专题10 函数的奇偶性（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题10 函数的奇偶性 目录 1 类型一、利用函数奇偶性求参数 1 类型二、利用函数奇偶性求解析式 2 类型三、利用函数奇偶性解不等式 3 类型四、抽象函数的奇偶性 3 类型五、函数奇偶性与对称性的综合应用 4 类型六、函数奇偶性与单调性的综合应用 5 6 类型一、利用函数奇偶性求参数 1.函数奇偶性的定义 ⑴偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是偶函数. ⑵奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是奇函数. 2.函数奇偶性的几何特征 一般地,图象关于y轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为奇函数. 例1．函数在其定义域上是奇函数，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用奇函数定义域关于原点对称可得或，经检验符合题意. 【详解】函数在其定义域上是奇函数， 由于奇函数定义域关于原点对称，所以， 即，解得或， 由区间定义可知，当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 可得. 故选：B． 例2．已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可. 【详解】依题意，当时，，则， 而当时，，因此，则，， 当时，，则， 又，于是，， 所以，所以. 故选：C 变式1-1．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 【答案】B 【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得. 【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得， 则，又是偶函数， 则，即，解得， 则，， 则. 故选：B. 变式1-2．已知为偶函数，则 . 【答案】 【分析】法一：先利用求得，然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解即可. 【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 变式1-3．已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 【答案】 0 / 【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可. 【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称， 从而，即.当时，，.故； ，不等式组等价于， 因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以； 又，所以，因此，是的两个正根，即， 所以，解得， 又因为，所以， 即，解得或（舍）. 故答案为：0；. 【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键. 类型二、利用函数奇偶性求解析式 例3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 例4．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【答案】 【分析】按题意求函数表达式即可 【详解】 和已知条件相加得 故 故 故答案为： 变式2-1．已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案； （2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域． 【详解】（1）令，则， 所以， 所以的解析式为； （2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，， 因为当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，，所以的值域为. 变式2-2．定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 类型三、利用函数奇偶性解不等式 例5．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A. 变式3-1．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【答案】 【分析】依题意可知函数是在上单调递增的奇函数，再由结合单调性和奇偶性即可求得的解集. 【详解】由任意，有可得， 函数在上单调递增， 又根据奇函数性质可得，且在上单调递增； 所以当时，，可得； 当时，，可得； 综上可得的解集为. 故答案为： 变式3-2．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合奇函数的对称性，即不等式的性质即可求. 【详解】因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在单调递减，且， 所以当，， 当，， 所以若，则或或或或 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：C 变式3-3．设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性以及当时的解析式，求出的解析式，解不等式，可得x的取值范围，进而结合，再分类讨论，求解相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，， 故， 又，得或， 解得或，则； 所以时，， 当时，，解得或，则， 当时，，满足； 当时，，解得，则， 综上，a的取值范围为， 故选：C 【点睛】易错点点睛：本题考查了函数奇偶性以及分段函数的性质问题，涉及到解不等式以及复合函数问题，易错点首先是利用奇偶性求的解析式，其次是求出的x的范围 类型四、抽象函数的奇偶性 例6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；令，可得，进而可求，判断B；由B可得，可判断CD； 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A错误． 对于B：解法一：令，得，又， 所以，故，故B错误． 解法二 ：令，得，又，所以，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：D. 变式4-1．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】AB 【分析】由抽象函数满足，令可得，利用奇偶性，单调性的定义可推导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间上的最大值，利用单调性解不等式可得解集. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 令，得，即 ，A正确， 令，得，即，函数为奇函数，B正确， 设，则，， 由题，，即， 所以，函数在R上单调递减，所以C错误， 不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误. 故选：AB. 变式4-2．已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD 【分析】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 类型五、函数奇偶性与对称性的综合运用 奇函数、偶函数图象对称性的推广： 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 例7．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 例8．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 变式5-1．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 变式5-2．定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】2 【分析】由题意可得的最大最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案． 【详解】函数为奇函数，， 又的最大值为，最小值为， 又，即为奇函数， 且的最大最小值分别为，， 由奇函数的性质可得， 解得． 故答案为：2． 变式5-3．已知 (1)若在区间恒成立，求的取值范围； (2)当时，是否存在点，使得 的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先进行参变分离，再结合基本不等式求最值即可求解； （2）将问题转化为为奇函数，利用奇函数的定义列方程求解. 【详解】（1）解：由题，在恒成立， 即恒成立， 因，等号在时取得， 则； （2）解：时，， 若存在对称中心，则为奇函数， ， 因为奇函数， 则， 所以存在点为 【点睛】关键点睛：恒成立求参数范围问题关键是利用参变分离将恒成立问题转化为最值问题，再利用基本不等式或者二次函数求最值. 类型六、函数奇偶性与单调性的综合运用 例9．设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵函数的定义域为R且， ∴是定义在R上的偶函数， ∴，， 又∵在上单调递增，且， ∴，即． 故选：A 变式6-1．定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得 ， 又∵为偶函数，∴ ∵，且函数在上单调递增， ∴，即 故选：A 变式6-2．定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 一、单选题 1．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，其定义域为R， 则， 即为奇函数； 若为奇函数，其定义域为R， 则需满足，即， 故，即， 因为，（，等号不能同时取到）， 故， 故“”是“为奇函数”的充分必要条件， 故选：C 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合是定义在上的奇函数，得到，作出函数图象，根据函数图象平移变换求解. 【详解】解：由题设知：，又是定义在上的奇函数，即， ∴当时，，即，而； 当时，，即，而； ∴综上，有，可得如下函数图象， 的图象可以看作的图象向左或向右平移个单位长度而得到的， 若对任意的，成立， 当时， 则的图象至少向左平移6个单位长度； 当时， 则的图象至多向右平移2个单位长度； 所以或. 故选：D. 3．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则 的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 【答案】C 【分析】由题可得的图象关于点成中心对称，得到即可求解. 【详解】若为奇函数， 则， 所以为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称， 则， 即，且， 所以 . 故选：C. 二、多选题 4．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．若在上单调递增，则当时， D．若在上单调递减，则当时， 【答案】ACD 【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断AB；根据奇函数的图象关于原点对称判断C；根据偶函数的图象关于对称判断D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，. A. 设，则，所以是奇函数，故正确； B. 设，则，所以不是偶函数，故错误； C. 因为函数是定义在上的奇函数，所以其图象关于原点对称，若在上单调递增，则在上单调递增，当时，，正确； D. 因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称，若在上单调递减，则在上单调递增，当时，，正确. 故选：ACD. 5．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】A.由 ，利用赋值法求解判断；B. 由 ，令，由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断. 【详解】解：因为函数满足， 所以，即，则； 令，则，故为奇函数， 设，且，则， 即，所以在R上是减函数， 所以在区间上有最大值， 由，得， 由在R上是减函数，得，即， 解得，所以的解集为， 故选：ABD 6．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 【答案】ACD 【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答. 【详解】由，得：函数是R上的偶函数， 由，，得：在上单调递增， 对于A，，A正确； 对于B，，又函数的图象是连续不断的， 则有，解得，B不正确； 对于C，由及得，，解得或， 由得：，解得， 化为：或，解得或，即，C正确； 对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增， 因此，，，取实数，使得，则，，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|). 三、解答题 7．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递减；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意，由函数的奇偶性以及单调性化简，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由基函数的性质可知，，所以，即， 因为，所以，即. （2）函数在上单调递减. 证明：任取， 则， 因为，则，，则， 即，所以函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数， 则， 所以，解得， 则不等式的解集为. 8．有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 9．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2）时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 函数的奇偶性 目录 1 类型一、利用函数奇偶性求参数 1 类型二、利用函数奇偶性求解析式 2 类型三、利用函数奇偶性解不等式 3 类型四、抽象函数的奇偶性 3 类型五、函数奇偶性与对称性的综合运用 4 类型六、函数奇偶性与单调性的综合运用 5 类型一、利用函数奇偶性求参数 1.函数奇偶性的定义 ⑴偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是偶函数. ⑵奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是奇函数. 2.函数奇偶性的几何特征 一般地,图象关于y轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为奇函数. 例1．函数在其定义域上是奇函数，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．不能确定 例2．已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．2 变式1-1．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B．3 C． D．51 变式1-2．已知为偶函数，则 . 变式1-3．已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， . 类型二、利用函数奇偶性求解析式 例3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 例4．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 变式2-1．已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 变式2-2．定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 类型三、利用函数奇偶性解不等式 例5．已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 变式3-2．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．设函数为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型四、抽象函数的奇偶性 例6．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 变式4-1．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．是奇函数 C．在上有最大值 D．的解集为 变式4-2．已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 类型五、函数奇偶性与对称性的综合运用 奇函数、偶函数图象对称性的推广： 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 例7．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 例8．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 变式5-1．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式5-2．定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 变式5-3．已知 (1)若在区间恒成立，求的取值范围； (2)当时，是否存在点，使得 的图像关于点对称？若存在，求出点，若不存在，请说明理由； 类型六、函数奇偶性与单调性的综合运用 例9．设函数的定义域为R，对于任意实数x总有，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用推广结论，已知函数，则 的值为（   ） A．4048 B．4048 C．4050 D．4050 二、多选题 4．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．若在上单调递增，则当时， D．若在上单调递减，则当时， 5．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 6．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 三、解答题 7．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 8．有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 9．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$