1.2 集合间的基本关系-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

1.2　集合间的基本关系 学习目标 1.在具体情境中，了解空集的含义. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用，培养数学抽象的核心素养. 任务一　子集 (阅读教材P7，完成探究问题1) 问题1.观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体学生}； (3)A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}. 上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：集合A中的元素都是集合B中的元素；实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素. 1.子集 文字叙述 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 符号表示 记作：A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图 表示 [微思考]　1.任何两个集合之间是否都有包含关系？ 提示：不一定.如集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，1}，这两个集合没有包含关系. 2.符号“∈”与“⊆”有什么不同？ 提示：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合之间的关系. 2.集合相等 文字叙述 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 符号表示 若A⊆B且B⊆A，则A＝B Venn图表示 (链教材P9练习T3)判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； (3)A＝{x｜x是正方形}，B＝{x｜x是矩形}； (4)M＝{x｜x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}. 解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (3)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 学生用书⬇第8页 判断集合间关系的常用方法 对点练1.(1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　　) A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P (2)如果集合A＝{x｜x∈Z，且x≥0}，B＝{y｜y＝x2，x∈Z}，则集合A，B的关系是　　　　. 答案：(1)B　(2)B⊆A 解析：(1)正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，则Q⊆M⊆N⊆P.故选B. (2)因为x∈Z，所以x2∈Z，且x2≥0，因为A＝{x｜x∈Z，且x≥0}，所以x2∈A.故B⊆A. 任务二　真子集 (阅读教材P8，完成探究问题2) 问题2.观察下面两个例子，回答问题： ①集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； ②集合M＝{x∈R｜x2－2x＋2＝0}. (1)集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素. (2)集合M中有多少个元素？ 提示：集合M中没有元素. 1.真子集 文字叙述 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 符号表示 记作：A⫋B或B⫌A 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图 表示 [微提醒]　A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 2.集合间关系的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A⫋B，B⫋C，则A⫋C. 3.空集 定义 我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的子集，即⌀⊆A 特征 (1)空集只有一个子集，即它的本身，⌀⊆⌀ (2)若A≠⌀，则⌀⫋A [微思考]　能不能说空集是任何集合的真子集？ 提示：不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的真子集. (链教材P8例1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：子集有⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 其中真子集有⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}. 求集合子集、真子集个数的步骤 [注意]　含有n个元素的集合，它的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 对点练2.若集合A满足{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则集合A所有可能的情形有(　　) A.3种 B.5种 C.7种 D.9种 答案：C 解析：由{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，可知集合A必有元素，且至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：，，，，，，七种可能.故选C. 学生用书⬇第9页 任务三　由集合间的关系求参数(范围) (链教材P9习题T5(2))已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜3≤m≤4} 解析：因为A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围为{m｜3≤m≤4}. [变式探究]　1.(变条件)将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜m＜－5} 解析：①当B＝⌀时，有m－6＞2m－1，则m＜－5，此时B⊆A成立；②当B≠⌀时，B⊆A，此时满足不等式组的解集为⌀.由①②可知，实数m的取值范围为{m｜m＜－5}. 2.(变条件)将“A＝{x｜－2≤x≤5}”改为“A＝{x｜－2＜x＜5}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜3≤m≤4} 解析：因为A＝{x｜－2＜x＜5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，且A⊆B，所以解得3≤m≤4. 所以实数m的取值范围为{m｜3≤m≤4}. 3.(变条件)将“B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}”改为“B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}”，其他条件保持不变，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：{m｜3＜m＜4} 解析：因为A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6＜x＜2m－1}，且A⊆B，所以解得3＜m＜4. 所以实数m的取值范围为{m｜3＜m＜4}. 由集合间的关系求参数的方法 1.当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论. 2.当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. [注意]　(1)不能忽视集合为⌀的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 对点练3.已知集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是(　　) A.{－1，2} B.{－2，1} C.{－2，0，1} D.{－1，0，2} 答案：C 解析：因为B⊆A，当a＝0时，B＝⌀，满足条件；当a≠0时，B＝{－1}或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{－2，0，1}.故选C. 对点练4.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a，a≥1}. (1)若A⫋B，求实数a的取值范围； (2)若B⊆A，求实数a的取值范围. 解：(1)若A⫋B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a＞2，所以实数a的取值范围为{a｜a＞2}. (2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2，所以实数a的取值范围为{a｜1≤a≤2}. 任务再现 (1)子集、真子集的概念与性质.(2)子集的个数.(3)由集合间的关系求参数范围 方法提炼 分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论 易错警示 (1)在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位.(2)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论 1.若A＝，则下列说法正确的是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：A＝＝，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；，故B错误；－1∉，故C错误；0∈，故D正确.故选D. 2.已知集合A＝，B＝{x｜a≤x＜3}.若A⊆B，则a的最大值为(　　) A.2 B.0 C.－1 D.－2 答案：C 解析：由于A⊆B，所以a≤－1，故a的最大值为－1.故选C. 3.(多选)若{1，3}⫋B⊆{1，3，5，7}，则B可能为(　　) A.{1，3} B.{1，3，5} C.{1，3，7} D.{1，3，5，7} 答案：BCD 解析：因为{1，3}⫋B⊆{1，3，5，7}，所以B可能为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，3，5，7}.故选BCD. 4.已知集合A＝{x｜x＞4}，非空集合B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为　　　　. 答案：{a｜2＜a≤3} 解析：因为B≠⌀，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2＜a≤3.故实数a的取值范围为{a｜2＜a≤3}. 课时分层评价3　集合间的基本关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1.下列四个集合中是空集的是(　　) A. B.{x∈R｜x2＋1＝0} C. D.{x｜x2＋2x＋1＝0} 答案：B 解析：对于A，集合中有一个元素，故不是空集；对于B，方程x2＋1＝0无实数解，所以集合{x∈R｜x2＋1＝0}为空集；对于C，是无限集，所以不是空集；对于D，{x｜x2＋2x＋1＝0}＝，不是空集.故选B. 2.已知集合M＝{x｜y2＝2x}和集合P＝{(x，y)｜y2＝2x}，则两个集合间的关系是(　　) A.M⊆P B.P⊆M C.M＝P D.M，P互不包含 答案：D 解析：由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含.故选D. 3.(多选)已知集合A＝{x｜x2－9＝0}，则下列结论正确的有(　　) A.3∈A B.{－3}∈A C.⌀⊆A D.{3，－3}⊆A 答案：ACD 解析：解方程x2－9＝0得x＝3或x＝－3，所以A＝{－3，3}.故ACD正确. 4.设集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜x－a＞0}.若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A.{a｜a≥1} B.{a｜a＞1} C.{a｜a＜－1} D.{a｜a≤－1} 答案：D 解析：化简得集合B＝{x｜x＞a}，结合数轴可知，要使A⊆B，则只要a≤－1即可，即实数a的取值范围是{a｜a≤－1}.故选D. 5.(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是(　　) A.{1，8} B.{2，3} C.{1} D.{2} 答案：AC 解析：因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中的元素是集合B，C的公共元素，结合选项可知A，C满足题意.故选AC. 6.(多选)下列命题正确的是(　　) A.集合{a，b}的真子集是{a}，{b} B.{x｜x是菱形}⊆{x｜x是平行四边形} C.设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{－1，b}，若A＝B，则a－b＝－2 D.{x｜x2＋5x＋6＝0，x∈N}＝⌀ 答案：BCD 解析：对于A，集合{a，b}的真子集是 {a}，{b}，⌀，故A不正确；对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以{x｜x是菱形}⊆{x｜x是平行边形}，故B正确；对于C，由A＝B及集合元素的互异性得a＝－1，b＝1，故a－b＝－2，故C正确；由x2＋5x＋6＝0，得x＝－2或x＝－3，都不是自然数，故为空集，故D正确.故选BCD. 7.已知M＝{y∈R｜y＝｜x｜}，N＝{x∈R｜x＝m2}，则M　　　N (填“⊆”或“⊇”或“＝”或“≠” ). 答案：＝ 解析：因为M＝{y∈R｜y＝｜x｜}＝{y｜y≥0}，N＝{x∈R｜x＝m2}＝{x｜x≥0}，所以M＝N. 8.若集合A⫋{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有　　　　个. 答案：5 解析：若集合A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若集合A中含有两个奇数，则A＝{1，3}.所以满足题意的集合A有5个. 9.(双空题)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x｜1＜x－1＜4}. (1)若A＝B，则y的值为　　　　； (2)若A⊆C，则a的取值范围为　　　　　　　. 答案：(1)1或3　(2){a｜3＜a＜5} 解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x｜2＜x＜5}，A⊆C，所以所以3＜a＜5.所以a的取值范围为{a｜3＜a＜5}. 10.(10分)已知集合A＝，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.求实数m的取值范围并用集合表示. 解：当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝⌀，满足B⊆A； 若B≠⌀，且满足B⊆A， 如图所示，则所以2≤m≤3. 综上所述，m的取值范围为m＜2，或2≤m≤3，即所求集合为. (11—13每小题5分，共15分) 11.若A＝，B＝{x＋，k∈Z}，C＝{x＋，k∈Z}，则这三个集合间的关系是(　　) A.A⊆B⊆C B.A⊆C⊆B C.C⊆B⊆A D.C⊆A⊆B 答案：C 解析：依题意，A＝＝{x，k∈Z}，B＝{x，k∈Z}，C＝{x，k∈Z}＝{xk∈Z}，而{x｜x＝k＋3，k∈Z}＝Z，{x｜x＝2k，k∈Z}＝{偶数}，因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A.故选C. 12.(多选)已知集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜2a－3＜x＜a－2}，下列结论正确的是(　　) A.不存在实数a使得A＝B B.存在实数a使得A⊆B C.当0≤a≤4时，B⊆A D.存在实数a使得B⊆A 答案：AD 解析：对于A，由集合相等的概念可得此方程组无解，故不存在实数a使得A＝B，故A正确；对于B，由A⊆B，得此不等式组无解，故B错误；对于C，当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝⌀⊆A，符合B⊆A；当a＜1时，要使B⊆A，需满足解得2≤a≤4，不满足a＜1，故这样的实数a不存在，故当a≥1时，B⊆A，故C错误；对于D，由C选项分析可得存在实数a使得B⊆A，故D正确.故选AD. 13.已知集合A＝{x｜mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n＝　　　　. 答案：或2 解析：因为集合A＝{x｜mx2－2x＋1＝0}＝{n}，所以当m＝0时，可得当m≠0时，可得所以m＋n＝或m＋n＝2. 14.(10分)已知集合A＝. (1)若集合B＝，且A＝B，求实数a的值； (2)若集合C＝，且C⊆A，求实数a的取值范围. 解：(1)由集合A＝，B＝，且A＝B， 所以可得此时方程组无解； 或解得a＝5， 所以实数a的值为5. (2)当集合C＝，且C⊆A，可知： 若C＝⌀，则解得a＞； 当C≠⌀时，若2∈C，则4a＋4＝0，a＝－1，此时C＝，不满足C⊆A， 若6∈C，则a＝0，此时C＝，满足C⊆A，符合题意； 综上可知，实数a的取值范围为{a，或a＝0}. 15.(5分)(新定义)若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝，B＝，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：当a＝0时，B＝⌀，此时B⊆A，即两个集合构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝，此时两个集合不能构成“鲸吞”，则两个集合构成“蚕食”，所以＝2或＝1，解得a＝或a＝2，当a＝时，B＝，两个集合构成“蚕食”，当a＝2时，B＝，两个集合构成“蚕食”，综上可得，a的取值集合为.故选C. 16.(15分)(新定义)定义：若任意m，n∈A(m，n可以相等)，都有1＋mn≠0，则集合B＝称为集合A的生成集. (1)求集合A＝{3，4}的生成集B； (2)若集合A＝{a，2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合A＝{x｜－1＜x＜1}，A的生成集为B，求证A＝B. 解：(1)由题可知， ①当m＝n＝3时，x＝＝ ， ②当m＝n＝4时，x＝＝， ③当m＝3，n＝4或m＝4，n＝3时，x＝＝，所以B＝. (2)①当m＝n＝2时，x＝＝， ②当m＝n＝a时，x＝＝， ③当m＝2，n＝a或m＝a，n＝2时，x＝， B的子集个数为4个，则B中有2个元素， 所以＝＝＝ ， 解得a＝±1或a＝(a＝2舍去)， 所以a＝±1或a＝. (3)证明：∀m，n∈{x｜－1＜x＜1}＝A， ＋1＝＞0， －1＝＜0， 所以 －1＜＜1，即B＝{x｜－1＜x＜1}， 所以A＝B. 学生用书⬇第10页 学科网（北京）股份有限公司 $