第四章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数、幂函数、对数函数的增长比较，通过问题导思引导学生观察函数图象特征，衔接已学函数性质，构建从基础到差异比较的知识支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点是融合直观想象与数学建模核心素养，用表格对比函数特征、图象分析增长差异，结合公司奖励方案等实际案例培养应用能力。典型例题结合数据表格与逻辑推理，分层评价适配不同学生，助力学生提升建模思维，教师可高效实施差异化教学。

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 　 第四章　对数运算与对数函数 学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.　 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义，提升直观想象的核心素养.　 3.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，培养数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　函数模型的增长差异 1 任务二　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 2 任务三　函数增长模型的选取 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　函数模型的增长差异 返回 　　观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的 图象，思考以下两个问题： 问题1.三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？ 提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的， 即单调递增. 问题2.当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？ 提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢. 问题导思 1.指数函数、对数函数、幂函数图象的特征 新知构建 　　函数 特征　　 y＝ax (a＞1) y＝logbx (b＞1) y＝xc (x＞0，c＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 ________ ________ ________ 增长速度 __________ 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与_____“平行” 随x增大逐渐表现为与_____“平行” 在(0，＋∞)上，随x的增大，图象平稳上升 增函数 增函数 增函数 越来越快 y轴 x轴 2.y＝ax(a＞1)，y＝logbx(b＞1)，y＝xc(x＞0，c＞0)不同增长情况比较 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长，即尽管它们在(0，＋∞)上都是增函数，但增长速度不在一个档次上，在(0，＋∞)上总存在一个x0，当x＞x0时，_________________. logbx＜xc＜ax 3.三种函数的增长趋势 当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a______时，其函数值的增长就越快. 当b＞1时，对数函数y＝logbx是增函数，并且当b______时，其函数值的增长就越快. 当x＞0，c＞0时，幂函数y＝xc是增函数，并且当x＞1时，c______其函数值的增长就越快. 当底数a＞1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”. 越大 越小 越大 微提醒 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (1)下列函数中，随着自变量x的增大，增长速度最快的是 A.y＝2 025x B.y＝ C.y＝log2 025x D.y＝2 025x √ 典例 1 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.故选A. (2)(多选题)根据三个函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，以下四个选项正确的是 A.f(x)的增长速度始终不变 B.f(x)的增长速度越来越快 C.g(x)的增长速度越来越快 D.h(x)的增长速度越来越慢 √ √ √ 由下图可知A、C、D正确.故选ACD. 常见的函数模型及其增长特点 1.指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”. 2.对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. 3.幂函数模型：幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 规律方法 对点练1.(1)下面对函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是 A.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢 B.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快 C.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢 D.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快 √ 由函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0， ＋∞)上的图象(右图)以及性质知函数f(x)，g(x)，h(x) 的衰减速度均逐渐变慢.故选C. (2)(多选题)三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： 则下列说法合理的是 A.y1关于x呈指数增长 B.y2关于x呈指数增长 C.y3关于x呈直线上升 D.y2的增长速度最快 √ x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 y3 5 30 55 80 105 130 155 √ √ y1随x增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增长的速度相对缓慢，不是指数增长，故A错误；y2随x增大而增大，增加量依次是85，1530，27 540，495 720，…，增长的速度越来越快，呈指数增长，且增长速度最快，故B，D正确；y3随x增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均匀增加状态，呈直线上升，故C正确.故选BCD. x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 y3 5 30 55 80 105 130 155 返回 任务二　指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 返回 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； 解：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. 典例 2 (2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小. 解：因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4， g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024， 所以f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)， f(10)＞g(10). 所以1＜x1＜2，9＜x2＜10. 所以x1＜8＜x2＜2 025. 从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(2 025)＞g(2 025)＞g(8)＞f(8). 指数函数、对数函数和幂函数的增长的比较 判断指数函数、对数函数和幂函数增长快慢时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 规律方法 对点练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； 解：C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝ lg x. (2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较. 解：由已知，以x1，x2为分界点， 当0＜x＜x1时，g(x)＞f(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)； 当x＞x2时，g(x)＞f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x). 返回 任务三　函数增长模型的选取 返回 某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 解：作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图). 观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x， y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有 模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方， 这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司 的要求. 典例 3 不同函数模型的选取标准 1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律. 2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧上升的变化规律. 3.对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律. 规律方法 对点练3.为净化湖水的水质，某市环保局于2024年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2025年经两次实地测量得到表中的数据： 现有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mx2＋n(m＞0)可供选择. (1)分别求出两个函数模型的解析式； 月份x/月 1 2 3 4 5 植物面积y/m2   24 36     解：对于函数模型y＝kax，由已知得 所以y＝×. 对于函数模型y＝mx2＋n，由已知得所以y＝x2＋. (2)若市环保局在2024年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适.并说明理由. 解：若用模型y＝×，则当x＝0时，y1＝， 若用模型y＝x2＋，则当x＝0时，y2＝. 易知，使用模型y＝×更为合适. 月份x/月 1 2 3 4 5 植物面积y/m2   24 36     返回 课堂小结 任务 再现 三种函数模型的增长差异 方法 提炼 数形结合法和转化的思想方法 易错 警示 实际问题要注意函数的定义域并作答 随堂评价 返回 1.(多选题)当a＞1时，有下列结论，其中正确的结论是 A.指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快 B.指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快 C.对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快 D.对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快 √ √ 由指数函数、对数函数的图象，知A，D正确，B，C错误.故选AD. 2.下列函数中，增长速度越来越慢的是 A.y＝6x B.y＝log6x C.y＝x2 D.y＝6x √ 指数函数y＝6x先慢后爆炸性增长，对数函数y＝log6x增长速度越来越慢，幂函数y＝x2增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长.故选B. 3.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是 A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝2x C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x √ 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 4.已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为__________. f(x)＞g(x) 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象， 如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象 的上方，则f(x)＞g(x). 返回 课时分层评价 返回 1.下列函数中，随着x(x＞1)的增大，函数值的增长速度最快的是 A.y＝8lg x　 B.y＝x8 C.y＝　 D.y＝9×8x √ 当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝9×8x的增长速度最快.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是 A.y＝ B.y＝·2x C.y＝log2x D.y＝2x－3 √ f(3)－f(2)＝1.16，f(4)－f(3)＝2.75，f(5)－f(4)＝5.69，f(6)－f(5)＝10.3，通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、C选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.故选B. x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为 A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2 √ x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，变量y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，变量y1随x的变化符合此规律.故选C. x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其行驶时间均为x h，行驶的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5 h以后跑在最前面的为 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 √ 由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，结合指数增长越来越快可知，5 h以后丁车在最前面.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.下面对函数f(x)＝x，g(x)＝(与h(x)＝－在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是 A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度比较平稳 B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度比较平稳 D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快 √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 观察函数f(x)＝x、g(x)＝()x、h(x)＝－在区间(0， ＋∞)上的图象如图所示.函数f(x)的图象在区间(0，1)上 递减较快，但递减速度逐渐变慢；函数f(x)在区间(1， ＋∞)上递减较慢，且越来越慢.同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢.函数h(x)的图象递减速度比较平稳.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是 A.在上，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2 B.在上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1 C.当x∈时，y1的增长速度一直快于y3 D.当x∈时，y2的增长速度有时快于y1 √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝ x的图象，如图所示.对于A、B，在上，随着x 的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A错误，B 正确；对于C，当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一 直快于y3，故C错误；对于D，当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度有时快于y1，故D正确.故选BD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(开放题)下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，最为有前途的生意对应的函数是______. ①y＝10×1.05x，②y＝20＋x1.5，③y＝30＋lg(x－1)，④y＝50. 由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，所以y＝10×1.05x对应的是最为有前途的生意. ① 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.当x∈(1，e)时，试探究3x，ln x，x的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为_________________. 令y1＝3x，y2＝x，y3＝ln x，易知三个函数在区间上均单调递增，所以，当x∈时，3＜3x＜3e，1＜＜x＜3，0＜ln x＜1，故3x＞3＞x＞1＞ln x. 3x＞x＞ln x 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知A，B，C三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程y关于时间x(x＞0)的函数关系式分别为yA＝2x－1，yB＝log2(x＋1)，yC＝，则下列结论中，所有正确结论的序号是________. ①当x＞1时，A总走在最前面； ②当0＜x＜1时，C总走在最前面； ③当x＞1时，B总走在C的前面. ①② 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 对于①，指数函数的变化是先慢后快，当x＝1时， yA＝yB＝yC＝1，所以当x＞1时，A总走在最前面， 判断正确；对于②，同一坐标系内画出y＝2x－1， y＝log2(x＋1)，y＝的简图，由图可得当0＜x＜ 1时，2x－1＜log2(x＋1)＜，故0＜x＜1时，C总走在最前面，判断正确；对于③，当x＝63时，yB＝log2(63＋1)＝6，yC＝＞＝6，故yB＜yC，即C走在B的前面，判断错误.故答案为：①②. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由. 解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值. 当x＜x1时，2x＞x3，即f(x)＞g(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x). 因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8， 所以x1∈[1，2]，即a＝1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)， f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)， f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)＞g(10)， 所以x2∈[9，10]，即b＝9. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：其中随着x的增大，增长速度越来越快的变量是 A.y1 B.y2 C.y3 D.y4 √ x 1 2 3 4 5 6 7 y1 1 2 3 4 5 6 7 y2 3 3 3 3 3 3 3 y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28 y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 观察数表知，随着x的增大，y1的值匀速增长；y2值恒为定值；y3的值逐渐增大，增长速度时快时慢，随着x的增大，y4的值越来越大，增长速度越来越快，所以随着x的增大，增长速度越来越快的变量是y4.故选D. x 1 2 3 4 5 6 7 y1 1 2 3 4 5 6 7 y2 3 3 3 3 3 3 3 y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28 y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中正确的是 A.投资3天以内(含3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三 C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 若投资3天以内(含3天)，由图易知方案一每天的回 报最多，故采用方案一；若投资4天，方案三回报 最少，故不采用；若投资6天，方案一的回报约为 40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋…＋ 60＝210(元)，故采用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最多.故选ABC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa(a＞0，且a≠1)，给出下列结论： ①当a＞1时，∀x∈(0，＋∞)，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方； ②∃x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，恒有h(x)＞g(x)； ③∀a∈(0，1)，方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解. 其中正确结论的序号是__________. ②③ 对于①，取a＝＞e0＝1，则f(x)＝，f(e)＝＝e， g(x)＝lox，g(e)＝loe＝eln e＝e，此时f＝g， 不满足函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方，故①错 误；对于②，当0＜a＜1时，在x∈(1，＋∞)上，g(x)＝logax的图象在x 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 轴下方，h(x)＝xa的图象在x轴上方，此时满足条件；当 a＞1时，对数函数g(x)＝logax和幂函数h(x)＝xa，在区间 (0，＋∞)上，随着x的增大，g(x)＝logax增长得越来越慢， 尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xa，但由于 xa的增长快于logax的增长，则总存在一个x0，当x＞x0时，就会有h(x)＞g(x)成立，故②正确；对于③，0＜a＜1，在同一坐标系中作出函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的大致图象，如图：函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的图象两两都分别有交点，所以方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解，故③正确.所以正确结论的序号是②③. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)设y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x.令x1＝2n，x2＝2n＋1. (1)请分别化简下列各式：①log2x2－log2x1；②－；③－； 解：①将x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得log2x2－log2x1＝log22n＋1－log22n＝n＋1－n＝1； ②将x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得－＝－＝－22n＝4×22n－22n＝3·22n＝3·4n； ③将x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得－＝－＝－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)结合(1)中的化简结果，谈谈你对对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3变化的看法. 解：结合(1)中的化简结果可知， 对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3都会随着x的增大而增大，但是它们的增长速度不同， 当自变量x的增量相同时可知，对数函数y1的增长速度越来越慢，幂函数y2、指数函数y3的增长速度越来越快，且y3的增长速度大于y2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)下列说法正确的是 A.函数y＝lox减小的速度越来越慢 B.在指数函数y＝ax中，当x＞0时，底数a越大，其增长速度越快 C.不存在一个实数m，使得当x＞m时，1.1x＞x100 D.当a＞1，k＞0时，在区间内，对任意的x，总有logax＜kx＜ax成立 √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，由对数函数的性质知，函数y＝lox减小的速度 越来越慢，故A正确；对于B，由指数函数的性质知，指 数函数y＝ax中，当x＞0时，底数a越大，其增长速 度越快，故B正确；对于C，由指数函数的性质知，随x的 增大，y＝1.1x的增长速度是非常快的，远远超过幂函数y＝x100的增长速度，因此一定存在一个实数m，使得当x＞m时，1.1x＞x100，故C不正确；对于D，取a＝2，k＝4，由图知，在区间内，对任意的x，logax＜kx＜ax不成立，故D不正确.故选AB. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科学家在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星(后被命名为谷神星)存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号(x) 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 离太阳的距离(y) 0.7 1.0 1.6   5.21 10.01 (1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论)； ①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 解：散点图如图所示： 根据图象可知，模型②符合题意. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；(误差小于0.2的为吻合) 解：将，，分别代入y＝a×2x＋b， 得解得a＝0.15，b＝0.4， 所以y＝0.15×2x＋0.4(x∈N＋). 当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差5.21－5.2＝0.01＜0.2，吻合； 当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差10.01－10＝0.01＜0.2，吻合. 所以模型与数据吻合. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离. 解：当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星离太阳的距离为2.8 AU. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 §4　指数函数、幂函数、对数 函数增长的比较 返回 $