　　　　. 答案：m＜(答案不唯一) 解析：因为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，所以Δ＝1－4×1×m≥0，解得m≤，而m≤可以推出m＜，所以m＜可以作为“关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的一个必要条件. 课时分层评价6　充分条件与必要条件 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断 答案：B 解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，所以p⇒/ q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件.故选B. 2.下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：a＝－1，q：｜a｜＝1 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1 C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1 答案：D 解析：要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a＞b＋1⇒p：a＞b符合题意.故选D. 3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断 答案：A 解析：若a＝3，则集合A＝{1，3}，能推出A⊆B成立，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分条件；若A⊆B，则a＝2或3，所以“a＝3”不是“A⊆B”的必要条件.故选A. 4.使x＜2成立的一个必要条件是(　　) A.x＜0 B.x＜3 C.x＜1 D.x＞1 答案：B 解析：只有x＜2⇒x＜3，其他选项均不可由x＜2推出.故选B. 5.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：a是无理数，q：a2是无理数 B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C.p：x＞2，q：x≥1 D.p：a＞b，q：ac2＞bc2 答案：BC 解析：对于A，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；对于B，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；对于C，x＞2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；对于D，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件.故选BC. 6.(多选)使ab＞0成立的充分条件是(　　) A.a＞0，b＞0 B.a＋b＞0 C.a＜0，b＜0 D.a＞1，b＞1 答案：ACD 解析：因为a＞0，b＞0⇒ab＞0；a＜0，b＜0⇒ab＞0；a＞1，b＞1⇒ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件. 7.已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的　　　　条件；q是p的　　　　条件.(用“充分”“必要”填空) 答案：充分　必要 解析：因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. 8.设A，B是两个非空集合，则“A∩B＝A”是“A＝B”的　　　　条件.(填“充分”“必要”) 答案：必要 解析：由A∩B＝A，得A⊆B，但推不出A＝B，因此“A∩B＝A”不是“A＝B”的充分条件；反过来，由A＝B，得A⊆B，能推出A∩B＝A，因此“A∩B＝A”是“A＝B”的必要条件. 9.已知p：x＜－2或x＞10，q：x＜1＋a或x＞1－a(a＜0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：{a｜a≤－9} 解析：因为p是q的必要条件，所以q⇒p，所以解得a≤－9，所以实数a的取值范围是{a｜a≤－9}. 10.(10分)指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件： (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)因为x2＝2x＋1⇒/x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件. (2)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒/a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件. (3)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，(x－1)(y－2)＝0⇒/(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分条件. (11—13每小题5分，共15分) 11.(多选)下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜；④－1＜x＜0.其中，可以是－1＜x＜1的一个充分条件的序号为(　　) A.① B.② C.③ D.④ 答案：BCD 解析：因为－1＜x＜1，所以②③④是－1＜x＜1的充分条件. 12.(多选)设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”，条件B：“灯泡L亮”，则A是B的必要条件的电路图为(　　) 答案：BC 解析：对于A，当灯泡L亮时，有可能开关S2闭合，不能推出开关S1闭合，此时A不是B的必要条件，故A项错误；对于B，由于开关S1与灯泡L是串联关系，故由“灯泡L亮”可以推出“开关S1闭合”，此时A是B的必要条件，故B项正确；对于C，由于开关S1、S2与灯泡L是串联关系，所以灯泡L亮时，可得开关S1、S2均闭合，所以A是B的必要条件，故C项正确；对于D，不论开关S1是否闭合，灯泡L都是亮的，故由“灯泡L亮”不可以推出“开关S1闭合”，即A不是B的必要条件，故D项错误.故选BC. 13.(双空题)设p：k＞5，b＜5，q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　　　　条件，q是p的　　　　条件.(用“充分”或“必要”填空) 答案：充分　必要 解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图所示，此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. 14.(10分)已知集合A＝{2，3}，B＝{x｜x2＋mx＋6＝0}，若A是B的必要条件，求实数m的取值范围. 解：若A是B的必要条件，则B⊆A. 当B＝⌀时，m2－4×1×6＜0， 解得－2＜m＜2； 当B＝{2}时，此时m不存在； 当B＝{3}时，此时m不存在； 当B＝{2，3}时，此时m＝－5. 综上，实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2，或m＝－5}. 15.(5分)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图. 综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.故选A. 16.(15分)(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？ 解：(1)欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件， 则只要⊆{x｜x＜－1，或x＞3}， 即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件. (2)欲使2x＋m＜0是x＜－1，或x＞3的必要条件，则只要{x｜x＜－1，或x＞3}⊆，这是不可能的. 故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $