第二章 重点突破3 二次函数的最值问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

学习目标 能够利用二次函数的单调性解决求最值和参数范围等问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 题型一 　“轴定区间定”的最值问题 (1)函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间上的最大值、最小值分别是(　　) A.12，－ B.2，12 C.42，－ D.最小值是－，无最大值 (2)设0＜x＜1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)y＝x2＋3x＋2＝－，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－，所以在区间上，当x＝－时，y有最小值－；x＝5时，y有最大值42，函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间上的最大值、最小值分别是42，－.故选C. (2)二次函数y＝f(x)＝2x(1－x)图象开口向下，对称轴为x＝，所以当0＜x＜1 时，f(x)max＝f＝2××＝. 　　定区间定轴问题只需要求出对称轴，然后根据开口方向确定单调性. 对点练1.(1)若0＜x＜4，则有(　　) A.最小值0 B.最大值2 C.最大值2 D.最小值2 (2)已知函数y＝－x2＋4x－1，x∈[1，4)，则函数的值域为　　　　　. 答案：(1)C　(2)(－1，3] 解析：(1)＝＝，故当x＝2时，取最大值＝2.故选C. (2)由题意得，y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，为开口向下，对称轴为x＝2的抛物线，因为x∈[1，4)，所以当x＝2时，y有最大值3，当x＝4时，y＝－1，所以函数的值域为(－1，3]. 题型二　“轴定区间动”的最值问题 已知函数f(x)＝2x2－10x. (1)若x∈[－1，3]，求f(x)的单调区间和值域； (2)设函数f(x)在[t，t＋1]的最小值为g(t)，求g(t)的表达式. 解：(1)可知函数f(x)＝2x2－10x的对称轴为x＝，开口向上， 所以当x∈［－1，］时，f(x)单调递减；当x∈(，3］时，f(x)单调递增， 所以f(x)min＝f()＝－，f(x)max＝f(－1)＝12， 综上，f(x)的单调递减区间为［－1，］，单调递增区间为，值域为［－，12］. (2)因为f(x)对称轴为x＝，开口向上， 所以当≤t，即t≥时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以f(x)min＝f(t)＝2t2－10t； 当t＜＜t＋1，即＜t＜时，f(x)min＝f()＝－； 当t＋1≤，即t≤时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减， 所以f(x)min＝f(t＋1)＝2t2－6t－8. 综上所述， g(t)＝ 　　解题的关键是图象的对称轴与区间的位置关系，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 对点练2.已知f(x)＝2x2＋ax＋b过点，且满足f(－1)＝f(2). (1)若存在实数x0，使得不等式f－t＜0成立，求实数t的取值范围； (2)求f(x)在上的最小值h(m). 解：(1)由题设可知f(0)＝－1，得b＝－1， 因为f(－1)＝f(2)，所以2－a－1＝8＋2a－1，解得a＝－2，f(x)＝2x2－2x－1， 若存在实数x0，使得不等式f－t＜0成立，即f＜t，所以t＞f(x)min， 由二次函数性质可知，f(x)min＝f＝－，因此t＞－. 所以实数t的取值范围是. (2)f(x)的对称轴为x＝. 当m≥时，f(x)在上的最小值为f(m)＝2m2－2m－1； 当m＜＜m＋2，即－＜m＜时，f(x)在上的最小值为f＝－； 当m＋2≤，即m≤－时，f(x)在上的最小值为f＝2m2＋6m＋3. 综上所述，h(m)＝ 题型三　“轴动区间定”最值问题 已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－5，5]. (1)若y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)求y＝f(x)在区间[－5，5]上的最小值. 解：(1)函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－5，5]的对称轴为x＝a， 若y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数，则a≤－5，或a≥5， 所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞). (2)①当a≤－5时，y＝f(x)在[－5，5]上单调递增，f(x)的最小值是f(－5)＝26＋10a； ②当a≥5时，y＝f(x)在[－5，5]上单调递减，f(x)的最小值是f(5)＝26－10a； ③当－5＜a＜5时，f(x)在[－5，a]上单调递减，在(a，5]上单调递增， 则f(x)的最小值是f(a)＝－a2＋1. 所以f(x)在区间[－5，5]上的最小值为f(x)min＝ 学生用书⬇第67页 　　抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 对点练3.已知f (x)＝ax2－2x＋1. (1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围； (2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a). 解：(1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1单调递减； 当a＞0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且＞0， 所以≥1，即0＜a≤1； 当a＜0时，f (x)图象的对称轴为x＝＜0， f(x)在[0，1]上单调递减， 所以a＜0符合题意. 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减， 所以f (x)min＝f (1)＝－1. ②当a＞0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x＝. (ⅰ)当＜1，即a＞1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内， 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增. 所以f (x)min＝f ＝－＋1＝－＋1. (ⅱ)当≥1，即0＜a≤1时，f (x)在[0，1]上单调递减. 所以f (x)min＝f (1)＝a－1. ③当a＜0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧， 所以f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减. 所以f (x)min＝f (1)＝a－1. 综上所述，g(a)＝ 题型四　“轴动区间动”的最值问题 已知函数f(x)＝x2＋4ax. (1)若f(x)在区间[1，3]上具有单调性，求实数a的取值范围； (2)求f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值g(a). 解：(1)易知f(x)＝x2＋4ax开口向上，对称轴为x＝－2a， 所以若f(x)在区间[1，3]上具有单调性， 则需－2a≤1，或－2a≥3， 解得a≥－，或a≤－， 所以实数a的取值范围为(－∞，－］∪［－，＋∞). (2)当a＜－2a＜a＋1， 即－＜a＜0时，g(a)＝f(－2a)＝－4a2， 当－2a≤a，即a≥0时，g(a)＝f(a)＝5a2， 当－2a≥a＋1，即a≤－时，g(a)＝f(a＋1)＝5a2＋6a＋1. 综上，g(a)＝ 　　此类问题还是讨论对称轴与区间的关系，难度相对较大，在讨论时注意不重不漏. 对点练4.已知二次函数f(x)＝x2＋bx－＋1，设对任意的x∈，都有f(x)＞2恒成立，求实数b的取值范围. 解：若对任意的x∈，f(x)＞2恒成立， 即当x∈时，f(x)min＞2， 因为二次函数f(x)＝x2＋bx＋1－＝＋1－－， 所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，且开口向上， 分以下三种情况讨论： ①当－≤b，即b≥0时，函数f(x)在区间上单调递增， 所以f(x)min＝f(b)＝2b2＋1－， 所以2b2＋1－＞2，即4b2－b－2＞0， 解得b＜或b＞， 因为b≥0，所以b＞； ②当b＜－＜b＋2，即－＜b＜0时， 函数f(x)在区间上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝1－－， 所以1－－＞2， 即＋＋1＜0， 因为Δ＝－4×＜0，所以不等式无解； ③当－≥b＋2，即b≤－时，函数f(x)在区间上单调递减， 所以f(x)min＝f＝2b2＋b＋5， 所以2b2＋b＋5＞2， 即4b2＋11b＋6＞0， 解得b＜－2或b＞－， 因为b≤－，所以b＜－2. 综上可知，实数b的取值范围为(－∞，－2)∪. 1.若函数f(x)＝x2－4x，x∈，则f(x)有(　　) A.最小值为－3 B.最大值0 C.最小值为－4 D.最大值－3 答案：A 解析：作出函数f(x)＝x2－4x，x∈的图象，如图所示.可知f(x)在x∈内有最小值为－3，无最大值.故选A. 2.已知二次函数y＝mx2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是(　　) A.－2 B.1 C.2或－ D.－1 答案：C 解析：因为y＝mx2－2mx，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，①当m＞0时，抛物线的开口向上，因为当－1≤x≤2时，函数在x＝1处取得最小值，又函数值y的最小值为－2，所以当x＝1时，y＝－2，所以m－2m＝－2，解得m＝2.②当m＜0时，抛物线的开口向下，因为当－1≤x≤2时，函数在x＝－1处取得最小值，又函数值y的最小值为－2，所以当x＝－1时，y＝－2，所以m＋2m＝－2，解得m＝－，所以实数m的值为2或－.故选C. 3.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.[0，2] C.(－∞，2] D.[1，2] 答案：D 解析：因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，函数取得最小值2，因为f(0)＝f(2)＝3，而函数在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，所以1≤m≤2，所以实数m的取值范围是[1，2].故选D. 4.已知函数f(x)＝2x2－ax＋a2－4，g(x)＝x2－x＋a2－(a∈R)，若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]，使得不等式f(x1)＞g(x2)成立，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]，使得不等式f(x1)＞g(x2)成立，即只需满足f(x)min＞g(x)min，x∈[0，1]，g(x)＝x2－x＋a2－，对称轴x＝，g(x)在递减，在递增，g(x)min＝g＝a2－8，f(x)＝2x2－ax＋a2－4，x∈[0，1]，对称轴x＝，①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]递增，f(x)min＝f(0)＝a2－4＞g(x)min＝a2－8恒成立；②当0＜＜1，即0＜a＜4时，f(x)在递减，在递增，f(x)min＝f＝a2－4，g(x)min＝a2－8，所以a2－4＞a2－8，解得－4＜a＜4，故0＜a＜4；③当≥1，即a≥4时，f(x)在[0，1]递减，f(x)min＝f(1)＝a2－a－2，g(x)min＝a2－8，所以a2－a－2＞a2－8，解得a＜6，故4≤a＜6.综上a∈. 学生用书⬇第68页 学科网（北京）股份有限公司 $