1.3正方形的性质与判定 举一反三 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】正方形的性质 2 【题型2】正方形的性质与坐标系 3 【题型3】正方形的性质与阴影面积 5 【题型4】正方形的判定 7 【题型5】正方形的性质和判定 9 【题型6】正方形的应用 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质      ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；      ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；      ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．      ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 1.（2025春•江海区期末）下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【知识点2】正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 1.（2024春•镇海区校级期中）下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线平分对角的四边形是菱形 D．对角线平分对角的矩形是正方形 【知识点3】正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【题型1】正方形的性质 【典型例题】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，四边形AECF的面积是__________． 【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF. (1)求证：CE＝CF. (2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【题型2】正方形的性质与坐标系 【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是正方形，已知点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　） A.（﹣1，2） B.（1，﹣2） C. D.（﹣2，1） 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（　　） A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣ 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（　　） A.34 B.25 C.20 D.16 【题型3】正方形的性质与阴影面积 【典型例题】如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36 cm2，若图中阴影部分的面积为10 cm2，则正方形ABCD的面积为（　　） A.6 B.16 C.26 D.46 【举一反三1】如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（　　） A.40 B.48 C.42 D.50 【举一反三2】学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2； 具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（　　） A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b 【举一反三4】图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为　     　． 【举一反三5】如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27 dm2和12 dm2的两张正方形纸片，则长方形ABCD的面积为 　          　． 【举一反三6】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 　       　． 【题型4】正方形的判定 【典型例题】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD. 中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，其中错误的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【举一反三1】下列命题中，真命题是(　　) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【举一反三2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论： ①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形． 其中一定正确的是(　　) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________． 【举一反三4】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上(如图①)，CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AG(如图②)，求点D到AG的距离； (2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由； (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由． 【题型5】正方形的性质和判定 【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为(　　) A.3 B.2 C.4 D.8 【举一反三1】在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别任意取点E，F，G，H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有(　　) A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________． 【举一反三3】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为________． 【举一反三4】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF. (1)试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接EF，DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H，I，J，K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q. (1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明； (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 【题型6】正方形的应用 【典型例题】观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在正三角形ABC与正方形CDEF中，B，C，D三点共线，且AC＝5，CF＝4．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小是（　　） A.2 B. C. D. 【举一反三2】用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（　　） A. B. C. D.不能确定 【举一反三3】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（　　） A.8 cm B.16 cm C.24 cm D.8 cm 【举一反三4】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 　        　． 【举一反三5】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”是我国著名数学家华罗庚一首诗中的两句，它表达了“数形结合”的思想．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，如图是由四个长为a，宽为b的长方形（a＞b＞0）拼摆而成的图形，外面是一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，若正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为9，则ab的值为 　         　． 【举一反三6】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)． 【举一反三7】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 　        　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3正方形的性质与判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】正方形的性质 3 【题型2】正方形的性质与坐标系 5 【题型3】正方形的性质与阴影面积 9 【题型4】正方形的判定 14 【题型5】正方形的性质和判定 18 【题型6】正方形的应用 22 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质      ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；      ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；      ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．      ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 1.（2025春•江海区期末）下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【知识点2】正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 1.（2024春•镇海区校级期中）下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线平分对角的四边形是菱形 D．对角线平分对角的矩形是正方形 【答案】C 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形能判定是平行四边形，所以此选项不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形能判定是矩形，所以此选项不符合题意； C、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故该选项不能判定其为菱形，所以此选项符合题意； D、对角线平分对角的矩形能判定是正方形，所以此选不项符合题意； 故选：C． 【知识点3】正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【题型1】正方形的性质 【典型例题】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置，由题意可得出△DAF≌△BAF′， ∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠EAF′＝45°， 在△FAE和△EAF′中，AF=AF'，∠FAE=∠EAF′，AE=AE，∴△FAE≌△F′AE (SAS)，∴EF＝EF′， ∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2. 【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】延长AE交DF于点G，如图所示， ∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴△ABE是直角三角形， ∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形， ∴∠ABE＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠GAD＝∠EBA， 同理可得，∠ADG＝∠BAE， 在△AGD和△BEA中，∠EAB=∠GDA，AD=AB，∠ABE=∠DAG，∴△AGD≌△BEA(ASA)， ∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∴EG＝4－3＝1，同理可得，GF＝1，∴EF＝＝. 【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，四边形AECF的面积是__________． 【答案】16 【解析】∵∠EAB＋∠BAF＝∠FAD＋∠FAB＝90°，∴∠EAB＝∠FAD， 又∵四边形ABCD为正方形，∴△AEB≌△AFD，∴四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝16． 【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF. (1)求证：CE＝CF. (2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AD=AB，AF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)，∴BE＝DF， ∵BC＝DC，∴CE＝CF. (2)四边形AEMF是菱形， 理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°， 在△COE和△COF中，CE=CF，∠ACB=∠ACD，OC=OC，∴△COE≌△COF(SAS)，∴OE＝OF， 又∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形， ∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形． 【题型2】正方形的性质与坐标系 【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是正方形，已知点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（　　） A.（﹣1，2） B.（1，﹣2） C. D.（﹣2，1） 【答案】A 【解析】如图，作AF⊥x轴于点F，CE⊥x轴于点E，则∠OEC＝∠AFO＝90°， ∵A（2，1），∴F（2，0）， ∵四边形ABCO是正方形，∴CO＝OA，∠AOC＝90°，∴∠OCE＝∠AOF＝90°﹣∠COE， 在△OCE和△AOF中，，∴△OCE≌△AOF（AAS）， ∴OE＝AF＝1，CE＝OF＝2， ∴C（﹣1，2）. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 【答案】D 【解析】如图，作BM⊥x轴于M． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM， ∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD， ∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5， ∴AD＝＝＝， ∴正方形ABCD的面积为34. 【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（　　） A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣ 【答案】B 【解析】如图，连接OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°， ∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°， ∴OB＝＝＝， ∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°， ∴BD＝OB＝×＝， ∴点B的纵坐标为﹣. 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　） A.13 B.20 C.25 D.34 【答案】D 【解析】如图，作BM⊥x轴于M． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM， ∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD， ∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5， ∴AD＝＝＝， ∴正方形ABCD的面积为34. 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（　　） A.34 B.25 C.20 D.16 【答案】B 【解析】作BE⊥x轴于E，如图， ∵A（﹣3，0），B（1，b），∴AE＝4， ∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°， ∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BAE， 在△ADO和△BAE中∴△ADO≌△BAE，∴OD＝AE＝4， 在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25， ∴正方形ABCD的面积为25． 【题型3】正方形的性质与阴影面积 【典型例题】如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36 cm2，若图中阴影部分的面积为10 cm2，则正方形ABCD的面积为（　　） A.6 B.16 C.26 D.46 【答案】B 【解析】∵阴影部分面积＝DE×（BC+CG）， ∴阴影部分面积＝×（CE﹣DC）（BC+CG）＝（CE2﹣BC2）， ∵正方形CEFG的面积为36 cm2，图中阴影部分的面积为10 cm2， ∴10＝×（36﹣S正方形ABCD）， ∴S正方形ABCD＝16. 【举一反三1】如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（　　） A.40 B.48 C.42 D.50 【答案】B 【解析】设LD＝x，DK＝y， ∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形，∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y， ∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD， ∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，∴AL+LD＝CK+DK， ∵AL＝4，CK＝6，∴4+x＝6+y，∴x＝y+2， ∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为100，∴x2+y2＝100， 将x＝y+2代入x2+y2＝100中，得（y+2）2+y2＝100， 解得y＝6或y＝﹣8（舍）， ∴x＝y+2＝8， ∴DL＝8，DK＝6， ∴重叠部分长方形LFKD的面积＝DL•DK＝8×6＝48． 【举一反三2】学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛．学生会提出两个方案： 方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1； 方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2； 具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图1，S1＝a2﹣b2，∴S1≠（a﹣b）2，故A错误； 如图2，S2＝（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2，∴S2≠a2﹣b2，故B错误； S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝b2，故C错误，D正确. 【举一反三3】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（　　） A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b 【答案】A 【解析】如图，连接DK，DN， ∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT， ∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA）， ∴S△DKM＝S△DNT， ∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a， ∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b． 【举一反三4】图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为　     　． 【答案】9 【解析】设图1中的直角三角形另一条直角边长为b， ∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2， ∴S1﹣S2＝9. 【举一反三5】如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27 dm2和12 dm2的两张正方形纸片，则长方形ABCD的面积为 　          　． 【答案】45 dm2 【解析】如图， ∵两张正方形纸片面积分别为27 dm2和12 dm 2， ∴它们的边长分别是：， ∴长方形ABCD的面积为 故答案为：45dm2． 【举一反三6】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 　       　． 【答案】 【解析】如图，作EP垂直于GA，交GA的延长线于点P． ∵∠CAB+∠PAB＝90°，∠PAB+∠PAE＝90°，∴∠CAB＝∠PAE． 在△BCA和△EPA中，∴△BCA≌△EPA（AAS）， 即PE＝BC＝＝3，AP＝AC＝4． ∴GE＝＝． 【题型4】正方形的判定 【典型例题】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD. 中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，其中错误的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】A．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意． 【举一反三1】下列命题中，真命题是(　　) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】A．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误. 【举一反三2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论： ①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形． 其中一定正确的是(　　) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确； ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD， 在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE＋DF＝AF＋DE，∴③正确； 在△AEO和△AFO中，AE=AF，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴EO＝FO， 又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确； ∵当∠BAC＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形， 又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴④正确． 综上，可得正确的是②③④. 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________． 【答案】AB＝BC，或AC⊥BD(答案不唯一) 【解析】由题意可确定，四边形ABCD为四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB＝BC.可进一步确定其为正方形. 【举一反三4】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上(如图①)，CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度． (1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AG(如图②)，求点D到AG的距离； (2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形． 【答案】解：(1)如图，作DK⊥AG于点K， ∵CD＝CE＝DE＝2cm，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝60°， ∴∠ADG＝360°－2×90°－60°＝120°. ∵AD＝DG＝1cm，∴∠DAG＝∠DGA＝30°，∴DK＝DG＝cm， ∴点D到AG的距离为cm. (2)证明：∵α＝45°，BC∥EH，∴∠NCE＝∠NEC＝45°，∴CN＝NE， ∴∠CNE＝90°，∴∠DNH＝90°， ∵∠D＝∠H＝90°，∴四边形MHND是矩形， ∵CN＝NE，∴DN＝NH， ∴矩形MHND是正方形． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由； (3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由． 【答案】解：(1)∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB， ∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，同理可得OC＝OF，∴OE＝OF． (2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形. 理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF(已证)，∴四边形AECF是平行四边形， ∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG， ∴∠ACE＋∠ACF＝ (∠ACB＋∠ACG)＝×180°＝90°，即∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形. (3)当△ABC是直角三角形时，即当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形， 理由：由(2)得，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形， ∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝45°，∴∠OEC＝∠ECB＝45°， ∴∠EOC＝90°，∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 【题型5】正方形的性质和判定 【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为(　　) A.3 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点F， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A＋∠BCD＝180°， ∵∠FCD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD， 又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4. 【举一反三1】在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别任意取点E，F，G，H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有(　　) A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个 【答案】D 【解析】无穷多个．如图正方形ABCD，AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D， 有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外很容易得四个角均为90°，则四边形EHGF为正方形． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________． 【答案】3 【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E， ∵∠DPB＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四边形DPBE是矩形， ∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE， ∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°， 在△ADP和△CDE中，∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，∴△ADP≌△CDE(AAS)，∴DE＝DP， ∴四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3. 【举一反三3】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为________． 【答案】 【解析】作∠DCH＝∠ACB，并过D作DH⊥CH于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示， 设∠DCH＝∠ACB＝x， ∵AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝x＋45°，∴∠ACD＝180°－2(x＋45°)＝90°－2x，∴∠BCH＝90°， 在△ABC和△DHC中，∠ACB=∠DCH，∠B=∠DHC=90°，AC=DC，∴△ABC≌△DHC(AAS)， ∴BC＝HC，AB＝DH，∴四边形BCHK是正方形， ∴∠K＝90°，BK＝HK，∴AK＝DK＝BC－AB＝，∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD＝＝. 【举一反三4】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF. (1)试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； (2)连接EF，DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H，I，J，K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 【答案】解：(1)AF＝DE. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF， ∴AF＝DE. (2)四边形HIJK是正方形． 如图，H，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点， ∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED， ∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形， ∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠KHI＝90°， ∴四边形HIJK是正方形． 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q. (1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明； (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 【答案】解：(1)PB＝PQ， 证明：如图，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB＝PQ. (2)PB＝PQ， 证明：如图，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB＝PQ. 【题型6】正方形的应用 【典型例题】观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析正方形中的四个数：第一个数（正方形左上角）为2n﹣1， 当2n﹣1＝79时，解得n＝40， 第二个数（正方形右上角）为2n， ∴第40个正方形的第二个数（正方形右上角）b＝40×2＝80， 第三个数（正方形左下角）为n+1， ∴第40个正方形的第三个数（正方形左下角）a＝40+1＝41， 第四个数（正方形右下角）为第一个数、第二个数与第三个数的和， ∴m＝79+b+a＝79+80+41＝200， ∴＝＝﹣. 【举一反三1】如图，在正三角形ABC与正方形CDEF中，B，C，D三点共线，且AC＝5，CF＝4．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小是（　　） A.2 B. C. D. 【答案】A 【解析】过点F作FP′⊥AC于点P′，如图所示， 根据“垂线段最短”得，当点P与点P′重合时，FP的长度最小，FP的最小长度就是线段FP′的长， ∵四边形CDEF为正方形，CF＝4，∴∠FCD＝90°， ∵△ABC为正三角形，∴∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝180°﹣∠FCD﹣∠ACB＝30°， ∴． 【举一反三2】用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（　　） A. B. C. D.不能确定 【答案】A 【解析】由图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝，是原正方形的面积的． 【举一反三3】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（　　） A.8 cm B.16 cm C.24 cm D.8 cm 【答案】D 【解析】如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC， ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8 cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝8（cm）． 【举一反三4】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 　        　． 【答案】44 【解析】设小长方形的长为x，则宽为x， 由题意得2×x﹣x＝1， 解得x＝5，则x＝3， 所以正方形ABCD的周长是4（x+2×x）＝4×（5+6）＝44． 【举一反三5】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”是我国著名数学家华罗庚一首诗中的两句，它表达了“数形结合”的思想．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，如图是由四个长为a，宽为b的长方形（a＞b＞0）拼摆而成的图形，外面是一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，若正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为9，则ab的值为 　         　． 【答案】4 【解析】由图形可知，4个小长方形面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积， ∴4ab+9＝25，∴4ab＝16，∴ab＝4． 【举一反三6】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)． 【答案】否 【解析】根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合(图②)．若另一组对边不能重合，那么此纱巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱巾一定是正方形． 【举一反三7】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 　        　． 【答案】44 【解析】设小长方形的长为x，则宽为x， 由题意得2×x﹣x＝1， 解得x＝5，则x＝3， 所以正方形ABCD的周长是4（x+2×x）＝4×（5+6）＝44． 学科网（北京）股份有限公司 $