第二章 2.1 函数概念-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.1　函数概念 　 第二章　§2　函数 学习目标 1.理解函数的概念，培养数学抽象的核心素养.　 2.会求一些简单函数的定义域和函数值，培养数学运算的核心素养. 3.会判断两个函数是否为同一个函数. 内容索引 任务一　函数概念的理解 1 任务二　求函数的定义域 2 任务三　求抽象函数的定义域 3 课时分层评价 6 任务四　求函数的值(或值域) 4 随堂评价 5 任务一　函数概念的理解 返回 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？ 提示：对应关系应为s＝350t，其中t∈A1＝{t｜0≤t≤0.5}，s∈B1＝{s｜0≤s≤175}，是函数.对于数集A1中的任一时刻t，按照这种对应关系，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应. 问题导思 问题2.某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？为什么？你能仿照问题1中对s与t的对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？ 提示：工资w是一周工作天数d的函数，对应关系为w＝350d，其中d∈A2＝{1，2，3，4，5，6}，w∈B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}，对于数集A2中的任一工作天数d，按照这种对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资w与其对应. 问题3.问题1和2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 提示：不是.自变量的取值范围不一样. 1.函数的有关概念 新知构建 函数的定义 给定实数集R中的两个__________A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的___________，在集合B中都有__________的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 ________________ 函数的定义域 ________称为函数的定义域 函数的自变量 x称为________ 函数值 与x值对应的y值称为________ 函数的值域 集合{f(x)｜x∈A}称为函数的______ 非空数集 每一个数x 唯一确定 y＝f(x)，x∈A 集合A 自变量 函数值 值域 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数. (1)集合A，B都是非空数集.(2)集合A中的元素无剩余性，集合B中元素具有可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集.(3)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系.(4)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也 相同. 微提醒 (链教材P54例1)(1)(多选题)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是 A.A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D.A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 √ 典例 1 √ 对于A，(－1)2＝1，02＝0，12＝1，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数；对于B，±＝0，±＝±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数；对于C，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数；对于D，1×2＝2，2×2＝4，3×2＝6，4×2＝8，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.故选AD. (2)(多选题)下列函数表示同一个函数的是 A.函数y＝x与函数y＝ B.函数y＝与函数y＝｜x－1｜ C.函数y＝与函数y＝x－1 D.函数y＝·与函数y＝ √ √ 因为函数y＝＝x，定义域为R，所以函数y＝x与函数y＝是同一个函数，故A正确；因为函数y＝＝＝，定义域为R，所以函数y＝与函数y＝｜x－1｜是同一个函数，故B正确；因为函数y＝＝＝x－1，定义域为，而函数y＝x－1的定义域为R，因为这两个函数定义域不同，所以函数y＝与函数y＝x－1不是同一个函数，故C错误；因为函数y＝·＝＝，定义域为，而函数y＝，或，因为这两个函数定义域不同，所以函数y＝·与函数y＝不是同一个函数，故D错误.故选AB. 1.判断一个对应关系是否为函数的方法 规律方法 2.判断两个函数是否为同一个函数的方法 规律方法 对点练1.(1)下列各图中，不能表示y是x的函数的是 √ 由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，所以A，C和D能表示y是x的函数；由选项B的图象知，存在一个x的取值，有两个y值与之对应，所以不能表示y是x的函数，故选B. (2)(多选题)下列各组函数表示同一个函数的是 A.f(x)＝x，g(x)＝ B.f(x)＝x2，g(x)＝｜x｜2 C.f(x)＝x＋1，g(x)＝ D.f(x)＝，g(x)＝ √ √ 对于A，f(x)＝x，g(x)＝｜x｜，对应关系不一致，不是同一个函数；对于B，f(x)＝x2，g(x)＝｜x｜2＝x2，定义域相同，对应关系一致，是同一个函数；对于C，f(x)定义域为R，g(x)定义域为，定义域不同，不是同一个函数；对于D，f(x)定义域为，可化为f(x)＝，g(x)定义域为，可化为g(x)＝，是同一个函数.故选BD. 返回 任务二　求函数的定义域 返回 (链教材P55例2)求下列函数的定义域： (1)y＝＋； 解：由题意知，解得3≤x＜5，所以函数的定义域为{x｜3≤x＜5}. 典例 2 (2)f(x)＝－； 解：为使函数有意义，只需自变量x的取值满足解得x≤1，且x≠－1， 所以函数的定义域为{x｜x≤1，且x≠－1}. (3)f(x)＝. 解：为使函数有意义，只需自变量x的取值满足解得x≤5，且x≠±3， 所以函数的定义域为{x｜x≤5，且x≠±3}. 求函数定义域的常用依据 1.若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零. 2.若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零. 3.若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. 4.若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. 5.若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 规律方法 对点练2.(1)函数f(x)＝的定义域为 A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.∪ D.∪ √ 由题可知，解得x＜2且x≠，所以函数f(x)＝∪.故选D. (2)函数f(x)＝的定义域是________________. ∪ 由题意可得由－x2＋x＋6＝－≥0，即≤0，有－2≤x≤3，由x－1≠0，可得x≠1，故函数f(x)的定义域为∪. 返回 任务三　求抽象函数的定义域 返回 (1)若函数f(x)的定义域为[－1，3]，则函数f(1－x)的定义域为 A.[－2，2] B.[－2，3] C.[－1，2] D.[－1，3] √ 典例 3 由题意，要使函数f(1－x)有意义，则－1≤1－x≤3，即－2≤x≤2，所以函数f(1－x)的定义域为[－2，2].故选A. (2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则函数f(x)的定义域为 A.(－1，1) B. C.(－1，0) D. √ 因为函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，所以－1＜x＜0，可得－1＜2x＋1＜1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1).故选A. 求抽象函数的定义域 1.若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中g(x)∈[a，b]，从中解得x的解集即f(g(x))的定义域. 2.若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g(x)的范围，设 u＝g(x)，则f(g(x))＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域. 3.已知f(φ(x))的定义域，求f(h(x))的定义域，先由x的取值范围，求出φ(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围求出 x的取值范围，即f(h(x))的定义域. 规律方法 对点练3.(1)已知函数f的定义域为，则函数g(x)＝的定义域为 A. B. C. D. √ 因为函数f，所以函数f(x)的定义域为，则对于函数g(x)＝，需满足＜x＜5，即函数g(x)＝.故选D. (2)已知函数f(x)的定义域为，则函数y＝的定义域为__________________. (－1，0)∪ 依题意函数f(x)的定义域为，则要使函数y＝解得－1＜x＜2且x≠0，所以函数y＝的定义域为(－1，0)∪. 返回 任务四　求函数的值(或值域) 返回 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； 解：由f(x)＝，有f(2)＝＝. 又g(x)＝x2＋2，得g(2)＝22＋2＝6. 典例 4 (2)求f(g(3))的值和f(g(x))的关系式； 解：由g(3)＝32＋2＝11， 得f(g(3))＝f(11)＝＝. f(g(x))＝＝＝(x∈R). (3)求函数g(x)的值域. 解：g(x)＝x2＋2(x∈R)，由x2≥0，则x2＋2≥2， 所以函数g(x)的值域为[2，＋∞). 求函数值的方法及其应用 1.已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解. 2.已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制. 规律方法 对点练4.(1)已知函数f(x)＝则f＝ A.2 B. C.－3 D.5 √ 由函数f(x)＝ 可得f(－2)＝5，则f＝f(5)＝.故 选B. (2)(多选题)下列函数中值域是(0，＋∞)的是 A.y＝ B.y＝x2＋x＋ C.y＝ D.y＝2x＋1 √ √ 因为x2＋3x＋2≥0，所以y＝≥0，故其值域为[0，＋∞)，故A不符合题意；因为y＝x2＋x＋＝≥0，又x≠－，所以函数的值域为(0，＋∞)，故B符合题意；因为y＝＞0，所以函数的值域为(0，＋∞)，故C符合题意；因为y＝2x＋1∈R，故D不符合题意.故选BC. 返回 课堂小结 任务 再现 1.函数的概念.2.判断两函数是同一个函数的方法.3.会求函数的定义域以及函数值(或值域) 方法 提炼 定义法和图象法 易错 警示 1.判断是否为同一个函数时没有考虑函数的定义域和对应关系完全相同导致错误.2.化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.3.不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域 随堂评价 返回 1.下列图象中，不能表示函数的是 √ C选项的函数图象中存在x0∈(0，＋∞)，对应两个不同的函数值，故不是函数图象.故选C. 2.函数y＝的定义域是 A. B. C.∪ D.∪ √ 由题意得解得－4≤x≤4且x≠0，所以函数的定义域为∪.故选D. 3.(多选题)下列各组函数是同一个函数的是 A.f(x)＝x2－2x－1与g＝s2－2s－1 B.f(x)＝与g(x)＝－x C.f(x)＝与g(x)＝ D.f(x)＝x与g(x)＝ √ √ √ 对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；对于B，f(x)＝＝－x，g(x)＝－x，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故B正确；对于C，f(x)＝＝1的定义域为，g(x)＝＝1的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝｜x｜的定义域为R，定义域相同，对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.故选ABC. 4.已知f(x)＝－5x＋3，且f(a)＝8，则a的值为______. －1 因为f(x)＝－5x＋3，且f(a)＝8，所以－5a＋3＝8，解得a＝－1. 返回 课时分层评价 返回 1.已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域为 A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，1] D.(－∞，0) √ 令解得x≤1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，1].故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设函数f(x)＝则f(f(1))＝ A.－1 B.4 C.6 D.8 √ f(1)＝－1＋5＝4，f(f(1))＝f(4)＝42－2×4＝8.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是 A.A＝B＝Z，对应关系f：x→y＝ B.A＝，B＝R，对应关系f：x→y＝±x C.A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2 D.A＝B＝R，对应关系f：x→y＝ √ 对于A，因为集合A是整数集合，其中奇数除以2的结果不是整数，所以y不是x的函数，故A不符合题意；对于B，显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，故B不符合题意；对于C，因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，故C符合题意；对于D，因为0∈A，但是没有意义，故D不符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)下列各组函数是同一个函数的是 A.f(x)＝，g(x)＝x B.f(x)＝x2＋2x－1，g(x)＝(x＋1)2 C.f(x)＝，g(x)＝2x－1 D.f(x)＝g(t)＝ √ √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，两函数的定义域均为，且函数f(x)＝＝｜x｜＝x与g(x)＝x，两函数的对应关系也相同，所以是同一个函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)＝x2＋2x－1与g(x)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，故B不符合题意；对于C，函数f(x)＝的定义域为{x｜x≠－}，g(x)＝2x－1的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C不符合题意；对于D，函数f(x)＝g(t)＝＝两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一个函数，故D符合题意.故选AD. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(新情境)托马斯说：“函数是近代数学的思想之花.”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，1，2}到集合N＝{1，2，4}的函数 的是 A.y＝2x B.y＝x＋1 C.y＝｜x｜ D.y＝x2＋1 √ 根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1，1，2}.对于A，按照对应关系y＝2x，函数的值域为E＝{－2，2，4}⊈N，故A错误；对于B，按照对应关系y＝x＋1，函数的值域为E＝{0，2，3}⊈N，故B错误；对于C，按照对应关系y＝｜x｜，函数的值域为E＝{1，2}⊆N，故C正确；对于D，按照对应关系y＝x2＋1，函数的值域为E＝{2，5}⊈N，故D错误.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的定义域为{x｜x≠0} B.函数f(x)的值域为{x｜x≥0} C.函数f(x)与函数g(x)＝｜x｜是同一个函数 D.函数f(x)满足f(－x)＝f(x) √ 对于A，函数f(x)＝有意义，即｜x｜≠0，即x≠0，故A正确；对于B，当x≠0 时，f(x)＝＝｜｜＝｜x｜＞0，即函数的值域为(0，＋∞)，故B错误；对于C，由A分析知，函数f(x)的定义域为{x｜x≠0}，而g(x)＝｜x｜的定义域为R，故C错误； 对于D，f(－x)＝＝＝f(x)，故D正确.故选AD. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数f(x)＝的定义域为___________________. 函数f(x)＝有意义，则x2－3x＋2＞0，解得x＜1或x＞2，所以函数f(x)＝的定义域为{x｜x＞2，或x＜1}. {x｜x＞2，或x＜1} 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知函数f(x)＝，则f(x)的值域是__________. 因为x2＋2≥2，所以0＜≤， 所以f(x)的值域为. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为__________. 若2∈(－∞，a)，则f(2)＝2，不符合题意.若2∈，则f(2)＝22＝4，符合题意.故a的取值范围为a≤2，即a∈(－∞，2]. (－∞，2] 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(1))； 解：因为f(x)＝ 所以f(1)＝2，f(2)＝＝2. 因此f(f(1))＝f(2)＝2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)若f(a)＝3，求a的值. 解：当a≤－1时，由f(a)＝a＋2＝3，可得a＝1，舍去； 当－1＜a＜2时，由f(a)＝2a＝3，可得a＝； 当a≥2时，由f(a)＝＝3，可得a＝－(舍)或a＝. 综上所述，a＝或a＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新定义)若定义运算a*b＝则函数g(x)＝－x2*(－x)的值域为 A.(－∞，0] B.R C.[－1，＋∞) D.(－∞，0) √ g(x)＝即g(x)＝当0≤x≤1时，－x∈[－1，0]，当x＜0或x＞1时，－x2∈(－∞，0)，函数g(x)＝ －x2*(－x)的值域为(－∞，0].故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)下列说法不正确的是 A.函数f(x)＝3x＋1与g(x)＝是同一个函数 B.函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C.若函数f(x)的定义域为，则函数f的定义域为 D.函数f(x)＝x2＋2＋的最小值为2 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，函数f(x)＝3x＋1的定义域为R，g(x)＝，故函数f(x)＝3x＋1与g(x)＝不是同一个函数，故A不正确；对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；对于C，函数f(x)的定义域为，即0≤x≤3，则对于函数f有0≤3x≤3，则0≤x≤1，故函数f的定义域为[0，1]，故C不正确；对于D，由基本不等式得f(x)＝x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝时等号成立，但x2＋2＝无解，故等号取不到，故f(x)＝x2＋2＋的最小值不为2，故D不正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(新情境)(多选题)南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f(n)，则下列说法正确的是 A.y＝f(n)，n∈N＋是一个函数 B.当n＝5时，f(n)＝3.141 59 C.f(4)＝f D.f(n)∈ √ √ √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 对于A，对于任意n∈N＋，均存在唯一的f(n)与之对应，符合函数的定义，y＝f(n)，n∈N＋是一个函数，故A正确；对于B，C，f(5)＝9，f(4)＝5＝f，故 B错误，C正确；对于D，根据定义f(n)∈，故 D正确.故选ACD. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知f(x)＝x2－4x＋2，g(x)＝. (1)求g(x)的定义域； 解：因为g(x)＝， 所以解得x≥4，且x≠5， 所以该函数的定义域为{x｜x≥4，且x≠5}. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求f(2)，f(a＋1)的值，f(x)的值域. 解：由f(x)＝x2－4x＋2知，f(2)＝22－4×2＋2＝－2， f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1， 因为f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2， 所以f(x)∈， 即f(x)的值域为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0，以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有 A.D()＝1 B.D(x)的值域为[0，1] C.D(x)定义域为R D.D(x－1)＝D(x) √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为是无理数，所以D()＝0，故A错误；D(x)的值域为，故B错误；D(x)定义域为R，故C正确；当x为有理数时，x－1也为有理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝1，当x为无理数时，x－1也为无理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝0，所以对x∈R都有D(x－1)＝D(x)，故D正确.故选CD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)已知函数f(x)＝. (1)求f(2)＋f的值； 解：因为f(x)＝， 所以f(2)＋f＝＋＝＋＝1. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求证：f(x)＋f是定值； 解：证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1为定值. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 025)＋f的值. 解：由(2)可知，f(x)＋f＝1， f(1)＝＝， 所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 025)＋f＝[f(1)＋f(1)]＋＋＋…＋［f(2 025)＋f］＝1×2 025＝ 2 025. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.1　函数概念 返回 $