第一章 1.1 集合的概念与表示-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

1.1　集合的概念与表示 　 第一章　§1　集合 学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的关系.　 2.初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、区间，感受集合语言的意义和作用，培养数学抽象的核心素养. 3.会用集合的表示方法表示一些简单集合. 内容索引 任务一　元素与集合的概念 1 任务二　元素与集合的关系 2 任务三　集合的表示 3 课时分层评价 7 任务四　区间及其表示 4 随堂评价 6 任务五　利用集合中元素的性质求参数 5 任务一　元素与集合的概念 返回 问题1.阅读下面的例子，并回答提出的问题： ①方程x2－2 025x－2 026＝0的所有实数根； ②在平面直角坐标系中，第一象限的点的全体； ③某中学2025年入学的全体高一学生； ④所有的正方形； ⑤地球上的四大洋； ⑥著名的高等院校. (1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？哪个例子的对象不确定，为什么？ 提示：分别为实数根、点、学生、正方形、大洋、高等院校.其中⑥的对象不确定，因为“著名”没有明确的划分标准. 问题导思 (2)观察并讨论①－⑤中各例有什么共同特点？ 提示：①－⑤中各例指的都是“所有的”，即某些研究对象的全体. 新知构建 (1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？ 提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等. 微思考 (2)“中国各地最美的乡村”能否构成一个集合？ 提示：不能.因为“最美”没有明确的划分标准. (3)“唐宋散文八大家”能否构成一个集合？ 提示：能.因为标准确定. (多选题)下列选项中正确的是 A.2024年参加巴黎奥运会的全体乒乓球选手能构成集合 B.小于的正整数能构成集合 C.组成集合的元素一定是有限个 D.直角坐标系中横、纵坐标互为相反数的点能构成集合 √ 典例 1 √ √ 对于A，2024年参加巴黎奥运会的全体乒乓球选手是确定的，可以构成集合；对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合；对于C，组成集合的元素可以是无限个，如所有自然数组成的集合；对于D，直角坐标系中横、纵坐标互为相反数的点都是确定的，能构成集合.故选ABD. 　　集合是一个整体，所有满足条件的对象都在这个集合中，集合中的元素是我们研究的对象，可以有多个也可以只有一个. 规律方法 对点练1.请写出下列集合中的元素： (1)大于1小于10的奇数构成的集合：_____________； (2)我国四大名著构成的集合：______________________________________ ___________. 3，5，7，9 《三国演义》，《水浒传》，《西游记》， 《红楼梦》 返回 任务二　元素与集合的关系 返回 问题2.“我国的小河流”“有趣的书”“高一年级跑得快的同学”等能组成集合吗？ 提示：不能.其中的元素不确定.“小”“有趣”“跑得快”是一些含糊不清的概念，具有相对性，没有明确的标准，是一些不能够确定的对象，因此，不能构成集合. 问题导思 问题3.在体育课上，如果体育老师说“男同学踢足球，女同学打羽毛球”，你会去踢足球吗？ 提示：是男生就去，不是男生就不去. 1.集合中元素的特性 给定的集合，它的元素必须是确定的(确定性)、互不相同的(互异性)、顺序任意的(无序性). 2.元素与集合的关系 新知构建 关系 说法 记法 属于 元素a属于集合A a____A 不属于 元素a不属于集合A a____A ∈ ∉ 3.常用的数集及表示符号 数集 自然 数集 正整 数集 ________ 有理 数集 ________ 正实 数集 符号 ____ ____________ Z Q R R＋ 整数集 实数集 N N＋或N* 符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向. 微提醒 集合N与N*或N＋有什么区别？ 提示：集合N中的元素是0和正整数，集合N*或N＋中的元素是正整数. 微思考 (1)(多选题)下列说法正确的是 A.∈R B.0∉N C.不超过 20的素数能构成集合 D.π的近似值不能构成集合 √ 典例 2 √ √ 对于A，∈R正确；对于B，0∈N，故B不正确；对于C，不超过20的素数是确定的，可以组成集合，故C正确；对于D，π的近似值无法确切取到，不能组成集合，故D正确.故选ACD. (2)已知不等式x－a＞0的解集为集合A，若1∈A，则实数a的取值范围是__________. a＜1 由1∈A，得1－a＞0，解得a＜1，故答案为a＜1. 判断元素与集合关系的两种方法 1.直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. 2.推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 规律方法 对点练2.(1)设不等式3－2x＜0的解集为M，下列判断正确的是 A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M √ 当x＝0时，3－2x＝3＞0，0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，2∈M.故选B. (2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a＝______. － 由－3∈A，可得－3＝a－2，或－3＝2a2＋5a，所以a＝－1，或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，所以a＝－. 返回 任务三　集合的表示 返回 问题4.(1)用A表示“大于－2且小于2的整数”构成的集合，这是利用哪种方法表示集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示：这是用自然语言法表示集合；我们可以一一写出其元素为－1，0，1. 问题导思 (2)“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能，集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举. 新知构建 列举法 把集合中的元素__________出来写在________________内表示集合的方法叫作列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…} 描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为_____________________________，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“｜”，在竖线后写出集合中元素所具有的__________ 有限集、无 限集、空集 含有________元素的集合叫作有限集；含有________元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作______，记作____ 一一列举 花括号“{}” {x及x的范围｜x满足的条件} 共同特征 有限个 无限个 空集 ∅ (1)列举法元素间用“，”隔开，把元素一一列举出来并用“{ }”括起来即可.对于无限集，有时也可用列举法，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.(2)描述法应写清该集合中元素的代表符号，代表元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写. 微提醒 (1)(链教材P3例1)用列举法表示下列集合： ①由大于1且小于6的整数组成的集合A； 典例 3 解：因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}. ②方程x2－16＝0的实数根组成的集合B； 解：方程x2－16＝0的实数根为－4，4， 所以B＝{－4，4}. ③一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点组成的集合C. 解：由y＝x＋2，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2；所以一次函数y＝x＋2的图象与坐标轴的所有交点为(0，2)，(－2，0)，所以C＝{(0，2)，(－2，0)}. (2)(链教材P3例2)用描述法表示下列集合： ①小于6的所有的整数组成的集合A； 解：设x∈A，则x∈Z，且使x＜6成立，因此用描述法可以表示为A＝{x∈Z｜x＜6}. ②被3除余2的正整数组成的集合B； 解：设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数组成的集合B＝{x｜x＝3n＋2，n∈N}. ③平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C. 解：平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即x＜0，y＞0，故第二象限内的点组成的集合为C＝{(x，y)｜x＜0，y＞0}. 1.用列举法表示集合应注意 (1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素； (2)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 2.利用描述法表示集合应注意 规律方法 对点练3.选择适当的方法表示下列集合： (1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合； 解：因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2，故用列举法表示为{1，2}. (2)不大于15的质数集； 解：不大于15的质数有2，3，5，7，11，13，故用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}. (3)坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合. 解：因为不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，所以坐标平面内，所有不在第一、三象限的点组成的集合用描述法表示为{(x，y)｜xy≤0，x∈R，y∈R}. 返回 任务四　区间及其表示 返回 问题5.你能用列举法表示集合{x｜x－5＜2}吗？你还有其他的方法表示{x｜x－5＜2}吗？ 提示：集合{x｜x－5＜2}可化简为{x｜x＜7}，因为满足x＜7的实数有无数多个，所以无法用列举法表示；还可以用区间表示. 问题导思 1.区间的概念(a，b为实数，且a＜b) 新知构建 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 ________   {x｜a＜x＜b} 开区间 ________   {x｜a≤x＜b} 半开半闭区间 ________   {x｜a＜x≤b} 半开半闭区间 ________   [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 2.特殊区间的表示 定义 R {x｜x≥a} {x｜x＞a} {x｜x≤b} {x｜x＜b} 区间 _________ _________ ___________ ___________ ____________ ___________ (－∞， ＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) (1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示. 微思考 (2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？ 提示：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. (1)不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2] √ 典例 4 不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x｜x≥2}，表示成区间为[2，＋∞).故选B. (2)若[a，5a－2]为一个确定区间，则实数a的取值范围是__________. 由题设知，5a－2＞a，可得a＞，则实数a的取值范围为. 区间表示的关注点 1.(1)区间左端点值小于右端点值；(2)区间两端点之间用“，”隔开；(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小 括号. 2.区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 规律方法 对点练4.(多选题)下列叙述正确的是 A.{x｜x＞1}用区间可表示为[1，＋∞) B.{x｜－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2] C.(－∞，3]用集合可表示为{x｜x＜3} D.[2，4]用集合可表示为{x｜2≤x≤4} √ √ 对于A，{x｜x＞1}用区间可表示为(1，＋∞)，故A错误；对于B，{x｜－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]，故B正确；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x｜x≤3}，故C错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x｜2≤x≤4}，故D正确.故选BD. 返回 任务五　利用集合中元素的性质求参数 返回 已知集合A＝{a2＋4a＋1，a＋1}，B＝{x｜x2＋px＋q＝0}，1∈A. (1)求实数a的值； 解：因为1∈A，所以a2＋4a＋1＝1，或a＋1＝1，得a＝－4，或a＝0. 当a＝0时，a2＋4a＋1＝a＋1＝1，不符合元素的互异性，故a＝0舍去； 当a＝－4时，a2＋4a＋1＝1，a＋1＝－3，符合题意.所以a＝－4. 典例 5 (2)如果集合A是集合B的列举表示法，求实数p，q的值. 解：由(1)得A＝{1，－3}，故集合B中，方程x2＋px＋q＝0的两根为1， －3. 由一元二次方程根与系数的关系，得p＝－[1＋(－3)]＝2，q＝1×(－3)＝－3. 变式探究 (变条件)若将本例中“1∈A”换成“2a∈A”，求实数a的值. 解：因为2a∈A，所以a2＋4a＋1＝2a，或a＋1＝2a，解得a＝－1，或a＝1. 当a＝－1时，此时集合A中有两个元素－2，0，符合题意； 当a＝1时，此时集合A中有两个元素6，2，符合题意. 故所求a的值为－1或1. 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 规律方法 对点练5.(开放题)有限数集S中至少含有1个元素且满足：若a，b∈S，则必有a2，b2，ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S＝________________. (写出一个即可) {0，1}(或{－1，1}) 不妨设S＝{a，b}，根据题意有a2，ab，b2∈S，所以a2，b2，ab中必有两个是相等的.若a2＝b2，则a＝－b，故ab＝－a2，又a2＝a，或a2＝b＝－a，所以a＝0(舍去)，或a＝1，或a＝－1，此时S＝{－1，1}. 若a2＝ab，则a＝0，此时b2＝b，故b＝1， 此时S＝{0，1}.若b2＝ab，则b＝0，此时a2＝a，故a＝1，此时S＝{0，1}. 综上，S＝{0，1}或S＝{－1，1}. 返回 课堂小结 任务 再现 1.元素与集合的概念、元素与集合的关系. 2.常用数集的表示. 3.集合中元素的特性及应用. 4.集合的表示方法：列举法、描述法、区间 方法 提炼 1.判断元素与集合的关系：直接法、推理法. 2.利用集合中元素的性质求参数：分类讨论思想、等价转化思想 易错 警示 1.集合中忽略互异性的判断. 2.自然数集中容易遗忘0这个元素 随堂评价 返回 1.下列四组对象，能构成集合的是 A.某中学所有高个子的学生 B.倒数等于它自身的实数 C.一切较大的数 D.中国著名的艺术家 √ 某中学所有高个子的学生，一切较大的数，中国著名的艺术家，元素不明确；倒数等于它自身的实数，符合集合元素的确定性.故选B. 2.若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是 A.等腰梯形 B.直角梯形 C.菱形 D.矩形 √ 根据集合中元素的互异性，以x1，x2，x3，x4为边长的四边形，四条边均不相等，选项中只有直角梯形可能满足要求.故选B. 3.设集合B＝{x∈N*｜－1≤x＜3}，则 A.－1∈B B.0∈B C.2∈B D.3∈B √ 由题意可知：集合B＝{1，2}，所以－1∉B，0∉B，2∈B，3∉B，即A，B，D错误，C正确.故选C. 4.若实数x满足{x｜3≤x＜7}，则用区间表示为__________. [3，7) 由3≤x＜7可知x可以等于3，不能等于7，所以是半开半闭区间，故表示为[3，7). 返回 课时分层评价 返回 1.(多选题)下列对象能构成集合的有 A.接近于2 025的所有正整数 B.小于－3的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点M(3，2)与点N(4，3) √ 对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成集合；对于B，小于－3的实数是确定的，能构成集合；对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；对于D，点M(3，2)与点N(4，3)是两个不同的点，是确定的，能构成集合.故选BD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.集合{x∈N＋｜x＜5}的另一种表示法是 A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5} √ 由x＜5，且x∈N＋，得x＝1，2，3，4，故集合可表示为{1，2，3，4}.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下列集合是空集的是 A.{x｜x＞0，或x＜－5} B.{x｜x＞4} C.{x｜x2≤0} D.{x｜x＞5，且x＜－4} √ A，B，C选项的集合中均含有元素，均不为空集；D中集合没有任何元素，为空集.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知集合A＝{a，｜a｜，a－3}，若3∈A，则实数a的值为 A.－3 B.3 C.3或－3 D.6 √ 因为3∈A，所以｜a｜＝3或a－3＝3，当｜a｜＝3时，得到a＝－3或a＝3，又a＝－3时，A＝{－3，3，－6}，满足题意，a＝3时，a＝｜a｜＝3，不满足集合元素的互异性，当a－3＝3，得到a＝6，此时a＝｜a｜＝6，不满足集合元素的互异性.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)下列说法正确的有 A.10以内的质数组成的集合是{0，2，3，5，7} B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2} C.方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1} D.若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是等腰三角形 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，0不是质数，故A错误；对于B，根据集合元素的无序性可知{1，2，3}＝{3，1，2}，故B正确；对于C，根据集合元素的互异性可知方程x2－2x＋1＝0的解集是{1}，故C错误；对于D，根据集合元素的互异性可知a，b，c两两不相等，故△ABC一定不是等腰三角形，故D正确.故选BD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为 A.{x｜x＝8k，k∈N} B.{x｜x＝8k＋8，k∈N} C.{1，2，4} D.{1，2，4，8} √ 能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除；由于A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除；对于B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确.故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.设x，y∈R，用列举法表示＋所有可能取值组成的集合，结果是_____________. 根据x，y的符号，分情况去绝对值：若x＞0，y＞0，＋＝2；若x＞0，y＜0，＋＝0；若x＜0，y＞0，＋＝0；若x＜0，y＜0，＋＝－2.＋所有可能取值组成的集合为{2，0，－2}. {2，0，－2} 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.集合S＝{x｜x＝m＋n，m∈Z，n∈Z}，则－________S.(用“∈”或“∉”连接) 当m＋n＝－时，有m＝0，n＝－1，满足m∈Z，n∈Z.所以－∈S. ∈ 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)已知a≥1，集合A＝{x｜2－a≤x≤a}中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是_____________. 由题设4＞a－(2－a)≥2且a≥1，可得2≤a＜3，所以符合条件的一个a值为2(答案不唯一). 2(答案不唯一) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知含有两个元素的集合A＝{m，m2－3m}，其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数？ 解：根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4. (2)若4∈A，求实数m的值. 解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.若集合M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，则 A.(1，3)∈M B.(－1，3)∈M C.(－1，2)∈M D.(1，2)∈M √ 由已知M＝{(x－y，x＋y)｜y＝2x}，令x－y＝a，x＋y＝b，解得x＝，y＝，又y＝2x，则＝a＋b，化简得b＝－3a.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5个元素，则实数m的取值范围为 A.[－1，0) B.(－1，0] C.(－1，0) D.[－2，－1) √ 若集合A＝{x∈Z｜m＜x＜4}中有5个元素，则这5个元素只能是3，2，1，0，－1，这表明m＜－1，m≥－2，即实数m的取值范围为[－2，－1).故选D. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(多选题)设a，b∈A＝{x｜x＝3m＋1，m∈Z}，c∈B＝{x｜x＝3k－1，k∈Z}，则 A.a＋b∈A B.ab∈A C.a＋b∈B D.ac∈B √ √ √ 设a＝3u＋1，b＝3v＋1，c＝3w－1(u，v，w∈Z)，而a＋b＝3(u＋v)＋2＝3(u＋v＋1)－1∈B，即A错误，C正确；ab＝9uv＋3(u＋v)＋1＝3(3uv＋u＋v)＋1∈A，即B正确；ac＝9uw＋3(w－u)－1＝3(3uw－u＋w)－1∈B，即D正确.故选BCD. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知集合A＝{x∈R｜ax2－3x＋1＝0，a∈R}. (1)若1∈A，求实数a的值； 解：由1∈A，得a×12－3×1＋1＝0，解得a＝2，所以实数a的值为2. (2)若a＝－10，用列举法表示集合A； 解：当a＝－10时，A＝{x∈R｜－10x2－3x＋1＝0}＝. (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值. 解：当a＝0时，方程－3x＋1＝0的根为x＝，符合题意，因此a＝0； 当a≠0时，集合A中仅有一个元素，则Δ＝9－4a＝0，解得a＝，所以实数a的值为0或. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托尔三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托尔三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为 A. B. C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 第一次操作剩下：，；第二次操作剩下：，，，；第三次操作剩下：，，，，，，，；即从左到右第四个区间为.故选C. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)已知集合A＝{x｜x＝m2－n2，m∈Z，n∈Z}. (1)判断8，9，10是否属于集合A； 解：因为8＝32－12，9＝52－42， 所以8∈A，9∈A， 假设10＝m2－n2，m∈Z，n∈Z， 则｜m｜2－｜n｜2＝10， 即(｜m｜＋｜n｜)(｜m｜－｜n｜)＝10， 且｜m｜＋｜n｜＞｜m｜－｜n｜＞0，(｜m｜＋｜n｜)∈Z， (｜m｜－｜n｜)∈Z， 所以显然均无整数解，所以10∉A. 综上，8∈A，9∈A，10∉A. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)写出所有满足集合A的偶数. 解：由m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m∈Z，n∈Z， 当m和n同为奇数和偶数时，m＋n，m－n均为偶数， 所以(m＋n)(m－n)为4的倍数； 当m和n为一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，所以(m＋n)(m－n)为奇数. 综上，所有满足集合A的偶数为4k(k∈Z). 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 1.1　集合的概念与表示 返回 $