1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦全集、补集的概念及运算，系统衔接集合交、并运算，构建从基础概念（全集定义、补集含义）到综合应用（交并补混合运算、参数求解）的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 通过情境实例（如班级学生参与足球队问题）引入概念，结合Venn图、数轴直观呈现运算过程，培养数学抽象与直观想象素养。分任务驱动教学搭配分层练习，课中助力教师高效授课，课后通过易错警示与变式训练帮助学生查漏补缺，提升数学运算能力。

第2课时　全集、补集及综合应用 学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集. 3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算的核心素养. 任务一　全集、补集 (阅读教材P12—13，完成探究问题) 问题.U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}. (1)集合U，A，B三者有何关系？ 提示：U＝A∪B. (2)集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：B中元素都在U中， 但都不在A中. 学生用书⬇第13页 1.全集 (1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. (2)记法：通常记作U. [微思考]　全集一定是实数集吗？ 提示：不一定. 2.补集 [微提醒]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围. (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也不同. (链教材P13例5)(1)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则∁UA＝(　　) A.{1，3} B.{1，3，6} C.{2，3，6} D.{2，3，5} (2)已知全集U＝{x｜x≤5}，集合A＝{x｜－3≤x＜5}，则∁UA＝　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2){x｜x＜－3，或x＝5} 解析：(1)因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，所以∁UA＝{1，3，6}.故选B. (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示.由补集定义可得∁UA＝{x｜x＜－3，或x＝5}. 求集合的补集的方法 1.定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解. 2.Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3.数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题. 对点练1.(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝　　　　. (2)若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U分别取下列集合时，求∁UA. ①U＝R； ②U＝{x｜x≤2}； ③U＝{x｜－4≤x≤1}. 答案：(1){2，3，5，7} 解析：(1)由题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7}，因为∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}. (2)①把集合A表示在数轴上，如图所示.又U＝R， 由图知∁UA＝{x｜x＜－1，或x≥1}. ②把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA＝{x｜x＜－1，或1≤x≤2}. ③把集合U和A表示在数轴上，如图所示. 由图知∁UA＝{x｜－4≤x＜－1，或x＝1}. 任务二　集合交、并、补的综合运算 (1)设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，集合B＝{－1，0，1，2，3}，C＝{1，2，3}，则(A∩B)∪C＝(　　) A.{－1，0，1，2} B.{0，1，2} C.{0，1，2，3} D.{－1，0，1，2，3} (2)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B). 答案：(1)C 解析：(1)A∩B＝{0，1，2}，则(A∩B)∪C＝{0，1，2，3}. (2)如图所示. 因为A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}， 所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}， A∪B＝{x｜－3≤x＜3}. 所以(∁UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x｜2＜x＜3}， ∁U(A∪B)＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}. 学生用书⬇第14页 解决集合交、并、补运算的技巧 1.如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. 2.如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意端点问题. 对点练2.(1)已知M，N均为R的子集，且(∁RM)⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　) A.⌀ B.M C.N D.R (2)已知全集U＝{x｜x＜10，x∈N*}，A＝{2，4，5，8}，B＝{1，3，5，8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB). 答案：(1)B 解析：(1)因为(∁RM)⊆N，所以M⊇(∁RN)， 所以M∪(∁RN)＝M.故选B. (2)由题意得A∪B＝{1，2，3，4，5，8}，A∩B＝{5，8}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 所以∁U(A∪B)＝{6，7，9}， ∁U(A∩B)＝{1，2，3，4，6，7，9}. 所以(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{6，7，9}， (∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{1，2，3，4，6，7，9}. 任务三　利用集合的运算求参数 设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 解：法一(直接法)：由A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，得∁UA＝{x｜x＜－m}. 因为B＝{x｜－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝⌀，在数轴上表示集合B，∁UA如图. 所以－m≤－2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 法二(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝⌀可知B⊆A，又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2，所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}. [变式探究]　1.(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝⌀”改为“(∁UA)∩B≠⌀”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， 所以∁UA＝{x｜x＜－m}， 又(∁UA)∩B≠⌀， 所以－m＞－2，解得m＜2. 故实数m的取值范围为{m｜m＜2}. 2.(变条件)将本例条件“(∁UA)∩B＝⌀”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2，或x≥4}. 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故实数m的取值范围为{m｜m≥2}. 由集合的补集求解参数的方法 1.如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解. 2.如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解. 对点练3.(1)设U＝{0，1，2，3}，A＝{x｜x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝　　　　. (2)已知全集U＝R，A＝{x｜1≤x＜b}，∁UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，则实数b＝　　　　. 答案：(1)－3　(2)2 解析：(1)因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，又A＝{x｜x2＋mx＝0}＝{0，－m}，故m＝－3. (2)因为∁UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，所以A＝{x｜1≤x＜2}.所以b＝2. 学生用书⬇第15页 [教材拓展1]　集合中的德摩根定理 　　在集合论中，德摩根定理描述了集合的并集和交集的补集之间的关系.具体来说，德摩根定理包括以下两个定律： 定律一：两个集合的并集的补集等于它们的补集的交集，可以表示为∁I(A∪B)＝(∁IA)∩(∁IB). 定律二：两个集合的交集的补集等于它们的补集的并集，可以表示为綂I(A∩B)＝(∁IA)∪(∁IB). 这两个定律用补集将集合的交集和并集联系在一起，在集合理论和数学推理中具有重要的作用.它们可以帮助我们简化集合运算，证明集合等式，以及解决与集合相关的问题. (1)设集合M＝{0＜x＜4}，N＝，则(∁RM)∩(∁RN)＝(　　) A.{x＜3，或x≥4} B.{3≤x＜4} C.{x≤0，或x＞5} D.{0＜x≤5} (2)(多选)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为(　　) A.2 B.6 C.8 D.12 答案：(1)C　(2)BC 解析：(1)因为M＝{0＜x＜4}，N＝{x｜3≤x≤5}，所以M∪N＝{x｜0＜x≤5}.所以(∁RM)∩(∁RN)＝∁R(M∪N)＝{x｜x≤0，或x＞5}.故选C. (2)因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U中有m个元素，所以A∩B中有12－m个元素，设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－＝12，即m＝18－x，因为m≥8，所以x≤10，又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10，故选BC. 任务再现 (1)全集与补集及性质.(2)交、并、补集的综合运算.(3)利用集合间的关系求参数范围 方法提炼 观察法、分析法、数形结合、分类讨论 易错警示 (1)自然数集容易遗漏元素0.(2)解决含参的集合运算时要注意空集这一特殊情况 1.已知全集U＝{－3＜x＜3}，集合A＝{－2＜x≤1}，则∁UA＝(　　) A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜－3＜x＜－2，或1≤x＜3} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜－3＜x≤－2，或1＜x＜3} 答案：D 解析：由补集定义可知：∁UA＝{x｜－3＜x≤－2，或1＜x＜3}.故选D. 2.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5，7}，B＝{3，4，5}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A.{1，6} B.{4，5} C.{2，3，4，5，7} D.{1，2，3，6，7} 答案：D 解析：∁UA＝{1，3，6}，∁UB＝{1，2，6，7}，则(∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，3，6，7}. 3.如图，U是全集，M，P，S是U的子集，则阴影部分表示的集合是(　　) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩(∁US) D.(M∩P)∪(∁US) 答案：C 解析：由图知，阴影部分中的元素在集合M中，也在集合P中，但不在集合S中，故阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁US).故选C. 4.设全集U＝R，集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：{a｜a≤1} 解析：因为A＝{x｜x＞1}，所以∁UA＝{x｜x≤1}，因为(∁UA)∪B＝R，所以a≤1.故实数a的取值范围是{a｜a≤1}. 课时分层评价5　全集、补集及综合应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T＝(　　) A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4} C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1} 答案：C 解析：因为S＝{x｜x＞－2}，所以∁RS＝{x｜x≤－2}.又T＝{x｜－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}.故选C. 2.已知U＝{x∈Z｜－3≤x≤3}，A＝{－3，－2，1}，B＝{0，1，2}，则∁U(A∪B)＝(　　) A.{－1，0，1} B.{－1，3} C.{－1，1，3} D.{－1，0，1，3} 答案：B 解析：由U＝{x∈Z｜－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，A∪B＝{－3，－2，1}∪{0，1，2}＝{－3，－2，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－1，3}.故选B. 3.全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x｜(x－2)·(x2－1)＝0}，则集合{2，0}的Venn图表示为(　　) 答案：A 解析：解(x－2)(x2－1)＝0，得x＝2或x＝±1，所以B＝{－1，1，2}，对于A，表示∁U(A∪B)∪(A∩B).因为A∩B＝{2}，A∪B＝{－2，－1，1，2}，所以∁U(A∪B)∪(A∩B)＝{2，0}，故A正确；对于B，表示B∩(∁UA)，因为∁UA＝{－1，0，1}，所以B∩(∁UA)＝{－1，1}，故B不正确；对于C，表示∁UA＝{－1，0，1}，故C不正确；对于D，表示A∩(∁UB)＝{－2}，故D不正确.故选A. 4.设U＝{1，2，3，4，5}，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1，5}，则下列结论正确的是(　　) A.3∉A且3∉B B.3∈A且3∉B C.3∉A且3∈B D.3∈A且3∈B 答案：B 解析：由题意，画出Venn图可知. 所以A＝{2，3}，B＝{2，4}，则3∈A且3∉B.故选B. 5.(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则(　　) A.M∩N＝{0，1} B.∁UN＝{4} C.M∪N＝{0，1，3，4} D.M∩(∁UN)＝{4} 答案：ACD 解析：由题意知M∩N＝{0，1}，A正确；∁UN＝{2，4}，B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，C正确；M∩(∁UN)＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，D正确.故选ACD. 6.(多选)已知U＝R，A＝{x｜x＞0}，B＝{x｜x≤－1}，则下列运算正确的是(　　) A.A∩(∁UB)＝{x｜x＞0} B.A∪(∁UB)＝{x｜x＞－1} C.B∩(∁UA)＝{x｜x≤－1} D.B∪(∁UA)＝{x｜x＞0} 答案：ABC 解析：因为∁UA＝{x｜x≤0}，∁UB＝{x｜x＞－1}，所以A∩(∁UB)＝{x｜x＞0}，故A正确；A∪(∁UB)＝{x｜x＞－1}，故B正确；B∩(∁UA)＝{x｜x≤－1}，故C正确；B∪(∁UA)＝{x｜x≤0}，故D错误.故选ABC. 7.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则(∁UA)∩(∁UB)＝　　　　　　. 答案：{x｜x是直角三角形} 解析：根据三角形的分类可知，∁UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以(綂UA)∩(綂UB)＝{x｜x是直角三角形}. 8.已知全集为R，集合A＝{x｜2＜x＜6}，B＝{x｜a－4≤x≤a＋4}，且A⊆∁RB，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案：{a｜a≥10，或a≤－2} 解析：由题可知∁RB＝{x｜x＜a－4，或x＞a＋4}.因为A⊆∁RB，所以6≤a－4，或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2，所以实数a的取值范围是{a｜a≥10，或a≤－2}. 9.已知全集U＝{x｜1≤x≤5}，A＝{x｜1≤x＜a}，若∁UA＝{x｜2≤x≤5}，则a＝　　　　. 答案：2 解析：因为A＝{x｜1≤x＜a}，∁UA＝{x｜2≤x≤5}，所以A∪(∁UA)＝U＝{x｜1≤x≤5}，且A∩(∁UA)＝⌀，所以a＝2. 10.(10分)设全集U＝R，M＝{x｜3a＜x＜2a＋5}，P＝{x｜－2≤x≤1}. (1)若a＝0，求(∁UM)∩P； (2)若M⊆(∁UP)，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝0时，M＝{x｜0＜x＜5}， 所以∁UM＝{x｜x≤0，或x≥5}， 则(∁UM)∩P＝{x｜－2≤x≤0}. (2)因为全集U＝R，P＝{x｜－2≤x≤1}， 所以∁UP＝{x｜x＜－2，或x＞1}， 因为M⊆(∁UP)，所以当M≠⌀时， 有 解得a≤－≤a＜5； 当M＝⌀时，有3a≥2a＋5，解得a≥5. 综上，实数a的取值范围为{a｜a≤－，或a≥}. (11—13每小题5分，共15分) 11.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　　) A.最多人数是55 B.最少人数是55 C.最少人数是75 D.最多人数是80 答案：B 解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈，以上两种药都带的人数为y.根据题意画出Venn图，如图所示.由图可知，x＋card＋card－y＝100.所以x＋75＋80－y＝100，所以y＝55＋x.因为0≤x≤20，所以55≤y≤75，故最少人数是55.故选B. 12.已知全集为U，集合M，N满足M⫋N⫋U，则下列运算结果为U的是(　　) A.M∪N B.(∁UN)∪(∁UM) C.M∪(∁UN) D.N∪(∁UM) 答案：D 解析：如图，M∪N＝N≠U，故A错误；(∁UN)∪(∁UM)＝∁U(M∩N)＝∁UM≠U，故B错误；M∪(∁UN)≠U，故C错误；N∪(∁UM)＝U，故D正确.故选D. 13.设U＝R，集合A＝{x｜x2＋4x＋3＝0}，B＝{x｜x2＋(m＋1)x＋m＝0}.若(∁UA)∩B＝⌀，则m＝　　　　. 答案：1或3 解析：由题意得，A＝{－3，－1}，B＝{x｜(x＋m)(x＋1)＝0}，因为(∁UA)∩B＝⌀，易知－1为B中方程的一个根，所以需分两种情况讨论：当B中的方程有两个相同的解x1＝x2＝－1时，m＝1；当B中的方程有两个不同的解x＝－3或x＝－1时，m＝3.综上，m的值为1或3. 14.(10分)设集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{x｜1＜x＜2a}. (1)若A∪B＝A，求实数a的取值范围； (2)若(∁RA)∩B中只有一个整数，求实数a的取值范围. 解：(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝⌀时，2a≤1，解得a≤； 当B≠⌀时，a＞，且2a≤2，所以＜a≤1. 综上可知，实数a的取值范围是{a｜a≤1}. (2)∁RA＝{x｜x＜－1，或x＞2}， 因为(∁RA)∩B中只有一个整数，所以该整数为3，如图， 由图可知3＜2a≤4，所以＜a≤2， 即实数a的取值范围是. 15.(5分)(多选)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{x∈N｜x＜5}，B＝{1，3，5，7}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{0，2，4} B.{2，4} C.A∩(∁UB) D.(∁UA)∩(∁UB) 答案：AC 解析：由Venn图可知阴影部分所表示的集合为A∩(∁UB)，故C正确；因为A＝{x∈N｜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，∁UB＝{0，2，4，6}，所以A∩(∁UB)＝{0，2，4}，故A正确.故选AC. 16.(15分)(新定义)定义两种运算“⊕”与“ⓧ”，满足如下运算法则：对任意的a，b∈R，有a⊕b＝ab，aⓧb＝.设全集U＝{x｜x＝(a⊕b)＋(aⓧb)，－2＜a≤b＜1且a∈Z，b∈Z}，集合A＝{xa∈Z，b∈Z}，B＝{x｜x2－3x＋m＝0}. (1)求集合U和A； (2)集合A，B能不能满足(∁UA)∩B＝⌀？若能，求出实数m的取值范围，若不能，请说明理由. 解：(1)全集U中x＝(a⊕b)＋(aⓧb)＝ab＋，由－2＜a≤b＜1，且a，b∈Z， 得当a＝－1时，b＝0或b＝－1，此时x＝－或x＝1； 当a＝0时，b＝0，此时x＝0， 所以U＝. 集合A中x＝2(a⊕b)＋＝2ab＋，由－1＜a＜b＜2，且a，b∈Z， 得a＝0，b＝1，所以x＝－， 即A＝. (2)由(1)得，∁UA＝{0，1}. 当(∁UA)∩B＝⌀时，B⊆A，又A中只有一个元素，故B＝⌀或B＝A. 当B＝⌀时，方程x2－3x＋m＝0无实根， Δ＝(－3)2－4m＜0，解得m＞； 当B＝A时，方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实根－， 则无解. 综上，实数m的取值范围是. 学生用书⬇第16页 学科网（北京）股份有限公司 $