第一章 3.1 不等式的性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.1　不等式的性质 　 第一章　§3　不等式 学习目标 1.初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小.　 2.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.　 3.通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养和数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　实数大小比较的基本事实 1 任务二　不等式的性质 2 任务三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　实数大小比较的基本事实 返回 问题1.一般认为，民用住宅的窗户面积x m2必须小于地板面积y m2，但窗户面积与地板面积的比应不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积l m2和地板面积l m2，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？你能将这种关系用含字母x，y，l的不等式表示出来吗？ 提示：公寓的采光效果变好了.能.用不等式表示为：＞. 问题导思 实数大小比较的基本事实 新知构建 基 本 事 实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么______ a＞b⇔_________ 如果a－b等于0，那么______ a＝b⇔_________ 如果a－b是负数，那么______ a＜b⇔_________ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的____与___的大小 a＞b a－b＞0 a＝b a－b＝0 a＜b a－b＜0 差 0 (1)比较两实数(代数式)的大小常用作差法，作差后需对差式进行恒等变形，常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法，直到能明显判断出其正负号(通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积或商的形式)为止.(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. 微提醒 (1)(链教材P25例1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小； 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋， 因为≥0，所以＋≥＞0， 所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， 所以2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 典例 1 (2)(链教材P25例2)试证明：若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). 证明：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)＝－2xy(x－y)， 因为x＜y＜0，所以xy＞0，x－y＜0， 所以－2xy(x－y)＞0， 所以(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). 作差法比较(或证明)大小的四个步骤 规律方法 对点练1.(1)已知a＞0，b＞0，比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小； 解：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2) ＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2， 因为a＞0，b＞0，所以(a＋b)(a－b)2≥0， 所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 所以a3＋b3≥ab2＋a2b. (2)试证明：若a，b为实数，则2a2＋b2＋1≥ab＋2a. 证明：2a2＋b2＋1－ab－2a＝＋(a－1)2≥0，当且仅当a＝1，b＝2时取等号. 所以2a2＋b2＋1≥ab＋2a. 返回 任务二　不等式的性质 返回 问题2.如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？你能提炼出什么不等关系？ 提示：甲比乙的收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙的收 入高. 若a＞b，则a－c＞b－c. 问题导思 问题3.若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多.这里反映出的不等关系如何用符号语言表述？ 提示：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d. 不等式的性质 新知构建 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 如果a＞b，且b＞c，那么a____c 不可逆 2 可加性 如果a＞b，那么a＋c____b＋c 可逆 3 可乘性 (1)如果a＞b，c＞0，那么________； (2)如果a＞b，c＜0，那么________ c的符号 4 同向可加性 如果a＞b，c＞d，那么____________ 同向 5 同向同正 可乘性 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么________； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd.特殊地，当a＞b＞0时，an____bn，其中n∈N＋，n≥2 是否变号 6 可开方性 当a＞b＞0时，，其中n∈N＋，n≥2 同正 ＞ ＞ ac＞bc ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd ＞ ＞ (1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？ 提示：不一致，同向不等式相乘时各项均为正数. 微思考 (2)若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？ 提示：不一定，但当a＞b＞0，c＞d＞0时，一定成立. (3)若a与b同号，且a＞b，那么＜吗？ 提示：若a与b同号，即当ab＞0时，a＞b⇔＜. (1)(多选题)下列命题是真命题的为 A.若a＞b＞0＞c＞d，则ab＞cd B.若a＞b，则ac2＞bc2 C.若a＞b＞0且c＜0，则＞ D.若a＞b且＞，则ab＜0 √ 典例 2 √ 对于A，设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ab＝cd，故A错误；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，－＝，因为a＞b＞0且c＜0，所以b2－a2＜0，所以c＞0，且a2b2＞0，所以－＝＞0，所以＞，故C正确；对于D，－＝，因为a＞b，所以b－a＜0，又＞，所以ab＜0，故D正确.故选CD. (2)(链教材P26例3)已知a＞b＞c＞0，求证：＞. 证明：因为a＞b＞c＞0，所以a－c＞b－c＞0， 所以＞＞0，可得＞＞0， 即＞，得证. 1.利用不等式的性质判断命题真假的方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可. (2)特殊值法：解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. (3)作差法：将结论移项作差后，判断符号. 规律方法 2.利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 规律方法 对点练2.(1)下列命题中正确的是 A.若a＞b，则＜ B.若ac2＞bc2，则a＞b C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若a＞b，c＜d，则＞ √ 对于A，当a＝1，b＝－1时，a＞b，但是＞，故A错误；对于B，当ac2＞bc2时，c2＞0，＞0，所以a＞b，故B正确；对于C，当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C错误；对于D，当a＝3，b＝2， c＝－1，d＝1时，a＞b，c＜d，则＜，故D错误.故选B. (2)已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又因为a＞b＞0，所以a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0，所以0＜＜. 又因为e＜0，所以＞. 返回 任务三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 返回 已知－1＜x＜4，2＜y＜3. (1)求x－y的取值范围； 解：因为－1＜x＜4，2＜y＜3， 所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2. 典例 3 (2)求3x＋2y的取值范围. 解：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18. 变式探究 1.(变条件)若将本例条件改为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，求3x＋2y的取值范围. 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 又因为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3， 所以－＜(x＋y)＜10，1＜(x－y)＜， 所以－＜(x＋y)＋(x－y)＜， 即－＜3x＋2y＜， 所以3x＋2y的取值范围为. 2.(变设问)本例的条件不变，求的取值范围. 解：因为2＜y＜3，所以＜＜， 又因为－1＜x＜4，所以当－1＜x＜0时，－＜＜0， 当x＝0时，＝0，当0＜x＜4时，0＜＜2， 所以. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. [注意]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围. 规律方法 对点练3.已知实数a，b满足1≤a＋b≤8，3≤a－b≤4. (1)求实数a，b的取值范围； 解：由1≤a＋b≤8，3≤a－b≤4， 所以4≤(a＋b)＋(a－b)≤12， 即4≤2a≤12，所以2≤a≤6， 即实数a的取值范围为[2，6]. 因为b＝[(a＋b)－(a－b)]＝[(a＋b)＋(b－a)]， 由3≤a－b≤4，所以－4≤b－a≤－3， 又1≤a＋b≤8， 所以－3≤(a＋b)－(a－b)≤5， 所以－≤[(a＋b)－(a－b)]≤， 即－≤b≤，即实数b的取值范围为. (2)求2a－5b的取值范围. 解：设2a－5b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， 则 所以2a－5b＝－(a＋b)＋(a－b)， 因为1≤a＋b≤8，3≤a－b≤4， 所以－12≤－(a＋b)≤－，≤(a－b)≤14，所以－≤2a－5b≤， 即2a－5b的取值范围为. [教材拓展2]　糖水不等式(源于教材P25例2与思考交流) 常用结论：若b＞a＞0，m＞0，则＞或＜.(分子分母都加上同一个正数时，真分数越加越大，假分数越加越小) (1)(多选题)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是 A.＜ B.＜ C.＞ D.＜ 典例 4 √ √ 由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，则有＞，故C正确；然后取倒数得到＜，故D正确.故选CD. (2)设a＞b＞0，则 .(填“＞”或“＜”) ＜ 由－＝＝＝，因为a＞b＞0，可得a＋2b＞0，b＋a＞0，b－a＜0，所以＜0，即－＜0，所以＜. 返回 课堂小结 任务 再现 1.实数大小比较的基本事实. 2.不等式的性质及其应用 方法 提炼 比较法、取特殊值法、待定系数法 易错 警示 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 随堂评价 返回 1.设P＝a(2a＋5)，Q＝(2a＋1)(a＋2)，则 A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.P与Q的大小与a有关 √ 因为P－Q＝a(2a＋5)－(2a＋1)(a＋2)＝2a2＋5a－(2a2＋5a＋2)＝－2＜0，所以P＜Q.故选C. 2.(多选题)下列命题正确的是 A.若a＞b，则ac3＞bc3 B.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d C.若ac＞bc，则a＞b D.若a＞b，则a－c＞b－c √ √ 对于A，当c＝0时，若a＞b，则ac3＝bc3，故 A错误；对于B，当a＞b，c＞d时，得a＋c＞b＋d，故 B正确；对于C，当c＜0时，若ac＞bc，则a＜b，故C错误；对于D，当a＞b时，则a－c＞b－c，故D正确.故选BD. 3.已知1≤a≤2，3≤b≤5，则下列结论错误的是 A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3 C.3≤ab≤10 D.≤≤ √ 对于A，由1≤a≤2，3≤b≤5，得4≤a＋b≤7，故A正确；对于B，由1≤a≤2，得－2≤－a≤－1，而3≤b≤5，则1≤b－a≤4，故B错误；对于C，由1≤a≤2，3≤b≤5，得3≤ab≤10，故C正确；对于D，由3≤b≤5，得≤≤，而1≤a≤2，则≤≤，故D正确.故选B. 4.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是__________. M＞N M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2＞0，所以M＞N. 返回 课时分层评价 返回 1.若x≠2且y≠－1，则M＝x2＋y2－4x＋2y的值与－5的大小关系是 A.M＝－5 B.M＜－5 C.M＞－5 D.不能确定 √ M－＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋，由x≠2且y≠－1，故M－＝(x－2)2＋＞0，即M＞－5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设a，b，c为实数，且a＜0＜b，则下列不等式恒成立的是 A.｜a｜＜｜b｜ B.ac2≤bc2 C.＞ D.a2＞ab＞b2 √ 设a，b，c为实数，且a＜0＜b，当a＝－2，b＝1时，｜a｜＞｜b｜，选项A错误；因为c2≥0，a＜b，所以ac2≤bc2，选项B正确；当a＝－1，b＝2时，＜，选项C错误；当a＝－1，b＝2时，b2＞a2＞ab，选项D错误，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a＜0，－1＜b＜0，则 A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a C.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a √ 因为a＜0，－1＜b＜0，所以ab＞0，0＜b2＜1，所以0＞ab2＞a，所以ab＞ab2＞a.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)已知a，b，c∈R.下列命题正确的有 A.若a＞b，则ab＞b2 B.若a＞b，则a3＞b3 C.若a＞b＞0，则＞ D.若a＞b＞0，则a2＞b2 √ 对于A，由a＞b，当b＝0时，ab＝b2，故A错误；对于B，由奇数次幂的正负不变，所以若a＞b，则a3＞b3，故B正确；对于C，设a＝1，b＝，则＝＝＜＝＝2，故C错误；对于D，由不等式的性质可得，若a＞b＞0，则a2＞b2，故D正确.故选BD. √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是 A.a＞b B.b＞a C.a＞m D.m＞b √ ＞⇒－＞0⇒－＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(新情境)(多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号表示不等关系，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列命题为真命题的是 A.若a＞b＞0，则a＋＞b＋ B.若m＞n＞0，则＜ C.如果c＞a＞b＞0，那么＞ D.a≥b＞－1，则≥ √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，a＞b＞0，a＋－＝(a－b)，无法判断正负，故A错误；对于B，m＞n＞0，－＝＝＜0，所以＜，故B正确；对于C，c＞a＞b＞0，－＝＝＞0，即＞，故C正确；对于D，a≥b＞－1，－＝≥0，即≥，故D正确.故选BCD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.比较大小：－－.(用“＞”或“＜”填空) 要比较－－的大小关系，即比较＋＋的大小关系，(＋)2－(＋)2＝2－2＞0，即(＋)2＞(＋)2⇔＋＞＋，所以－＞－. ＞ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若4≤a≤8，－2≤b≤5，则2a－的取值范围为__________. 由－2≤b≤5，得0≤｜b｜≤5，则－5≤－｜b｜≤0，而4≤a≤8，则8≤2a≤16，因此3≤2a－≤16，所以2a－的取值范围为[3，16]. [3，16] 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组整数a，b的值依次是____________________. 取a＝1，b＝－1，满足a＞b，但＞，所以命题“若a＞b，则＜”是假命题.(答案不唯一) 1，－1(答案不唯一) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)解答下列各题： (1)设x＞1，M＝－，N＝－，比较M，N的大小； 解：M＝－ ＝＝， N＝－＝ ＝， 由x＞1，－＝－＞0， 故＋＞＋，即有M＞N. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)设x，y，z∈R，M＝5x2＋y2＋z2，N＝2xy＋4x＋2z－2，比较M，N的 大小； 解：M－N＝5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝(x－y)2＋4x2－4x＋z2－2z＋2＝(x－y)2＋(2x－1)2＋(z－1)2， 因为x，y，z∈R，所以(x－y)2≥0，(2x－1)2≥0，(z－1)2≥0，所以M－N≥0，M≥N. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)设a＞b＞0，M＝，N＝，比较M，N的大小. 解：M－N＝－ ＝－ ＝ ＝ ＝， 由a＞b＞0， 故a－b＞0，a＋b＞0，ab＞0，a2＋b2＞0， 即M－N＞0，故M＞N. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是 A.ac(a－c)＜0 B.c(b－a)＜0 C.cb2＞ab2 D.ab＞ac √ 对于A，因为c＜a，所以a－c＞0，又ac＜0，故ac(a－c)＜0，故A正确；对于B，因为c＜a，ac＜0，所以c＜0，a＞0，又a＜b，故b－a＞0，所以c(b－a)＜0，故B正确；对于C，因为b＞a＞0，所以b2＞0，c＜a两边同乘以b2，得cb2＜ab2，故C错误；对于D，因为a＞0，b＞c，所以ab－ac＝a(b－c)＞0，故ab＞ac，故D正确.故选ABD. √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(新角度)有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是 A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b √ 因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，所以a＋d＋(a＋b)＞b＋c＋(c＋d)，即a＞c.所以b＜d.又a＋c＜b，所以a＜b.综上可得，d＞b＞a＞c.故选A. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)设x，y∈R，使＞和＞同时成立的一个充分条件是______________________. y＞x＞1(答案不唯一) 根据不等式的性质可知，当y＞x＞0时，＞＞同时成立，所以“y＞x＞0”是“＞＞同时成立”的充分条件，即只要满足y＞x＞0，就均是“＞＞同时成立”的充分条件，所以充分条件可以是y＞x＞1.(答案不唯一). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)根据要求完成下列问题：若a＞b＞0，c＜d＜0，＞. (1)求证：b＋c＞0； 解：证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0， 所以b＞－c，所以b＋c＞0. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求证：＜； 解：证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0， 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0， 所以0＜＜， 因为a＞b，d＞c，所以a＋d＞b＋c， 由①知b＋c＞0， 所以a＋d＞b＋c＞0，所以＜. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解：能找到. 因为a＋d＞b＋c＞0，0＜＜， 所以＜＜＜＜(只要写出其中一个即可). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)已知三个不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题. 3 由不等式性质，得⇒⇒bc＞ad；⇒＞；⇒⇒ab＞0.故可组成3个真命题. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)(新定义)对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”. (1)对于2，3，7，11，有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”吗？请简单说明理由； 解：因为3×7＜11×2， 所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系. 解：因为(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad＜bc， 因为a，b，c，d均为正数， 故－＝＞0， 即－＞0，所以＞，同理＜， 综上所述：＜＜. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.1　不等式的性质 返回 $