第四章 3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件系统讲解对数函数概念、反函数及y=log₂x的图象性质与应用，通过问题链导入，从指数函数y=2^x转化切入，引导学生观察变量对应关系，搭建从指数到对数的知识支架，帮助构建完整概念体系。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过列表描点画图象等活动发展逻辑推理，结合典例分层评价落实数学语言表达。如判断对数函数解析式、比较对数值大小等实例，助力学生深化理解，教师可借之提升教学针对性与效率。

3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 　 第四章　§3　对数函数 学习目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系，培养数学抽象的核心素养. 2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数.　 3.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质，提升逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　对数函数的概念 1 任务二　反函数 2 任务三　对数函数y＝log2x的图象和性质 3 课时分层评价 6 任务四　函数y＝log2x性质的综合应用 4 随堂评价 5 任务一　对数函数的概念 返回 问题1.将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作关于y的函数？ 提示：x＝log2y；任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的实数x与之对应；x能看作关于y的函数. 问题导思 1.对数函数的概念 一般将函数y＝_______(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中___为自变量，___为底数. 2.对数函数的基本性质 (1)定义域是___________；(2)图象过定点________. 新知构建 logax x a (0，＋∞) (1，0) 3.特殊的对数函数 常用对 数函数 以____为底的对数函数_________ 自然对 数函数 以_________为底的对数函数_________ 10 y＝lg x 无理数e y＝ln x 对数函数的解析式有何特征？ 提示：①对数函数的系数为1；②自变量x在真数的位置上，且真数只能是一个x；③底数a的取值范围是a＞0，且a≠1. 微思考 (1)(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有 A.y＝logπx B.y＝lox C.y＝log4x2 D.y＝log2(x＋1) √ 典例 1 √ 根据对数函数的定义知，y＝logπx，y＝lox是对数函数，故A、B正确；而y＝log4x2，y＝log2(x＋1)不符合对数函数的定义，故C、D错误.故选AB. (2)若函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，则实数a＝______. 3 因为函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，所以解得a＝3. 判断一个函数是对数函数的依据 规律方法 对点练1.(1)已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析 式为 A.y＝log2x B.y＝log3x C.y＝lox D.y＝lox 设对数函数为y＝logax，M代入可得－2＝loga9，所以a－2＝9，＝9，a＝，则对数函数的解析式为y＝lox.故选C. √ (2)(多选题)下列函数中为对数函数的是 A.y＝lo(－x) B.y＝loga C.y＝ln x D.y＝lox(a是常数) 对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝loga，不符合对数函数的定义，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋＞1，真数是x，故D是对数函数.故选CD. √ √ 返回 任务二　反函数 返回 问题2.在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察这两个函数的图象间有怎样的关系. 提示：y＝2x与y＝log2x的图象如图，y＝2x与y＝log2x的图象关于y＝x对称. 问题导思 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是对数函数____________________ _________； 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是指数函数__________________ _________. 即它们______反函数. 新知构建 y＝logax(a＞0， 且a≠1) y＝ax(a＞0， 且a≠1) 互为 y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，这两个函数的定义域和值域有什么关系呢？ 提示：y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域和值域互换. 微思考 (链教材P111例2、例3)写出下列函数的反函数： (1)y＝10x； 解：因为指数函数y＝10x的底数是10，所以它的反函数是对数函数y＝lg x. 典例 2 (2)y＝； 解：因为指数函数y＝，所以它的反函数是对数函数y＝lox. (3)y＝log2x； 解：因为对数函数y＝log2x的底数是2，所以它的反函数是指数函数y＝2x. (4)y＝lox. 解：因为对数函数y＝lox的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝. 反函数的性质特征 1.同底的指数函数、对数函数互为反函数. 2.反函数的性质 (1)对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. (2)坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上. 规律方法 对点练2.(1)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且满足f(2)＝1，则f(x)＝ A.log2x B. C.log0.5x D.2x √ 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝logax，即f(x)＝logax，又f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，则f(x)＝log2x.故选A. (2)已知函数y1＝f(x)的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则当x＝3时，y1＝______. －1 因为函数y1＝f(x)的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x对称，即互为反函数，则y1＝lox，当x＝3时，y1＝lo3＝－1. 返回 任务三　对数函数y＝log2x的图象和性质 返回 问题3.请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一平面直角坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝lox的函数图象. 问题导思 x … 0.25 0.5 1 2 4 8 … y＝log2x …             … y＝lox …             … －2 －1 0 1 2 3 2 1 0 －1 －2 －3 提示：描点、连线 问题4.观察你作出的y＝log2x的图象，图象有什么特征呢？ 提示：(1)图象位于y轴右侧；(2)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当x→0时，y→－∞. 对数函数y＝log2x与y＝lox的图象与性质 新知构建 函数 y＝log2x y＝lox 图象     定义域 ___________ 值域 R (0，＋∞) 函数 y＝log2x y＝lox 单调性 在定义域(0，＋∞)上是____函数 在定义域(0，＋∞)上是____函数 共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0 函数 值特点 当x∈(0，1)时，y∈___________ 当x∈(0，1)时，y∈___________ 当x∈[1，＋∞)时，y∈____________ 当x∈[1，＋∞)时，y∈____________ 增 减 (1，0) (－∞，0) (0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0] (1)函数图象只出现在y轴右侧，注意图象永远不和y轴相交.(2)y＝log2x和y＝lox的图象关于x轴对称. 微提醒 (1)(链教材P112例4)比较log2(a2＋a＋1)与lo的大小； 解：lo＝－log2＝log2， 又因为a2＋a＋1＝＋≥， 所以log2(a2＋a＋1)≥log2， 所以log2(a2＋a＋1)≥lo. 典例 3 (2)(链教材P113例5)求使不等式lo(x＋1)＞lo(3－x2)成立的实数x的 集合. 解：原不等式可化为log2(x＋1)＜log2(3－x2)，因为函数y＝log2x(x＞0)为单调增函数， 故原不等式可化为解得－1＜x＜1， 故使不等式成立的x的集合为{x｜－1＜x＜1}. 函数y＝log2x单调性的应用 　　函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以比较对数值的大小，解不等式，求函数值域. 规律方法 对点练3.(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则 A.a＝b＜c B.a＜b＜c C.a＝c＞b D.a＞c＞b √ 因为b＝log46＝log2，c＝log49＝lo32＝log23，所以a＝c；又因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，又＜3，所以log2＜log23，所以a＝c＞b.故选C. (2)不等式log2(2－x)≤log2(3x＋10)的解集为__________. [－2，2) 由log2(2－x)≤log2(3x＋10)可得0＜2－x≤3x＋10，解得－2≤x＜2，故答案为：[－2，2). 返回 任务四　函数y＝log2x性质的综合应用 返回 已知函数f(x)＝2－log2x，x∈[1，4]. (1)求函数f(x)的值域； 解：因为f(x)＝2－log2x在[1，4]上是减函数， 又f(1)＝2－log21＝2，f(4)＝2－log24＝2－2＝0， 所以函数f(x)的值域是[0，2]. 典例 4 (2)设g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相应的x的值. 解：因为g(x)＝[f(x)]2－f(x2)＝4－4log2x＋(log2x)2－(2－log2x2) ＝(log2x)2－2log2x＋2＝(log2x－1)2＋1. 又函数g(x)的定义域满足得1≤x≤2，所以g(x)的定义域是 [1，2]， 所以0≤log2x≤1.所以当log2x＝0，即x＝1时，g(x)有最大值g(1)＝2； 当log2x＝1，即x＝2时，g(x)有最小值g(2)＝1. 解答与对数函数y＝log2x有关的复合函数最值问题时的关注点 1.针对函数的解析式合理变形化简，并注意复合函数的定义域. 2.分清楚对数函数的底数，根据底数的大小确定其单调性. 3.注意换元法、整体思想等在解题中的运用. 规律方法 对点练4.根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题. (1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围； 解：函数y＝log2x的图象如图所示. 因为y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，f(a)＞f(2)， 即log2a＞log22，解得a＞2. 所以a的取值范围为(2，＋∞). (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值. 解：因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23. 所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23. 返回 课堂小结 任务 再现 1.对数函数以及反函数的概念.2.对数函数y＝log2x的图象与性质 方法 提炼 待定系数法、数形结合法 易错 警示 忽视对数函数中隐含的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1 随堂评价 返回 1.(多选题)下列函数为对数函数的是 A.f(x)＝log(m－1)x(m＞1，且m≠2) B.f(x)＝lg x3 C.f(x)＝ln x D.f(x)＝ln x＋e √ √ 形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数为对数函数，对于A，由m＞1，且m≠2，可知m－1＞0，且m－1≠1，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意.故选AC. 2.f(x)＝log2x的反函数是 A.y＝ax B.y＝2x C.y＝logx2 D.y＝4x √ 根据指数函数与对数函数的关系，可得函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x.故选B. 3.设a＝3－0.2，b＝log20.2，c＝log23，则 A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.c＞a＞b √ 因为0＜a＝3－0.2＜30＝1，b＝log20.2＜log21＝0，c＝log23＞log22＝1，所以c＞a＞b.故选D. 4.若log2(x＋1)≤0，则实数x的取值范围是__________. (－1，0] log2(x＋1)≤0⇒0＜x＋1≤1，解得－1＜x≤0，故实数x的取值范围为 (－1，0]. 返回 课时分层评价 返回 1.若函数f(x)＝logax是对数函数，则a的值是 A.1或2 B.1 C.2 D.a＞0且a≠1 √ 因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，所以a2－3a＋3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为 A.y＝log2x B.y＝2log4x C.y＝log2x，或y＝2log4x D.不确定 √ 设函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，依题可知，2＝loga4，解得a＝2.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若对数函数f(x)的图象经过点(4，－2)，则它的反函数g(x)的解析式为 A.g(x)＝2x　 B.g(x)＝ C.g(x)＝4x　 D.g(x)＝x2 √ 设f(x)＝logax，函数图象过点(4，－2)，即f(4)＝loga4＝－2，即a＝，f(x)＝lox，它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则 A.R＜Q＜P B.P＜R＜Q C.Q＜R＜P D.R＜P＜Q √ 因为P＝2log23＝log232＝log29＞log28＝3，Q＝log23＜log24＝2，R＝log25＜log28＝3，R＝log25＞log24＝2，所以Q＜R＜P.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.方程lo(x2－9)＝lo(4x－4)的解为 A.x＝1或x＝5 B.x＝－1 C.x＝1 D.x＝5 √ 依题意得解得x＝5.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.若点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于 A.3 B.6 C.9 D.12 √ 设对数函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，代入点P(16，2)可得loga16＝2，则a2＝16，解得a＝4，所以y＝log4x，代入点Q(t，log23)可得log4t＝log23，则log2t＝log23，可得log2t＝2log23＝log29，所以t＝9.故选C. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.设y＝logax(a＞0，且a≠1)，若图象经过和，则k＝_____. 因为 － 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a＞0)上最大值与最小值之差为_______. 因为f(x)＝log2x在区间[a，2a]上单调递增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝log22＝1. 1 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)已知集合M＝{x｜log2(x－a)＜1}，若2∉M，写出一个满足题意的实数a的值为___________________________________________________ ______________. 由log2(x－a)＜1得0＜x－a＜2，即a＜x＜a＋2，所以M＝(a，a＋2)，因为2∉M，所以a≥2或a＋2≤2，得a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以一个满足题意的实数a的值为2(答案不唯一). 2(本题答案不唯一，只要所写数值满足a∈(－∞，0]∪ [2，＋∞)即可) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x). (1)若函数f(x)的定义域为[3，63]，求函数f(x)的最值； 解：因为y＝log2x是其定义域上的增函数， 所以函数f(x)＝log2(x＋1)在[3，63]上单调递增， 所以f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2. (2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围. 解：因为f(x)－g(x)＞0，即log2(1＋x)＞log2(1－x)，所以1＋x＞1－x＞0，解得0＜x＜1. 即x的取值范围是(0，1). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)若函数f(x)＝lox，则下列说法正确的是 A.函数定义域为R B.0＜x＜1时，f(x)＞0 C.f(x)＞1的解集为 D.f＝0 √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由题意知，f(x)＝lox，对于A，函数定义域为(0，＋∞)，故A错误；对于B，f(x)＝lox在(0，＋∞)上单调递减，当0＜x＜1时，f(x)＝lox＞lo1＝0，故B正确；对于C，f(x)＝lox在(0，＋∞)上单调递减，f(x)＞1，即lox＞lo，解得x∈，故C错误；对于D，f＝f(1)＝lo1＝0，故D正确.故选BD. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝log2x图象交点个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 在同一个平面直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图， 由图象可知f(x)与g(x)的交点个数是3.故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝_________________. log2x(答案不唯一) f(xy)＝f(x)＋f(y)是对数函数模型，f(x)＝log2x满足条件.(答案不唯一) 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知函数f(x)＝logax＋b(a＞0，且a≠1)的图象经过点(2，0)和(16，3). (1)求函数f(x)的解析式； 解：由题意得 所以f(x)＝log2x－1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若函数y＝[f(x)]2－f(x)，求y的最小值. 解：y＝[f(x)]2－f(x)＝(log2x－1)2－log2x＋1＝(log2x)2－3log2x＋2. 令log2x＝t，则y＝t2－3t＋2＝－， 故当t＝，即log2x＝，x＝2时，ymin＝－， 所以y的最小值为－. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)已知a，b∈R，且满足＜＜1，则 A.log2b＞log2a B.log2a＞log2b C.log2a2＞log2b2 D.log2b2＞log2a2 √ √ 由题设知a＞b＞0，故B正确，A错误，且a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故C正确，D错误.故选BC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)已知函数f(x)＝. (1)画出函数y＝f(x)的图象； 解：先作出y＝lox的图象，再把y＝lox的图象在x轴下方的部分往上翻折，得到f(x)＝的图象，如图. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)写出函数y＝f(x)的单调区间； 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由图可知，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1). (3)当x∈时，函数y＝f(x)的值域为[0，1]，求实数m的取值范围. 解：由f(x)＝的图象可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0， 由题意结合图象知，1≤m≤2. 故实数m的取值范围是[1，2]. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 返回 $